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第3讲 圆周运动
——划重点之精细讲义系列
知识点1：描述圆周运动的物理量
1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．
v＝＝.
2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
ω＝＝.
3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
T＝，T＝.
4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．
an＝rω2＝＝ωv＝r.
5．向心力：作用效果产生向心加速度，Fn＝man.
6．相互关系：(1)v＝ωr＝r＝2πrf.
(2)a＝＝ωv＝r＝4π2f2r.
(3)Fn＝man＝m＝mω2r＝＝mr4π2f2.
知识点2：速圆周运动和非匀速圆周运动
1．匀速圆周运动
(1)定义：线速度大小不变的圆周运动．
(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动．
(3)质点做匀速圆周运动的条件
合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
2．非匀速圆周运动
(1)定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动．
(2)合力的作用
①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的大小．
②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的方向．
知识点3：离心运动
1．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向．
2.受力特点
(1)当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动．
(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出．
(3)当F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力．
(4)当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动．
【典例1】(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( )
A．速度的大小和方向都改变 B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
C．物体所受合力全部用来提供向心力 D．向心加速度大小不变，方向时刻改变
【解析】 匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A错；它的加速度大小不变，但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B错，D对；由匀速圆周运动的条件可知，C对．
【答案】 CD
【典例2】某型石英表中的分针与时针可视为做匀速转动，分针的长度是时针长度的1.5倍，则下列说法中正确的是( )
A．分针的角速度与时针的角速度相等
B．分针的角速度是时针的角速度的60倍
C．分针端点的线速度是时针端点的线速度的18倍
D．分针端点的向心加速度是时针端点的向心加速度的1.5倍
【解析】 分针的角速度ω1＝＝ rad/min，时针的角速度ω2＝＝ rad/min.
ω1∶ω2＝12∶1，v1∶v2＝ω1r1∶ω2r2＝18∶1，
a1∶a2＝ω1v1∶ω2v2＝216∶1，故只有C正确．
【答案】 C
【典例3】(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
【解析】 抓住临界点分析汽车转弯的受力特点及不侧滑的原因，结合圆周运动规律可判断．
汽车转弯时，恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明公路外侧高一些，支持力的水平分力刚好提供向心力，此时汽车不受静摩擦力的作用，与路面是否结冰无关，故选项A正确，选项D错误．当v<vc时，支持力的水平分力大于所需向心力，汽车有向内侧滑动的趋势，摩擦力向外侧；当v>vc时，支持力的水平分力小于所需向心力，汽车有向外侧滑动的趋势，在摩擦力大于最大静摩擦力前不会侧滑，故选项B错误，选项C正确．
【答案】 AC
考点1：圆周运动中的运动学分析
1.对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比．
2.对a＝＝ω2r＝ωv的理解
在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．
3.三种传动方式及其规律
方式
同轴转动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上，到圆心的距离不同
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点
A、B两点角速度、周期相同
A、B两点线速度相同
A、B两点线速度相同
转动方向
相同
相同
相反
规律
线速度与半径成正比：
角速度与半径成反比：
，
周期与半径成正比：
角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶
，
周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比：
【典例1】如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．b、c两点的线速度始终相同
C．b、c两点的角速度比a点的大
D．b、c两点的加速度比a点的大
【解析】 当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，a、b和c三点的角速度相同，a半径小，线速度要比b、c的小，A、C错；b、c两点的线速度大小始终相同，但方向不相同，B错；由a＝ω2r可得b、c两点的加速度比a点的大，D对．
【答案】 D
【典例2】如图所示，半径为r＝20 cm的两圆柱体A和B，靠电动机带动按相同方向均以角速度ω＝8 rad/s转动，两圆柱体的转动轴互相平行且在同一平面内，转动方向已在图中标出，质量均匀的木棒水平放置其上，重心在刚开始运动时恰在B的正上方，棒和圆柱间动摩擦因数μ＝0.16，两圆柱体中心间的距离s＝1.6 m，棒长l＞3.2 m．重力加速度取10 m/s2，求从棒开始运动到重心恰在A的正上方需多长时间？
【审题指导】(1)开始时，棒与A、B有相对滑动先求出棒加速的时间和位移．
(2)棒匀速时与圆柱边缘线速度相等，求出棒重心匀速运动到A正上方的时间．
【解析】 棒开始与A、B两轮有相对滑动，棒受向左摩擦力作用，做匀加速运动，末速度v＝ωr＝8×0.2 m/s＝1.6 m/s，加速度a＝μg＝1.6 m/s2，时间t1＝＝1 s，
t1时间内棒运动位移s1＝at＝0.8 m.
此后棒与A、B无相对运动，棒以v＝ωr做匀速运动，再运动s2＝s－s1＝0.8 m，重心到A的正上方需要的时间t2＝＝0.5 s，故所求时间t＝t1＋t2＝1.5 s.
【答案】 1.5 s
考点2：圆周运动的动力学分析
1.向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2.向心力的确定
1．确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
2．分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
三、解决圆周运动问题的主要步骤
1．审清题意，确定研究对象．
2．分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等．
3．分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源．
4．据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
5．求解、讨论．
【典例1】如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
【解析】 A、B绕竖直轴匀速转动的角速度相等，即ωA＝ωB但rA<rB，根据v＝ωr得，A的速度比B的小，选项A错误；根据a＝ω2r得，A的向心加速度比B的小，选项B错误；A、B做圆周运动时的受力情况如图所示，根据F向＝mω2r及tan θ＝＝知，悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角小，选项C错误；由图知＝cos θ，即T＝，所以悬挂A的缆绳受到的拉力小，选项D正确．
【答案】 D
【典例2】如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°.重力加速度大小为g.
(1)若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
(2)若ω＝(1±k)ω0，且0＜k≪1，求小物块受到的摩擦力大小和方向．
【审题指导】(1)小物块受到的摩擦力恰好为零，说明物块受到的重力与支持力的合力恰提供向心力．
(2)ω≠ω0时，物块相对罐的运动趋势有两种情况．
【解析】(1)小物块在水平面内做匀速圆周运动，当小物块受到的摩擦力恰好等于零时，小物块所受的重力和陶罐的支持力的合力提供圆周运动的向心力，有mgtan θ＝mω·Rsin θ
代入数据得ω0＝
(2)当ω＝(1＋k)ω0时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向下，设摩擦力的大小为f，陶罐壁对小物块的支持力为FN，沿水平和竖直方向建立坐标系，则
水平方向：FNsin θ＋fcos θ＝mω2·Rsin θ
竖直方向：FNcos θ－fsin θ－mg＝0
代入数据解得：f＝mg
同理，当ω＝(1－k)ω0时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向上，则
水平方向：FNsin θ－fcos θ＝mω2·Rsin θ
竖直方向：FNcos θ＋fsin θ－mg＝0
代入数据解得：f＝mg
【答案】 见解析
圆周运动的临界问题分析技巧
(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态．
(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界状态．
(4)根据临界情况特点确定临界条件．
考点3：圆周运动与平抛运动的综合问题
1.水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
①问题特点：此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动．
②解题关键
(1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程．
(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移．
(3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度．
2.竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
①问题特点
此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题考查．
②解题关键
(1)首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够达到圆周最高点的临界条件．
(2)注意前后两过程中速度的连续性．
【典例1】如图，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球．现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0 m，B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：
(1)地面上DC两点间的距离s；
(2)轻绳所受的最大拉力大小．
【审题指导】 分段研究小球的运动过程，A到B过程中小球在竖直面内做圆周运动，机械能守恒；B到C过程中小球做平抛运动，根据平抛运动的分解求解．注意隐含条件：恰好被拉断时，轻绳达到最大张力．
【解析】(1)小球从A到B过程机械能守恒，有
mgh＝mv①
小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2②
在水平方向上有
s＝vBt③
由①②③式解得s≈1.41 m④
(2)小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有
F－mg＝m⑤
由①⑤式解得
F＝20 N
根据牛顿第三定律
F′＝－F
轻绳所受的最大拉力为20 N.
【答案】(1)1.41 m (2)20 N
【典例2】如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.
【审题指导】(1)应理解把握好“转台边缘”与“恰好滑离”的含义．
(2)临界问题是静摩擦力达到最大值．
【解析】(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2①
在水平方向上有s＝v0t②
由①②式解得v0＝s ③
代入数据得v0＝1 m/s.
(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
fm＝m④
fm＝μN＝μmg⑤
由④⑤式得μ＝
代入数据得μ＝0.2.
【答案】(1)1 m/s (2)0.2
竖直平面内圆周运动中的轻绳模型与轻杆模型
1.模型条件
(1)物体在竖直平面内做变速圆周运动．
(2)“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑．
2.两种模型比较
轻绳模型
轻杆模型
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高
点的临
界条件
由mg＝m得v临＝
v临＝0
讨论
分析
(1)过最高点时，v≥ ，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)当v＜时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0＜v＜时，mg－FN＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
【典例1】如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，则（ ）
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当时，小球受到的弹力大小与重力相等
D．当时，轻质绳的拉力大小为
【答案】C
【详解】AB．小球运动到最高点时，对小球进行分析有
则有
结合图像有
，
解得
，
AB错误；
C．当时，根据上述有
C正确；
D．当时，根据上述有
D错误。
故选C。
【典例2】如图所示，质量为的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径。某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为的匀速圆周运动，已知重力加速度为，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则（ ）
A．该盒子做圆周运动的向心力恒定不变
B．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于
C．盒子在最低点时，小球对盒子的作用力大小等于
D．盒子在与点等高的右侧位置时，小球对盒子的作用力大小等于
【答案】D
【详解】A．该盒子做圆周运动的向心力大小不变，方向总是指向圆心，时刻在发生改变，A错误；
B．在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，对小球根据牛顿第二定律可得
解得
则该盒子做匀速圆周运动的周期为
B错误；
C．盒子在最低点时，对小球根据牛顿第二定律可得
解得
根据牛顿第三定律可知小球对盒子的作用力大小等于，C错误；
D．盒子在与点等高的右侧位置时，以小球为对象，竖直方向根据受力平衡可得
水平方向根据牛顿第二定律可得
盒子对小球的作用力大小为
根据牛顿第三定律可知小球对盒子的作用力大小等于，D正确；
故选D。
【典例3】如图所示，质量为m的小球（视为质点）在竖直平面内绕O点做半径为L的圆周运动，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．若连接O点与小球的为轻绳，则小球过圆周最高点的临界速度为零
B．若连接O点与小球的为轻杆，则小球过圆周最高点的临界速度为
C．若连接O点与小球的为轻绳，则小球在圆周最高点时轻绳的作用力大小可能为
D．若连接O点与小球的为轻杆，则小球在圆周最高点时轻杆的作用力大小一定不为零
【答案】C
【详解】A．根据
可得
若连接O点与小球的为轻绳，则小球过圆周最高点的临界速度大小，选项A错误；
B．若连接O点与小球的为轻杆，轻杆可以提供支持力，则小球过圆周最高点的临界速度为零，选项B错误；
C．若连接O点与小球的为轻绳，小球在圆周最高点时轻绳的作用力大小可能为，选项C正确；
D．若连接O点与小球的为轻杆，小球在圆周最高点时轻杆的作用力可能为零，选项D错误。
故选C。
【典例4】在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）以某一水平速度从最高点A出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，圆轨道半径为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．小球从A点出发的速度大小
B．小球经过B点时的速度大小
C．小球经过B点时速度变化率大小为
D．小球落在C点时的速度方向竖直向下
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，小球在A点没有脱离轨道，则小球对圆轨道的压力不为零，由牛顿第二定律有
解得
故A错误；
B．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，设此时小球与圆心的连线与竖直方向的夹角为，由牛顿第二定律有
解得
故B错误；
C．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，小球的加速度为，即小球经过B点时速度变化率大小为，故C正确；
D．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，速度方向为斜向下，只受重力作用，水平方向做匀速直线运动，小球落地时，水平方向速度不为零，则小球落在C点时的速度方向不可能竖直向下，故D错误。
故选C。
【典例2】（多选）一轻绳一端连接小球，以另一端为圆心，使小球在竖直面内做圆周运动，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点的最小速度为零
B．小球过最高点时，绳受到的拉力可能为零
C．小球过最高点时，绳对球的作用力随速度的增大而减小
D．小球过最低点时，绳对球的作用力一定大于小球所受的重力
【答案】BD
【详解】ABC．小球过最高点时，有
所以当绳受到的拉力T=0时，只有重力提供向心力，速度最小为
绳对球的作用力T随速度的增大而增大，故AC错误，B正确；
D．小球过最低点时，有
所以，故D正确。
故选BD。
一、单选题
1．如图所示，底面半径为R的平底漏斗水平放置，质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为θ，重力加速度为g。现给小球一垂直于半径向里的某一初速度，使之在漏斗底面内做圆周运动，则（ ）
A．小球一定只受到两个力的作用
B．小球一定受到三个力的作用
C．当时，小球对底面的压力为零
D．当时，小球对侧壁的压力为零
【答案】C
【详解】设底面对小球的支持力N1，侧壁对小球的支持力为N2，对小球进行受力分析，由牛顿第二定律可知，在水平方向上
在竖直方向上
解得
，
可知侧壁对小球的支持力不可能为零，底面对小球的支持力有可能为零，当
时，可得小球的速度
因此小球可能受到三个力的作用，也可能受到两个力的作用，小球对侧壁的压力不能为零，而当
时，小球对底面的压力
故选C。
2．如图所示，下列有关生活中圆周运动实例分析，其中说法正确的是（ ）
A．甲图中，汽车通过凹形桥的最低点时，速度不能超过
B．乙图中，“水流星”匀速转动过程中，在最低处水对桶底的压力最大
C．丙图中，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
D．丁图中，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球向心加速度不相等
【答案】B
【详解】A．汽车通过凹形桥的最低点时为超重，速度大小可以超过，A错误；
B．“水流星”匀速转动过程中，在最低处桶底对水的支持力为，则
得
由牛顿第三定律得，水对桶底的压力大小为
在最高处桶底对水的压力为，则
由牛顿第三定律得，在最高处水对桶底的压力大小为
所以在最低处水对桶底的压力最大，B正确；
C．丙图中，火车转弯超过规定速度行驶时，重力和支持力的合力不够提供向心力，外轨受到挤压，C错误；
D．丁图中，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，设筒臂和竖直方向的夹角为，则
得
所以A、B两位置小球向心加速度相等，D错误。
故选B。
3．如图所示，竖直杆OP光滑，水平杆OQ粗糙，质量均为m的两个小球穿在两杆上，并通过轻弹簧相连，在图示位置AB连线与竖直方向成角时恰好平衡，现在让系统绕OP杆所在竖直线为轴以从零开始逐渐增大的角速度转动，下列说法正确的是（ ）
A．小球A与OQ杆的弹力随的增大可能增大
B．弹簧的长度随的增大而增长
C．小球A与杆的摩擦力随的增大而增大
D．开始的一段时间内，B小球与杆的弹力随的增大而可能不变
【答案】D
【详解】A．根据题意，对整体受力分析可知，A、B竖直方向受力平衡，则A与杆的弹力与A、B的重力平衡，所以大小是不变，故A错误；
BC．根据题意可知，随着角速度的增大，在A相对不动时，弹簧的长度不变，设此时弹簧弹力为，由牛顿第二定律有
可知，小球A与杆的摩擦力先减小，后反向增大，故BC错误；
D．开始的一段时间内，A相对不动时，弹簧长度不变，此过程中B与杆的弹力也不变，故D正确。
故选D。
4．如图所示，一个质量为0.2kg的小球，以的初速度从A点平抛出去，恰好从B点沿切线进入圆弧，经过圆弧后从D点射出，又恰好落到B点。已知圆弧半径R=0.4m，A与D在同一水平线上，。以下计算正确的是（ ）
A．角为30°
B．D点的速度大小为1m/s
C．A、D的距离为0.8m
D．在D点时，小球对管壁的作用力恰好为零
【答案】B
【详解】A．小球从A到B做平抛运动，竖直方向上有
到达B点时
联立可得
，
故A错误；
B．小球从D到B，由平抛运动规律
代入可得
故B正确；
C．A、D的距离为
故C错误；
D．在D点，由向心力公式得
解得
小球对管壁的作用力
方向竖直向下；故D错误。
故选B。
5．如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是。若皮带不打滑，则关于A、B、C三轮边缘a、b、c三点的下列物理量的比，错误的是（ ）
A．角速度之比为1∶2∶2 B．线速度大小为1∶1∶2
C．向心加速度大小之比为1∶2∶4 D．周期之比为2∶2∶1
【答案】D
【详解】AB．A、B两轮通过皮带传动，两轮与皮带接触点的线速度大小相等，可知
由角速度和线速度的关系式可知，线速度大小相等的情况下，角速度与半径成反比，可知
B、C两轮同轴传动，两轮角速度相同，即
角速度相同的情况下，线速度与半径成正比，可知
联立对比可得
AB正确，不符合题意；
D．由可得，周期之比为2∶1∶1，D错误，符合题意；
C．向心力的表达式为
结合AB解析可得，向心加速度大小之比为1∶2∶4，C正确，不符合题意。
故选C。
6．某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离后落地．已知握绳的手离地面高度为，手与球之间的绳长为，重力加速度，忽略空气阻力．则（ ）
A．绳子的最大拉力为
B．绳子的最大拉力为
C．从绳断到小球落地的时间为
D．小球落地时的速度大小为
【答案】C
【详解】ABC．绳断后小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动有
解得
水平方向做匀速运动有
解得
球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动，在最低点时有
代入数据解得
故AB错误，C正确；
D．小球落地时的竖直方向速度大小为
小球落地时的速度大小为
故D错误。
故选C。
7．如图所示，如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速转动，那么从它的分针与时针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为（ ）
A．1h B．h C．h D．h
【答案】C
【详解】分针的角速度
时针的角速度
从它的分针与时针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为
故选C。
8．如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做完整的圆周运动，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．小球在圆周最高点时所受向心力一定为小球重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．小球在最低点时绳子的拉力一定小于小球重力
D．小球在最高点的速率至少为
【答案】D
【详解】ABD．小球刚好经过最高点时，绳子拉力为零，重力刚好提供向心力，则有
解得小球在最高点的最小速度为
当小球经过最高点的速度大于时，小球在圆周最高点时所需的向心力由重力和绳子拉力的合力提供，故AB错误，D正确；
C．设小球经过最低点时的速度为，根据牛顿第二定律可得
解得
故C错误。
故选D。
二、多选题
9．如图所示为一个半径为5m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方20m的高度有一个小球正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出，取，不计空气阻力，要使得小球正好落在A点，则（ ）
A．小球平抛的初速度一定是2.5m/s
B．小球平抛的初速度可能是2.5m/s
C．圆盘转动的角速度可能是2.5π rad/s
D．圆盘转动的角速度可能是10p rad/s
【答案】AD
【详解】AB．根据
可得
则小球平抛的初速度
A正确，B错误；
CD．若恰好落到A点，则
ωt=2nπ（n＝1、2、3、×××）
解得圆盘转动的角速度
（n＝1、2、3、×××）
C错误，D正确。
故选AD。
10．如图所示，三个完全相同的物体A、B和C放在水平圆盘上，它们分居圆心两侧且共线，用两根不可伸长的轻绳相连。物块质量均为1kg，与圆心距离分别为、和，其中且。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘以不同角速度绕轴OO＇匀速转动时，A、B绳中弹力和B、C绳中弹力随的变化关系如图所示，取，下列说法正确的是（ ）
A．物体与圆盘间的动摩擦因数
B．物体B与圆心距离，
C．当角速度为时，圆盘对A的静摩擦力方向背离圆心
D．当角速度为时，A、B恰好与圆盘发生滑动
【答案】BD
【详解】A．由题图可知
所以当时，A、B间绳刚要有拉力，对物体A有
解得
故A错误；
B．由题图可知
所以当时，B、C间绳刚要有拉力，对物体C，有
解得
当时，A、B间绳和B、C间绳的拉力均为1N，对物体B只有摩擦力提供向心力，有
解得
故B正确；
C．当角速度为时，对物体A有
解得
方向指向圆心，故C错误；
D．由图像可以得出当角速度为时，，。
对物体A有
解得
对物体C有
解得
说明此刻A、B恰好与圆盘发生滑动，故D正确。
故选BD。
11．如图所示，物体P用两根等长细线BP、AP（不可伸长）系于竖直杆上，随杆转动，若转动角速度为，则（ ）
A．只有超过某一值时，绳子AP才有拉力
B．绳子BP的拉力随的增大而不变
C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力
D．当增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力
【答案】AC
【详解】A．设转动角速度为时，AP绳刚好伸直，但拉力刚好为零，此时物体只受重力和BP绳拉力；设此时BP绳与竖直方向的夹角为，绳子长度为，根据牛顿第二定律可得
解得
可知当大于时，绳子AP才有拉力，故A正确；
BCD．当时，绳子AP拉力为零，竖直方向根据受力平衡可得
随的增大，逐渐增大，逐渐减小，绳子BP的拉力逐渐增大；
当时，绳子AP有拉力，AP、BP绳与竖直方向的夹角均为，则有
联立可得
，
可知随的增大，绳子BP的拉力逐渐增大；绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力，故C正确，BD错误。
故选AC。
12．如图所示为一皮带传动装置，A、C在同一大轮上，B在小轮边缘上，在传动过程中皮带不打滑，已知R=2r，rC=r，则（ ）
A．ωC=ωB B．vC=vB C．vC=0.5vB D．ωB=2ωC
【答案】CD
【详解】AD．A、C两点同轴转动，具有相同的角速度．A、B两点线速度相等，即
,
根据
且
，
可得角速度之比
线速度之比
故选CD。
13．如图所示，用同样材料做成的A、B、C三个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起绕竖直轴转动。已知三物体质量间的关系mA = mB = 2mC，转动半径之间的关系是rC = rA = 2rB，那么以下说法中正确的是（ ）
A．物体A受到的摩擦力最大
B．物体B受到的摩擦力和C一样大
C．物体B的向心加速度最大
D．转台转速加快时，物体A比物体C先开始滑动
【答案】AB
【详解】AB．A、B、C三个物体的角速度相同，设角速度为ω，则三个物体受到的静摩擦力分别为
所以物体A受到的摩擦力最大，物体B受到的摩擦力和C一样大，AB正确；
C．根据向心加速度a = ω2r，ω相同，B的半径r最小，则物体B的向心加速度最小，C错误；
D．三个物体受到的最大静摩擦力分别为
fAm = μmAg
fBm = fAm = μmAg
转台转速加快时，角速度ω增大，三个受到的静摩擦力都增大，则三者都刚要相对滑动时对应的角速度为
分别解得
则转台转速加快时，物体A和物体C同时开始滑动，后B物体开始滑动，D错误。
故选AB。
14．如图所示，一个半径为的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，小球与环间的动摩擦因数为0.4，某时刻小球向右滑动经过环的最高点时，环对小球的滑动摩擦力大小为（不计空气阻力，重力加速度），则该时刻环对小球弹力的方向和小球的速率正确的是（ ）
A．环对小球的弹力方向竖直向上，速率
B．环对小球的弹力方向竖直向上，速率
C．环对小球的弹力方向竖直向下，速率
D．环对小球的弹力方向竖直向下，速率
【答案】AD
【详解】AB．根据
解得
若环对小球的弹力方向竖直向上，则有
解得
A正确，B错误；
CD．根据上述，若环对小球的弹力方向竖直向下，则有
解得
C错误，D正确。
故选AD。
15．有一辆质量为800kg的小汽车，以5m/s的速度驶上圆弧半径为50m的拱桥，不考虑空气阻力，g取，在桥的最高点时（ ）
A．汽车对桥的压力大小为8000N
B．汽车对桥的压力大小为7600N
C．要使汽车腾空，行驶速度至少应为20m/s
D．如果拱桥半径增大到地球半径（R=6400km），汽车要想腾空，行驶速度至少应为8000m/s
【答案】BD
【详解】AB．对小汽车分析有
根据牛顿第三定律有
解得
A错误，B正确；
C．要使汽车腾空，则有
解得
C错误；
D．根据上述可知，如果拱桥半径增大到地球半径则有
解得
即如果拱桥半径增大到地球半径（R=6400km），汽车要想腾空，行驶速度至少应为8000m/s，D正确。
故选BD。
16．如图所示，一位同学玩飞镖游戏，圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L，当飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动，忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（ ）
A．飞镖击中P点所需要的时间为
B．圆盘的半径可能为
C．圆盘转动的角速度的最小值为
D．圆盘转动的线速度不可能为
【答案】AB
【详解】A．飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，因此
故A正确；
B．飞镖击中P点时，P恰好在最下方，则
解得圆盘的半径为
故B正确；
C．飞镖击中P点，则P点转过的角度满足
1，
故
则圆盘转动角速度的最小值为，故C错误；
D．P点随圆盘转动的线速度为
当时
故D错误。
故选AB。
17．如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴的距离为l，b与转轴的距离为。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A．a可能比b先开始滑动
B．a、b所受的静摩擦力始终相等
C．是b开始滑动的临界角速度
D．当时，a所受摩擦力的大小为
【答案】CD
【详解】AB．两个木块的最大静摩擦力相等，木块随圆盘一起转动，木块所受静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得，木块所受的静摩擦力满足
由于两个木块的m、ω相等，a的运动半径小于b，所以b所受的静摩擦力大于a的静摩擦力，当圆盘的角速度增大时，b的静摩擦力先达到最大值，所以b一定比a先开始滑动，故A、B错误；
C．当b刚要滑动时，物块所受静摩擦力达到最大，则有
解得b开始滑动的临界角速度为
故C正确；
D．当a刚要滑动时，物块所受静摩擦力达到最大，则有
解得a开始滑动的临界角速度为
因为
所以a相对圆盘静止，此时a物块所受摩擦力是静摩擦，则有
解得a所受摩擦力的大小为
故D正确。
故选CD。
18．如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，小球通过最高点时的速率为，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则小球对管无压力
B．若，则小球对管内上壁有压力
C．若，则小球对管内上壁有压力
D．不论多大，小球对管内下壁都有压力
【答案】AB
【详解】A．在最高点，只有重力提供向心力时，由
解得
此时小球对管内壁无压力，选项A正确；
B．若，则有
表明小球对管内上壁有压力，选项B正确；
C．若0＜v0＜，则有
表明小球对管内下壁有压力，选项C错误；
D．综上分析，选项D错误。
故选AB。
三、解答题
19．如图所示，细绳一端系一小球，另一端悬挂在点，绳长，缓慢增加转轴的转动速度，使小球在水平面内做圆周运动．小球质量为，细线能承受的的最大拉力，点到水平地面的距离为，重力加速度，求：
（1）小球能在水平面内做圆周运动的最大角速度；
（2）细线被拉断后，小球落地点到点水平地面上的竖直投影点的距
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