专题1-4-圆的方程(7类必考点)(原卷版).docx

专题1.4 圆的方程

【考点1：圆的一般方程】 1
【考点2：圆的标准方程】 1
【考点3：二元二次方程表示圆的条件】 1
【考点4：点与圆的位置关系】 1
【考点5：关于点、直线对称的圆的方程】 2
【考点6：与圆有关的轨迹问题】 2
【考点7：与圆有关的最值问题】 2

【考点1：圆的一般方程】
【知识点：圆的一般方程】
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：
半径：r＝
1．（2022•广州三模）设甲：实数a＜3；乙：方程x2+y2﹣x+3y+a＝0是圆，则甲是乙的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021秋•阿拉善左旗校级期末）圆2x2+2y2+6x﹣4y﹣3＝0的圆心坐标和半径分别为（　　）
A．（-32，1）和194 B．（3，2）和192
C．（-32，1）和192 D．（32，﹣1）和192
3．（2022•沙坪坝区校级模拟）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是（5，6），（3，﹣4），则这个圆的方程为（　　）
A．x2+y2+4x﹣2y+7＝0 B．x2+y2﹣8x﹣2y﹣9＝0
C．x2+y2+8x+2y﹣6＝0 D．x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0
4．（2021秋•湖北期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3交x轴于A，B两点，交y轴于C点．若圆M过A，B，C三点，则圆M的方程是（　　）
A．x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0 B．x2+y2+2x﹣2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0 D．x2+y2﹣4x﹣12y+3＝0
5．（2021秋•亳州期末）圆心在x轴上且过点(1，3)的圆与y轴相切，则该圆的方程是（　　）
A．x2+y2﹣4x＝0 B．x2+y2+4x＝0 C．x2+y2﹣4y＝0 D．x2+y2+4y＝0
（多选）6．（2022春•新邵县校级月考）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y+m＝0的直径为4，则（　　）
A．m＝1 B．m＝2
C．圆心为（1，﹣2） D．圆心为（﹣1，﹣2）
（多选）7．（2021秋•潮阳区期末）已知方程x2+y2﹣4x+8y+2a＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．当a＝10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆
B．当a＜10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆
C．当a＝0时，表示的圆的半径为25
D．当a＝8时，表示的圆与y轴相切
8．（2021秋•齐齐哈尔期末）四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功、幸福、平安、健康，表达了人们对美好生活的向往．梵克雅宝公司在设计四叶草吊坠的时候，利用了曲线方程C：x2+y2＝2|x|+2|y|（如图所示）进行图案绘制．试求曲线C围成的封闭图形的面积 　　．

9．（2021秋•天津期末）已知圆C经过A（1，3），B（4，2），M（1，﹣7）三点，并且与y轴交于P，Q两点，求线段PQ的长度．

【考点2：圆的标准方程】
【知识点：圆的标准方程】
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)
半径：r
1．（2022春•昌平区校级月考）圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圆心、半径是（　　）
A．（1，﹣2），4 B．（1，﹣2），2 C．（﹣1，2），4 D．（﹣1，2），2
2．（2022•福州模拟）已知A（-3，0），B（3，0），C（0，3），则△ABC外接圆的方程为（　　）
A．（x﹣1）2+y2＝2 B．（x﹣1）2+y2＝4
C．x2+（y﹣1）2＝2 D．x2+（y﹣1）2＝4
3．（2021秋•白山期末）已知圆M的圆心在直线x+y﹣4＝0上，且点A（1，0），B（0，1）在M上，则M的方程为（　　）
A．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝13 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1
C．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5 D．（x+1）2+（y+1）2＝5
4．（2021秋•合肥期末）已知圆心为C的圆经过A（﹣3，3），B（0，2）两点，且圆心C在直线l：x﹣2y﹣1＝0上，求此圆的标准方程．

5．（2021秋•红山区期末）已知点A（1，﹣2），B（﹣1，4），求：
（1）过点A，B且周长最小的圆的方程；
（2）过点A，B且圆心在直线2x﹣y﹣4＝0上的圆的方程．

【考点3：二元二次方程表示圆的条件】
【知识点：二元二次方程表示圆的条件】
1．（2022•武汉模拟）“a＜8”是“方程x2+y2+2x+4y+a＝0表示圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021秋•龙潭区校级期末）若曲线x2+y2+2x+my+2＝0表示圆，则m的取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．[2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
3．（2021秋•抚州期末）若方程x2+y2﹣2y+m2﹣m+1＝0表示圆，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣2，1） B．(-1，12)
C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（0，1）
4．（2021秋•亭湖区校级月考）方程x2+y2+2ax﹣2y+a2+a＝0表示圆，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤1 B．a＜1 C．a＞1 D．0＜a＜1
5．（2022春•嘉定区校级月考）已知2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0表示圆，则实数a的值是 　　．
6．（2022•临潼区二模）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+2x+8y+5a＝0表示圆，则圆心坐标是　　．

【考点4：点与圆的位置关系】
【知识点：点与圆的位置关系】
①点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
理论依据
点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外
(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内
1．（2022•丹东模拟）“a＞0”是“点（0，1）在圆x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022•河南模拟）已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0外，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣3，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞）
C．（﹣2，+∞） D．（﹣3，+∞）
3．（2021秋•莱西市期末）点（2a，a﹣1）在圆x2+y2﹣2y﹣12＝0的内部，则实数a的取值范围是（　　）
A．-9＜a＜15 B．-1＜a＜95 C．-95＜a＜1 D．-15＜a＜9
4．（2022春•乐山期末）点（1，0）与圆x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的位置关系是 　　．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
5．（2021秋•宜春期末）已知点P（1，2）是圆C：x2+y2+x﹣2y+m＝0外一点，则m的取值范围为 　　．
6．（2022•下陆区校级模拟）如果圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是　　．

【考点5：关于点、直线对称的圆的方程】
【知识点：关于点、直线对称的圆的方程】
①圆关于点对称
(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．
(2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
②圆关于直线对称
(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．
(2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．
1．（2020秋•香坊区校级期末）圆（x+3）2+y2＝4关于原点（0，0）对称的圆的方程为（　　）
A．x2+（y﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2+y2＝4
C．x2+（y﹣2）2＝4 D．（x﹣2）2+y2＝4
2．（2022春•澄城县期末）若圆x2﹣2x+y2＝0与圆C关于直线x+y＝0对称，则圆C的方程为（　　）
A．x2+2x+y2＝0 B．x2+y2﹣2y＝0 C．x2+y2+2y＝0 D．x2﹣2x+y2＝0
3．（2022春•未央区校级月考）圆C：（x+3）2+（y﹣4）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为（　　）
A．（x﹣4）2+（y+3）2＝1 B．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝49
C．（x+4）2+（y﹣3）2＝1 D．（x+4）2+（y+3）2＝49
4．（2021秋•雨花区期中）圆（x﹣3）2+（y+4）2＝1关于点（1，2）的对称圆的方程是 　　．
5．（2021秋•清远期末）圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线l：x﹣y+1＝0对称的圆的标准方程为 　　．
6．（2021秋•朝阳区校级期末）圆（x+2）2+（y﹣3）2＝1关于y轴对称的圆的标准方程为 　　．

【考点6：与圆有关的轨迹问题】
【知识点：求与圆有关的轨迹问题的四种方法】

1、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

2、已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．

【考点7：与圆有关的最值问题】
【知识点：与圆有关最值问题的求解策略】
处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：
常见类型
解题思路
μ＝型
转化为动直线斜率的最值问题
t＝ax＋by型
转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解
m＝(x－a)2＋(y－b)2型
转化为动点与定点的距离的平方的最值问题
1.已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则的最大值与最小值分别为________．
2.设点P是函数y＝－图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．
3、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．