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直觉思维在解数学选择题中的应用
高三数学组 唐西华2009.1.8
数学选择题在广东高考试卷中，所占的分值40分，它具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，对于能否进入最佳状态,以至于整个考试的成败起着举足轻重的作用.解答选择题的基本策略是准确、迅速。
数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守数学概念和逻辑演绎的规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，它直接领悟事物本质，是一种跳跃式的预见，因此大大缩短思考时间。在解数学选择题时，巧妙运用直觉思维，能有效提高解题速度、准确度。
培养数学直觉思维，可以从特殊结构（包括代数式的结构、图形的结构、问题的结构）、特殊数值、特殊位置、变化趋势、变化极限、范围估计、运算结果、特殊联系等方面来进行。
一、从特殊结构入手
【例题1】 一个正四面体，各棱长均为，则对棱的距离为（ ）
A、1 B、 C、 D、
此题情境设置简洁，解决方法也多，通常可以考虑作出对棱的公垂线段再转化为直角三角形求解。不过若能意识到把这个正四面体置于一个正方体结构中（如图1），则瞬间得到结果，就是该正方体的棱长，为1，选A。

图1
二、从特殊数值入手
【例题2】、已知，则的值为（ ）
A、 B、或 C、 D、
由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及的范围，直接意识到，从而得到，选C 。
【例题3】、△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（ ）
A、 B、 C、1 D、
本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列 “标准”解法，特抄录如下供读者比较：
设y=cosAcosBcosC，则2y=[cos（A+B）+ cos（A-B）] cosC，
∴cos2C- cos（A-B）cosC+2y=0，构造一元二次方程x2- cos（A-B）x+2y=0，则cosC是一元二次方程的根，由cosC是实数知：△= cos2（A-B）-8y≥0，
即8y≤cos2（A-B）≤1，∴，故应选B。
这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A、B、C的地位完全平等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60゜即得答案B，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的真实意图所在。
三、从特殊位置入手
【例题4】、如图2，已知一个正三角形内接于一个边长
为的正三角形中，问取什么值时，内接正三角形的面
积最小（ ）
A、 B、 C、 D、 图2
显然小三角形的端点位于大三角形边的中点时面积最小，选A。
【练习5】、双曲线的左焦点为F，
点P为左支下半支异于顶点的任意一点，则直线PF的
斜率的变化范围是（ ）
A、 B、
C、 D、 图3
进行极限位置分析，当P时，PF的斜率；当时，斜率不存在，即或；当P在无穷远处时，PF的斜率。选C。
四、从变化趋势入手
【例题6】、（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？（ ）
A、8 cm2 B、6 cm2 C、3 cm2 D、20 cm2
此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为cm2，选B。
【例题7】、（07海南、宁夏理11文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中个射箭20次，三人测试成绩如下表：
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4

分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
A、 B、 C、 D、
我们固然可以用直接法算出答案来，标准答案也正是这样做的，但是显然时间会花得多。凭直觉你可以估计到：它们的期望值相同，离开期望值比较近的数据越多，则方差——等价于标准差会越小！所以选B。
五、从变化极限入手
【例题8】、在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，若c-a等于AC边上的高，那么的值是（ ）
A、1 B、 C、 D、-1
进行极限分析，时，点，此时高，那么，所以，选A。
【例题9】、（06辽宁文11） 与方程的曲线关于直线对称的曲线方程为（ ）
A、 B、
C、 D、
用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为，是个增函数。再令那么那么根据反函数的定义，在正确选项中当时应该有只有A符合.
六、从范围估计入手
【例题10】、（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）
A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648
先看“标准”解法——甲获胜分两种情况：①甲：乙=2：0，其概率为0.6×0.6=0.36，②甲：乙=2：1，其概率为，所以甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648，选D。
现在再用直觉法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1，而甲获胜的概率比乙大，应该超过0.5，只有选D。
【例题11】（07湖北理9）连续投掷两次骰子的点数为，记向量b=（m，n）与向量a=（1，-1）的夹角为，则的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
凭直觉可用估值法，画个草图（图4），立刻
发现在范围内（含在OB上）的向量b的个 图4
数超过一半些许，选C，完全没有必要计算。
七、从运算结果入手
【例题12】、（97全国理科）函数的最小正周期是（ ）
A、 B、 C、 D、
因为，所以函数的周期只与有关，这里，所以选B，根本不必计算。
【例题13】、若，则（ ）
A、-1 B、1 C、0 D、
直觉告诉我们，从结果看，展开式系数取绝对值以后，其和会相当大，选D。或者退化判断法：将7次改为1次；还有一个更加绝妙的主意：干脆把问题转化为已知，求，这与原问题完全等价！所以结果为，选D。
八、从特殊联系入手
【例题14】、（97年高考）不等式组的解集是（ ）
A、 B、
C、 D、
直接求解肯定不是最佳策略；四个选项左端都是0，只有右端的值不同，在这四个值中会是哪一个呢？直觉：它必定是方程的根！，代入验证：2不是，3不是， 2.5也不是，所以选C。
【例题15】、四个平面，最多可以把空间分成几部分？（ ）
A．8 B．14 C．15 D．16
这个问题等价于：一个西瓜切4刀，假设在此过程中西瓜不散落，则最多可以切成几块？
前3刀沿横、纵、竖三个方向切成8块应该没有问题，第4刀怎么切呢？要得到最多的块数，应该尽可能切到前8块，所以切法应该区别于前3刀的方向，即斜切，但总有1块切不到，所以答案为8×2-1=15，选C。
也可以这样考虑：假设已经切好了，则中间必定有1块是没有皮的四面体，与每一个面相邻的有1块，共4块；与每条棱相接的有1块，共6块；与每顶点相对的有1块，共4块；所以总数是1+4+6+4=15，选C。
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