高等教育概率论与数理统计第讲.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,1,概率,2,每一个事件都有它的发生概率,即给定事件,A,存在着一个正数,P,与之对应,称之为事件,A,的概率,记作,P,(,A,),或,P,A,.,最高的发生概率为,1,表示必然发生,.,最低的概率为,0,表示不可能发生,.,而一般的随机事件的概率介于,0,与,1,之间,.,这里只是概率的数学上的规定,其实就是任何一个事件到实数轴上的,0,1,区间的映射,.,但怎样获得切合实际的一个事件的概率呢,?,3,概率的统计定义,概率的统计定义并非严格的数学上的定义,而只是大数定律的一个描述,.,在,n,次重复试验中,如果事件,A,发生了,m,次,则,m,/,n,称为事件,A,发生的频率,.,同样若事件,B,发生了,k,次,则事件,B,发生的频率为,k,/,n,.,如果,A,是必然事件,有,m,=,n,即必然事件的频率是,1,当然不可能事件的频率为,0.,如果,A,与,B,互不相容,则事件,A,+,B,的频率为,(,m,+,k,)/,n,它恰好等于两个事件的频率的和,m,/,n,+,k,/,n,这称之为频率的可加性,.,4,定义,1.1,在不变的条件下,重复进行,n,次试验,事件,A,发生的频率稳定地某一常数,p,附近摆动,且一般说来,n,越大,摆动幅度越小,则称常数,p,为事件,A,的概率,记作,P,(,A,).,但这不是概率的数学上的定义,而只是描述了一个大数定律,.,5,历史上的掷硬币试验,试验者,抛掷次数,n,正面出现次数,m,正面出现频率,m,/,n,德,.,摩尔根,2048,1061,0.518,蒲丰,4040,2048,0.5069,皮尔逊,12000,6019,0.5016,皮尔逊,24000,12012,0.5005,维尼,30000,14994,0.4998,6,概率的稳定性是概率的经验基础,但并不是说概率决定于经验,.,一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构,指试验条件,是先于试验而客观存在的,.,概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的,但并不能用这个定义计算,P(A).,实际上,人们是采取一次大量试验的频率或一系列频率的平均值作为,P(A),的近似值的,.,例如,对一个妇产医院,6,年出生婴儿的调查中,可以看到生男孩的频率是稳定的,约为,0.515,7,新生儿性别统计表,出生年份,新生儿总数,n,新生儿分类数,频率,(%),男孩数,m,1,女孩数,m,2,男孩,女孩,1977,3670,1883,1787,51.31,48.69,1978,4250,2177,2073,51.22,48.78,1979,4055,2138,1917,52.73,47.27,1980,5844,2955,2889,50.56,49.44,1981,6344,3271,3073,51.56,48.44,1982,7231,3722,3509,51.47,48.53,6,年总计,31394,16146,15248,51.48,48.52,8,概率的古典定义,(,概率的古典概型,),有一类试验的特点是,:,1,每次试验只有有限种可能的试验结果,2,每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同,.,具这两个特点的试验称为古典概型试验,.,在古典概型的试验中,如果总共有,n,个可能的试验结果,因此每个基本事件发生的概率为,1/,n,如果事件,A,包含有,m,个基本事件,则事件,A,发生的概率则为,m,/,n,.,9,定义,1.2,若试验结果一共由,n,个基本事件,E,1,E,2,E,n,组成,并且这些事件的出现具有相同的可能性,而事件,A,由其中某,m,个基本事件,E,1,E,2,E,m,组成,则事件,A,的概率可以用下式计算,:,10,简单的例,掷一枚硬币的试验,基本事件为正面和反面,而且由于硬币的对称性,因此出现正面和反面的概率一样,都是,1/2.,掷一次骰子的试验,基本事件有,6,个,因此每个基本事件的概率为,1/6,则,P,奇数点,=3/6=1/2,P,小于,3=P1,2=2/6=1/3,等等,.,11,排列和组合,在古典概型的概率的计算中困难的是计算一事件包含的基本事件的数目,因此需要排列和组合的知识,.,乘法法则,:,如果一件事情可以分为两步做,第一步有,n,种选择,在第一步中的每一种选择中,第二步有,m,种选择,则整件事情共有,m,n,种选择,12,放回抽样,假设一副牌有,52,张,将它们编号为,1,2,52.,每次抽出一张观察后再放回去,(,这样下一次这张牌仍有机会被抽到,),这叫放回抽样,.,假设共抽了,5,次,共有多少种可能的抽法,?,第一次有,52,种抽法,在第一次的每一种抽法中,第二次又有,52,种抽法,因此抽,5,次共有,52,52525252=52,5,种抽法,.,一般地,从,n,个元素中进行,m,次放回抽样,则共有,n,m,种抽法,.,13,不放回抽样,(,排列,),还是这,52,张牌,每次抽出一张,但不放回,则第二次抽时只有,51,张牌,第三次就只有,50,张牌,.,如果这样抽,5,次,就共有,52,51504948=52!/47!,种抽法,一般地,从,N,个元素中抽取,n,个,(,n,N,),共有,14,不放回抽样,(,组合,),如果从,N,个元素中不放回抽样,n,个,但不关心其顺序,比如说,(1,2,3),和,(3,2,1),(2,3,1),被视作一样,则称为组合,因此,组合的数目要比排列的数目小,n,!,倍,记作,15,书上例,1,袋内装有,5,个白球,3,个黑球,从中任,两个球,计算取出的两个球都是白球的概率,.,16,例,2,一批产品共,200,个,废品有,6,个,求,(1),这批产品的废品率,;(2),任取,3,个恰有一个是废品的概率,;(3),任取,3,个全非废品的概率,解 设,P,(,A,),P,(,A,1,),P,(,A,0,),分别表示,(1),(2),(3),中所求的概率,则,17,例,3,两封信随机地向标号为,1,2,3,4,的,4,个邮筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入,1,封信的概率及前两个邮筒中各有一封信的概率,.,解 设事件,A,=,第二个邮筒恰有一封信,事件,B,=,前两个邮筒中各有一封信,两封信投入,4,个邮筒共有,4,4,种投法,而组成事件,A,的投法有,2,3,种,组成事件,B,的投法则只有,2,种,因此,18,比较难的例子：,一个小型电影院出售电影票,每张,5,元,.,总共有,10,个观众随机地排成一队买票,其中有,5,人手持一张,5,元的钞票,另,5,人手持,10,元一张的钞票,.,售票开始时,售票员手里没有零钞,求售票能够进行的概率,(,即不因为缺少零钱找不开而需要等的概率,).,19,售票能进行的例,:,售票不能进行的例,:,持五元,持十元,20,基本事件总数,n,的计算,:,考虑将,5,个手持五元的人随机地放入,10,个排队位置中的,5,个,则剩下的,5,个位置当然是手持十元的人的位置,.,即,10,个位置中拿出,5,个来放手持五元的人的总数,n,.,21,将问题改变一下,假设售票员手里还是有足够的零钞找换的,因此,售票能进行,的事件就等于售票员始终没有使用自己手中的零钞的事件,而,售票不能进行,的事件就是售票员要动用自己手中的零钞的事件,.,假设在售票开始时,售票员手中的五元零钞数目为,0,在售票过程中,遇到手持五元钞的观众则零钞数目增,1,否则零钞数目减,1,如果必须动用售票员手中原有的零钞时,零钞数目可能变为负值,.,将售票过程中的零钞数目的变化绘成折线图,.,22,售票能进行的例子,:,0,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,23,售票不能进行的例子,:,0,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,24,售票不能进行的例子,:,0,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,25,对于售票不能进行的例子,在遇到第一个手持,10,元却必须给他找自己的零钞的人时,将后面的人的手中钞票都换一下,5,元的换,10,元,10,元的换,5,元,这样总的效果就是有,6,人持,10,元钞,4,人持,5,元钞,在售完票时零钞总损失必然是,2,个,5,元钞,.,反过来,如果一开始就是有,6,人持,10,元,4,人持,5,元,则售票必然不能进行,因此必然存在第一个无法找零钞的人,如果这时将其后面的人,10,元换,5,元,5,元换,10,元,则对应于一个,5,人持,10,元,5,人持,5,元且售票不能进行的事件,.,26,因此,6,人持,10,元,4,人持,5,元,的排队事件总数,和,5,人持,10,元,5,人持,5,元售票不能进行,的事件总数应当是一样的,.,我们只需计算前者的事件总数,而这等于先将,10,个排队位置中拿出,4,个放持,5,元的人的总数,.,27,因此,假设事件,A,为售票能进行,事件,B,为售票不能进行,有利于,A,的基本事件数为,n,A,有利于,B,的基本事件数为,n,B,则,28,这还可以扩展到更一般的情况,即假设共有,2,k,个人排队买票,其中,k,个人持五元钞,k,个人持十元钞,每张票五元,售票开始时售票员没有零钞,求售票能够进行的概率,.,假设所求事件的概率为,P,(,A,),售票不能进行的概率为,P,(,B,),则,B,的事件总数为,2,k,个排队位置中取出,k,-,1,个位置的事件数,.,29,再讲函数与定积分,函数的代入,:,我们知道函数就是自变量,x,和函数值,y,间的关系,写作,y,=,f,(,x,),因此,当,x,取具体值的时候,将,x,的具体值代入就可以求得,y,的值,.,例如,f,(,x,)=,x,2,则,f,(5)=5,2,f,(10)=10,2,f,(,a,+,b,)=(,a,+,b,),2,等等,但是,如果,f,(,x,)=2,f,(5)=?,f,(10)=?,f,(,a,+,b,)=?,如果,f,(,x,)=0,f,(3)=?,f,(7)=?,30,常函数,事实上,常函数也是一种函数,函数值总为常数,曲线是一条平行于,x,轴的直线,而,0,函数也是一种函数,函数的曲线是与,x,轴重合的直线,31,定积分就是计算一段曲线下包围的面积，如,记作,32,而常函数的定积分是容易计算的,如果,f,(,x,)=5,33,用牛顿莱布尼兹公式计算也是一样,因为常数,f,(,x,)=,b,的原函数是,bx,+,c,这里,c,是任意常数,因此,34,以后规定无穷大数就是,当然还可以有正无穷大数,+,和负无穷大数,可直接代入函数中,例如,如函数,f,(,x,)=,x,则,f(,+,)=,+,f(,-,)=,-,如函数,f,(,x,)=,e,x,则,f(,+,)=,+,f(,-,)=,0,35,因此一个广义积分不必写成,36,介绍蒙特卡洛试验技术,我们知道象掷硬币这样的试验作一次是很费时间的,.,但是计算机出现以后,通常都有一个随机函数,此随机函数每次调用的返回值都不一样,会产生一个随机的数字,因此我们就可以利用这样一个随机的数字进行反复的试验来求出我们所希望的事件的概率,.,特别是有一些事件的概率求起来非常困难,但用计算机进行仿真试验,就可以通过统计的办法求出概率的近似值,这叫做蒙特卡洛试验,.,37,在,word,上编程试验掷硬币,Word,字处理器带有一个,virsal basic,编译器,word,的宏都是用它来编写的,.,在进入,word,之后,选择,工具,|,宏,|,宏菜单,在宏名上键入你想要的宏的名字,这里我们键入,test,然后单击,创建,按钮,这就进入,virsal basic,编译器,.,Basic,语言中有一个函数叫,rnd(),每调用一次它就会返回一个在区间,0,1),内的随机数,因此可以在调用此函数后判定返回值是否小于,0.5,如果小于就是反面,否则就是正面,这样可以保证正面和反面的机会都是,0.5.,38,因此键入这样的语句,If rnd()0.5 then,selection.typetext text:=,反面,Else,selection.typetext text:=,正面,End if,则每调用一次这个宏就相当于用计算机模拟作了一次掷硬币试验,39,如果要连做,10,次试验,则语句改成这样,For i=1 to 10,If rnd()0.5 then,selection.typetext text:=,反面,Else,selection.typetext text:=,正面,End if,Next i,40,如果要统计做,n,次试验中正面出现的频率程序为,Sub test(),n=200000,m=0,For i=1 To n,If Rnd()0.5 Then,m=m+1,End If,Next,Selection.TypeText Text:=Str(m/n),End Sub,41,如果感兴趣,还可以做更多的试验,只须要巧妙地利用这个随机数函数即可,.,甚至可以通过编写各种函数来组合各种复杂的试验,.,这种办法甚至广泛用在计算社会学问题,生物学问题和军事学问题中,甚至一些研究生的研究工作中主要就是在计算机上进行蒙特卡罗试验,.,然后给出试验报告,.,42,请提问,43,作业,第,26,页,第,6,7,8,9,10,11,12,13,14,题,