高等数学.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,定理,1,设函数,f,(,x,),满足条件：,由上述的讨论，我们可以得到如下定理,罗尔（,Rolle,）定理。,设,y,=,f,(,x,),是一条连续光滑的曲线，并且在点,A,、,B,处的纵坐标相等，即,f,(,a,)=,f,(,b,),，如图，那么我们容易看出，在弧,AB,上至小有一点,C,(,f,(,),，曲线在,C,点有水平切线。,（,1,）在闭区间,a,b,上连续；,（,2,）在开区间,(,a,b,),内可导；,（,3,）,f,(,a,)=,f,(,b,).,则在,(,a,b,),内至少存在一点,，使得,证 因,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续所以在,a,b,上一定取到最大值,M,和最小值,m,。,(1),若,M,=,m,则,f,(,x,),在,a,b,上是常数；,f,(,x,)=,M,，,x,a,b,y,o,x,A,C,B,a,b,3.1.1,罗 尔 定 理,由于,f,(,x,),在,处取最大值，所以不论,x,为正或为负，总有,当,x,0,时,(2),若,M,m,，则,M,m,中至小有一个不等于,f,(,a,),，不妨设,f,(,a,),M,。因此，函数,f,(,x,),在内,(,a,b,),某一点,处取到最大值,M,。我们来证,。,同理，当,x,0,时,从而 ，因此，任取,(,a,b,),都有,因此必然有,3.1.2,拉 格 朗 日 中 值 定 理,设函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的图形是一条连续光滑的曲线弧 ，显然 是连接点,A,(,a,f,(,a,),和点,B,(,b,f,(,b,),的弦 的斜率，如图 所示，容易看出，在,(,a,b,),内至少存在一点,使弧 上的点,C,(,f,(,),的切线与弦 平行。,AB,AB,图,y,o,x,A,C,B,a,b,由上述的讨论，我们可以得到如下定理,拉格朗日（,Lagrange,）中值定理。,定理,2,设函数,f,(,x,),满足条件：,（,1,）在闭区间,a,b,上连续；,（,2,）在开区间,(,a,b,),内可导；,则在,(,a,b,),内至少存在一点,，使得,分析：若,f,(,a,)=,f,(,b,),即为罗尔定理，不妨设,f,(,a,),f,(,b,),，证明的,思路是借助一个辅助函数把拉格朗日定理转化为已知的罗尔定理。,容易看出，弦 的方程为,证 作辅助函数,即,而曲线弧 与弦 的纵坐标之差为,AB,它是,x,的函数，将其记为 ，显然函数满足罗尔定理的,条件。,显然 在上,a,b,连续，在,(,a,b,),可导，且,于是由罗尔定理，至少存在一点,(,a,b,),，使得,Made by Huilai Li,中值定理的演示,T,与,l,平行,这样的,x,可能有好多,在区间 上应用拉各朗日中值定理时，,结论可以写成,由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。,证 在,(,a,b,),内任意取两点,x,1,，,x,2,，不妨设,x,1,x,2,，显然,f,(,x,),在,x,1,，,x,2,上连续，在,(,x,1,，,x,2,),内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存,在一点,(,x,1,，,x,2,),，使得,推论,2,若函数,f,(,x,),，,g,(,x,),在,(,a,b,),内可导，且,推论,1,若函数,f,(,x,),在,(,a,b,),内任意点的导数 ，则,f,(,x,),在,(,a,b,),内是一个常数。,由条件知 ，从而,f,(,x,2,),f,(,x,1,)=0,。即,f,(,x,2,)=,f,(,x,1,),。由,x,1,，,x,2,是,(,a,b,),内的任意两点，于是我们就证明了,f,(,x,),在,(,a,b,),内恒为一个常数。,则在,(,a,b,),内，,f,(,x,),与,g,(,x,),最多相差一个常数，即,其中,c,为常数。,事实上，因为 ，由,推论,1,可知,应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等式和不等式。,例,1.,证明等式,证,:,设,由推论可知,(,常数,),令,x,=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立,.,自证,:,经验,:,欲证,时,只需证在,I,上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,证明不等式,证,:,设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.1.3,柯 西 中 值 定 理,定理,3,设函数,f,(,x,),和,g,(,x,),满足条件：,作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理：,则在,(,a,b,),内至少存在一点,，使得,证 先用反证法证明,g,(,b,),g,(,a,)0,，若不然，即有,g,(,b,)=,g,(,a,).,则由罗尔定理知，至少存在一点,x,0,(,a,b,),，使得 ，此与条,件,(3),矛盾，故有,g,(,b,),g,(,a,)0,。,（,1,）在闭区间,a,b,上连续；,（,2,）在开区间,(,a,b,),内可导；,注 容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当,g,(,x,)=,x,时的,一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则。,即,显然,F,(,x,),满足罗尔定理的三个条件，因此，在,(,a,b,),内至少存在一点,，使得 ，即,为证明等式成立，我们作辅助函数,费马,(1601,665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好,.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献,.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理,:,至今尚未得到普遍的证明,.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的,.,拉格朗日,(1736,1813),法国数学家,.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一,.,柯西,(,1789,1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集,共有,27,卷,.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的,分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用,等,有思想有创建,响广泛而深远,.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展,.,复变函数和微分方程方面,.,一生发表论文,800,余篇,著书,7,本,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达法则,第,三,章,定理：设（,1,）,（,2,）在点 的某邻域内（点 本身可以,除外），及 存在且,（,3,）存在或为无穷大，,则有,一 两个无穷小量之比的极限 （型）,3.1.4,罗必达法则,例,1.,求,解,:,原式,注意,:,不是未定式不能用洛必达法则,!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,求,解,:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,求,解,:,原式,例,4.,求,解,:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n,为正整数,说明,:,例如,而,用洛必达法则,1),在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决,计算问题,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,极限不存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2),若,其他未定式,:,解决方法,:,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,例,5.,求,解,:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,原式,例,6.,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,例,5,目录 上页 下页 返回 结束,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,例,7,解,例,8.,求,解,:,利用 例,5,例,5,目录 上页 下页 返回 结束,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,例,9,解,1,求,2,求极限,3,解,1,求,2,求极限,解 原式,解,3,例,8.,求,解,:,注意到,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,洛必达法则,令,取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1,.,设,是未定式极限,如果,不存在,是否,的极限也不存在,?,举例说明,.,极限,说明 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达,(1661,1704),法国数学家,他著有,无穷小分析,(1696),并在该书中提出了求未定式极,限的方法,后人将其命名为“洛必达法,的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降,线”问题,在他去世后的,1720,年出版了他的关于圆,锥曲线的书,.,则”,.,他在,15,岁时就解决了帕斯卡提出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,原式,=,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,一、函数单调性和极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲线的凹凸与拐点,3.2,函数性态的研究,第三章,3.2.1,函数单调性和极值,1.,函数的单调性,若,定理,1.,设函数,则 在,(,a,b,),内单调递增,(,递减,).,证,:,无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在,I,内单调递增,.,在,(,a,b,),内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,3.2.1,函数单调性和极值,1.,函数的单调性,若,定理,1.,设函数,则 在,(,a,b,),内单调递增,(,递减,).,在,(,a,b,),内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,确定函数,的单调区间,.,解,:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,:,单调区间的分界点除导数为,0,的点外,也可是导数不存在的点,.,例如,2),如果函数在导数为,0,的点两边导数同号,则不改变函数的单调性,.,例如,例,2.,证明,时,成立不等式,证,:,令,从而,因此,且,证,证明 目录 上页 下页 返回 结束,*,证明,令,则,从而,即,2,函数的极值及其求法,定义,:,在其中当,时,(1),则称 为 的,极大值点,称 为函数的,极大值,;,(2),则称 为 的,极小值点,称 为函数的,极小值,.,极大值点与极小值点统称为,极值点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极大值与极小值统称为函数的,极值,.,注意,:,为极大值点,为极小值点,不是极值点,2),对常见函数,极值可能出现在导数为,0,或,不存在的点,.,1),函数的极值是函数的局部性质,.,例如,为极大值点,是极大值,是极小值,为极小值点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,2,若函数,f,(,x,),在点 处有极值，,且 存在，则,使 的点 称为函数,f,(,x,),的驻点,定理,1,(,极值第一判别法,),且在空心邻域,内有导数,(1),“,由正变负”,(2),“,由负变正”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),符号不改变,则 在 处无极值,例,1.,求函数,的极值,.,解,:,1),求导数,2),求极值可疑点,令,得,令,得,3),列表判别,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,2,(,极值第二判别法,),二阶导数,且,则 在点 取极大值,;,则 在点 取极小值,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不确定,例,2.,求函数,的极值,.,解,:1),求导数,2),求驻点,令,得驻点,3),判别,因,故 为极小值,;,又,故需用第一判别法判别,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下列命题是否正确？为什么？,(1),若 ，则,x,0,是,f,(,x,),的极值点；,(2),若,f,(,x,),在,x,0,点取得极值，必有 ；,解,(1),错误。如,f,(,x,),x,3,，则 ，但,f,(,x,),在,x,0,0,点无极值。,(2),错误。反例为,，易知,f,(,x,),f,(0),，即,x,0,0,是,f,(,x,),极值点，但,f,(,x,),在,x,0,0,不可导。,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到,.,求函数最值的方法,:,(1),求 在 内的极值可疑点,(2),最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别,:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到,.,若在此点取极大 值,则也是最大 值,.,(,小,),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点,.,(,小,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.2.2,曲线的凹凸性与拐点,1,曲线的凹凸性,定义：如果一段曲线位于它上面任一点的切线上方，,我们就称这段曲线是凹曲线；,如果一段曲线位于它上面任一点的切线下方，,我们就称这段曲线是凸曲线；,曲线的拐点：如果一条曲线既有凹的部分也有凸的部分，,那么这两部分的分界点叫拐点。,定理,2.(,凹凸判定法,),(1),在,I,内,则 在,I,内图形是凹的,;,(2),在,I,内,则 在,I,内图形是凸的,.,设函数,在区间,I,上有二阶导数,例,1.,判断曲线,的凹凸性,.,解,:,故曲线,在,上是凹的,.,说明,:,1),若在某点二阶导数为,0,2),根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下,:,若曲线,或不存在,但,在 两侧异号,则点,是曲线,的一个拐点,.,则曲线的凹凸性不变,.,在其两侧二阶导数不变号,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,求曲线,的拐点,.,解,:,不存在,因此点,(0,0),为曲线,的拐点,.,凹,凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,求曲线,的凹凸区间及拐点,.,解,:,1),求,2),求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3),列表判别,故该曲线在,及,上凹,凸,点,(0,1),及,均为拐点,.,凹,凹,凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.,可导函数单调性判别,在,I,上单调递增,在,I,上单调递减,2.,曲线凹凸与拐点的判别,+,拐点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是,(),提示,:,利用,单调增加,及,B,1.,设在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,2.,曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示,:,及,;,;,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,有位于一直线的三个拐点,.,1.,求证曲线,证明：,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明,:,当,时，,有,证明,:,令,则,是,凸,函数,即,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,自证,),内容小结,1.,连续函数的极值,(1),极值可疑点,:,使导数为,0,或不存在的点,(2),第一充分条件,过,由,正,变,负,为极,大,值,过,由,负,变,正,为极,小,值,(3),第二充分条件,为极,大,值,为极,小,值,定理,3,目录 上页 下页 返回 结束,最值点应在极值点和边界点上找,;,应用题可根据问题的实际意义判别,.,2.,连续函数的最值,3.,设,是方程,的一个解,若,且,则,在,(,A,),取得极大值,;,(,B,),取得极小值,;,(,C,),在某邻域内单调增加,;,(,D,),在某邻域内单调减少,.,提示,:,A,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特点,:,3.3,函数展为幂级数,以直代曲,在微分应用中已知近似公式,:,需要解决的问题,如何提高精度,?,如何估计误差,?,x,的一次多项式,3.3.1,用多项式近似表示函数,1.,求,n,次近似多项式,要求,:,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,则,1.,幂级数,常用的几个函数的幂级数展开式,定义,1,：给定数列 则表达式,叫做无穷级数（简称为级数），,记为或 或 。其中第,n,项 叫做无穷级数的通项或一般项。,如果级数的每一项都是常数，这级数称为常数项级数或数项级数；,如果级数的每一项都是函数，这级数叫做函数项级数。,幂级数,其中 是常数，叫做幂级数的系数,2.,f,(,x,),的幂级数展开式,函数,f,(,x,),在点,x,=0,处的幂级数展开式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可得,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知,其中,类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,计算无理数,e,的近似值,解,:,令,x,=1,得,当,n,=9,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,:,注意舍入误差对计算结果的影响,.,本例,若每项四舍五入到小数点后,6,位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差为,这时得到的近似值,不能保证,误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,泰勒,(1685,1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有,:,正的和反的增量方法,(1715),线性透视论,(1719),他在,1712,年就得到了现代形式的泰勒公式,.,他是有限差分理论的奠基人,.,麦克劳林,(1698,1746),英国数学家,著作有,:,流数论,(1742),有机几何学,(1720),代数论,(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数,.,试问,为何值时,在,时取得极值,还是极小,.,解,:,由题意应有,又,取得极大值为,1.,求出该极值,并指出它是极大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求,解,:,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求最大值为,