高等数学12数列的极限.pptx

单击此处编辑母版标题样式,1.2,数列的极限,数列极限的定义,数列极限的性质,数列的四则运算,数列的收敛判别法,数列的定义,数列极限的性质,定理,2,（有界性）收敛数列必有界，即对数 列,若 存在，则 有,反例：,定理,1,（唯一性）若数列的极限存在，则极限是唯一的。,（反证法）,反之不一定成立。,如果数列无界，则数列,发散,。,区别,：,如果数列 当 无限增大时，各项的值越来越大，且无限增大，记为,或者,上述记号只是数列趋于正无穷大的一种符号表示，并不代表此数列极限存在。,均有,用符号可表为,数列极限的保序性（保号性）,定理,3,（保序性）若,，且,，则,有,证明：已知,，且,取,由极限定义知：,定理,3,（保序性）若,所以，当,时，有,，即,推论,1,若,有,推论,2,若,且,时，,则,（,等号去掉时，结论不成立,）,推论,3,若,（或 ），则,（或 ），则,有,数列极限的四则运算,定理,4,设,则,（,1,）,（,2,）,（,3,）若,则,证,:,（,1,）只证明求和的运算,设,则,当,有,取,则当,时,上面两个,时,有,同时也,当,不等式同时成立,应用三角不等式,有,于是当,时,有,即,类似地可以证明差的情况,.,推论,（,1,）的结论可推广到有限多个收敛的数列,.,(2),设,由收敛数列是有界的，,知,使得,应用三角不等式,有,证,:,因为,所以,当,时,有,同时也,当,时,有,取,则当,时,有,即,(3),证：根据（,2,）只需证,证明略。,注：（,2,）的结果亦可推广到有限多个收敛的数列,推论,2,：,（为常数）,（为,正整数,）,推论,3,：,数列收敛的判别准则,证,:,由条件,(2),当,时,当,时,令,则当,时,有,由条件,(1),即,故,准则,I.(,夹逼定理,/,两边夹定理,),有三个数列，若,例：证明,存在，,并求其极限值。,证明：,而,由两边夹定理，,思考题：,试用两种方法证明,1.,定义,2.,两边夹定理,上确界,定义,2,：设非空数集 ，如,且,（,1,）,（,2,）,则称 是数集 的,上确界,，记为,注：上确界是最小的上界。,下确界,定义,3,：设非空数集 ，如,且,（,1,）,（,2,）,则称 是数集 的,下确界,，记为,注：下确界是最大的下界。,确界理论,定理,5,若数集有上（下）确界，则它的上（下）确界唯一。,定理,6,（确界存在定理）有上（下）界的非空数集，必有上（下）确界,.,定理,6,也称为连续性公理。,单调数列,定义,4,如果数列 的项满足,则称这个数列为单调递增数列。,如果数列 的项满足,则称这个数列为单调递减数列。,这两种数列统称,单调数列,。,准则,II,单调有界数列必有极限。,例：证明数列 收敛。,证明：,1,）证明数列单调递增；,2,）证明数列有界。,记此极限为,（无理数）,例：若,证明 存在，并求出它。,证：,1,）数学归纳法证数列是单调递增数列；,2,）证数列有上界；,求极限的方法：,设,在,两边同时取极限，有,子数列,设在数列,中，,自左往右挑出,并按它们在原数列中的次序逐个排列，,得到一个新数列，,该数列成为原数列的子数列，记为,无限多项，,其中，下标 满足,且,收敛数列子列的性质,定理,7,若数列 收敛于 ，,也都收敛到,则 的任何,子列,证：,当,时,取,K,=,N,则,于是当,时,有,从而有,由此证明,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,恒有,注：,此定理可用来判断数列不收敛：,数列有一个不收敛的子列，,敛到不同的极限，,例：,不收敛的。,*,定理,8,（区间套定理）设闭区间列,是一区间套，则存在唯一点 属于所有闭区间,且,*,定理,9,（致密性定理）任一有界数列都有收敛,的子列。,如果一个,或者有两个子列收,则原数列就不会收敛。,*,准则,III,柯西（,Cauchy,）收敛准则,数列,极限存在的充要条件是,:,存在正整数,N,使当,时,证,:,“,必要性”,.,设,则,时,有,使当,因此,“,充分性”证明从略,.,有,1.,如何判断极限不存在,?,方法,1.,找一个趋于的子数列,;,方法,2.,找两个收敛于不同极限的子数列,.,2.,已知,求,时,下述作法是否正确,?,说明理由,.,设,由递推式两边取极限得,不对,!,此处,思考：,1.,数列极限的,“,N,”,定义及应用,2.,收敛数列的性质,:,唯一性,;,有界性,;,保号性,;,任一子数列收敛于同一极限,4.,数列极限的存在准则,:,夹逼准则,;,单调有界准则,;,柯西准则,3.,数列极限的运算,内容小结,