高等数学上机教学.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,高等数学,上机教学（三）,微分方程求解,上机目的,上机内容,MATLAB,2,、学会用,Matlab,求微分方程的数值解,.,上机软件,1,、学会用,Matlab,求简单微分方程的解析解,.,1,、求简单微分方程的解析解,.,4,、上机作业,.,2,、求微分方程的数值解,.,3,、数学建模实例,.,1,、微分方程的解析解,求微分方程（组）的解析解命令,:,dsolve(,方程,1,方程,2,方程,n,初始条件,自变量,),结果,：,u=tan(t+c1),例如求下例微分方程的特解。,在,Matlab,命令窗口中输入：,y=dsolve(Dy=exp(x),y(0)=exp(1),x),输出结果为：,y=exp(x)-1+exp(1),如想画出函数在自变量,x,在区间,-10,10,的函数图像，可在,命令窗口中输入：,ezplot(y,-10,10),解 输入命令,:y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),结 果 为,:y=,3*exp(-2*x)*sin(5*x),作图命令：,ezplot(y,1.0,4),解,输入命令：,x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z,t),;,x=simple(x)%,将,x,化简,y=simple(y),z=simple(z),运行结果为：,x=(c,1,-c,2,+c,3,+c,2,e,-3t,-c,3,e,-3t,)e,2t,y=-c,1,e,-4t,+c,2,e,-4t,+c,2,e,-3t,-c,3,e,-3t,+c,1,-c,2,+c,3,)e,2t,z=(-c,1,e,-4t,+c,2,e,-4t,+c,1,-c,2,+c,3,)e,2t,.,2,、微分方程的数值解,（一）常微分方程数值解的定义,在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解,.,而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式,.,因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的,.,（二）建立数值解法的一些途径,1,、用差商代替导数,若步长,h,较小，则有,故有公式：,此即欧拉法,.,2,、使用数值积分,对方程,y=f(x,y),两边由,x,i,到,x,i+1,积分，并利用梯形公式，有：,实际应用时，与欧拉公式结合使用：,此即改进的欧拉法,.,故有公式：,3,、使用泰勒公式,以此方法为基础，有龙格,-,库塔法、线性多步法等方法,.,4,、数值公式的精度,当一个数值公式的截断误差可表示为,O,（,h,k+1,）时（,k,为正整数，,h,为步长），称它是一个,k,阶公式,.,k,越大，则数值公式的精度越高,.,欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式,.,龙格,-,库塔法有二阶公式和四阶公式,.,线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式,.,（三）用,Matlab,软件求常微分方程的数值解,t,，,x=solver,（,f,ts,x,0,options,）,ode45 ode23 ode113ode15sode23s,由待解方程写成的,m-,文件名,ts=t,0,，,t,f,，,t,0,、,t,f,为自变量的初值和终值,函数的初值,ode23,：组合的,2/3,阶龙格,-,库塔,-,芬尔格算法,ode45,：运用组合的,4/5,阶龙格,-,库塔,-,芬尔格算法,自变量值,函数值,用于设定误差限,(,缺省时设定相对误差,10,-3,绝对误差,10,-6,),命令为：,options=odeset,（,reltol,rt,abstol,at,）,rt,，,at,：分别为设定的相对误差和绝对误差,.,1,、在解,n,个未知函数的方程组时，,x,0,和,x,均为,n,维向量，,m-,文件中的待解方程组应以,x,的分量形式写成,.,2,、使用,Matlab,软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组,.,注意,:,解,:,令,y,1,=x,，,y,2,=y,1,1,、建立,m-,文件,vdp1000.m,如下：,function,dy=vdp1000(t,y),dy=zeros(2,1);,dy(1)=y(2);,dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2,、取,t,0,=0,，,t,f,=3000,，在,matlab,主命令窗口中输入命令：,T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0);,plot(T,Y(:,1),-),3,、结果如图：,解,1,、建立,m-,文件,rigid.m,如下：,function,dy=rigid(t,y),dy=zeros(3,1);,dy(1)=y(2)*y(3);,dy(2)=-y(1)*y(3);,dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);,2,、取,t,0,=0,，,t,f,=12,，输入命令：,T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1);,plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+),3,、结果如图：,图中，,y,1,的图形为实线，,y,2,的图形为“*”线，,y,3,的图形为“,+”,线,.,（一）导弹追踪问题,设位于坐标原点的甲舰向位于,x,轴上点,A(1,0),处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰,.,如果乙舰以最大的速度,v,0,(,是常数,),沿平行于,y,轴的直线行驶，导弹的速度是,5v,0,，求导弹运行的曲线方程,.,又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？,解法一：（解析法）,3,、数学建模实例,由,(1),(2),消去,t,整理得模型,:,解法二：,(,数值解,),1.,建立,m-,文件,eq1.m,function,dy=eq1(x,y),dy=zeros(2,1);,dy(1)=y(2);,dy(2)=1/5*sqrt(1+y(2)2)/(1-x);,2.,取,x,0,=0;x,f,=0.9999,，建立主程序,ff6.m,如下,：,x0=0;xf=0.9999;,x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0);,plot(x,y(:,1),b.),hold on;,y=0:0.01:2;,plot(1,y,r*),结论,:,导弹大致在（,1,，,0.2,）处击中乙舰,.,令,y,1,=y,y,2,=y,1,，将方程（,3,）化为一阶微分方程组,.,解法三：,(,建立参数方程求数值解,),设时刻,t,乙舰的坐标为,(X(t),，,Y(t),，导弹的坐标为,(x(t),，,y(t).,3,因乙舰以速度,v,0,沿直线,x=1,运动，设,v,0,=1,，则,w=5,，,X=1,，,Y=t,4.,解导弹运动轨迹的参数方程,(1),建立,m-,文件,eq2.m,如下：,function,dy=eq2(t,y),dy=zeros(2,1);,dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);,dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);,（,2,）取,t,0,=0,，,t,f,=2,，建立主程序,chase2.m,如下：,t,y=ode45(eq2,0 2,0 0);,Y=0:0.01:2;,plot(1,Y,-),hold on;,plot(y(:,1),y(:,2),*),5.,结果见图,1,导弹大致在（,1,，,0.2,）处击中乙舰，与前面的结论一致,.,图,1,图,2,在,chase2.m,中，按二分法逐步修改,t,f,，即分别取,t,f,=1,，,0.5,0.25,直到,t,f,=0.21,时，得图,2.,结论：时刻,t=0.21,时，导弹在（,1,，,0.21,）处击中乙舰,.,4,、上 机 作 业（三）,3.,鱼雷追击问题,一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方向,1,公里处我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为,0.42,公里,/,分，鱼雷速度为敌舰速度的,2,倍。试问敌舰航行多远时将被击中？,1.,求微分方程 ，在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形,.,一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率,v=1,跑步,设椭圆方程为,:x=10+20cost,y=20+5sint.,突然有一只狗攻击他,.,这只狗从原点出发,以恒定速率,w,跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者,.,分别求出,w=20,w=5,时狗的运动轨迹,.,(,选作,),（慢跑者与狗）,