高等数学全微分方程.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,一阶微分方程,第二节,一、可分离变量方程,二、齐次型微分方程,三、可化为齐次型的微分方程,四、一阶线性微分方程,五、全微分方程,第十二章,判别,:,P,Q,在某单连通域,D,内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,求解步骤,:,方法,1,凑微分法,;,方法,2,利用积分与路径无关的条件,.,1.,求原函数,u,(,x,y,),2.,由,d,u,=0,知通解为,u,(,x,y,)=,C,.,五、全微分方程,则称,为,全微分方程,(,又叫做,恰当方程,).,例,1.,求解,解,:,因为,故这是全微分方程,.,则有,因此方程的通解为,例,2.,求解,解,:,这是一个全微分方程,.,用凑微分法求通解,.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,积分因子法,思考,:,如何解方程,这不是一个全微分方程,就化成例,2,的方程,.,使,为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的,积分因子,.,但若在方程两边同乘,若存在连续可微函数,积分因子,.,常用微分倒推公式,:,积分因子,不一定唯一,.,例如,对,可取,例,3.,求解,解,:,分项组合得,即,选择积分因子,同乘方程两边,得,即,因此通解为,即,因,x,=0,也是方程的解,故,C,为任意常数,.,练习题,解方程,解法,1,积分因子法,.,原方程变形为,取积分因子,故通解为,此外,y,=0,也是方程的解,.,解法,2,化为齐次方程,.,原方程变形为,积分得,将,代入,得通解,此外,y,=0,也是方程的解,.,解法,3,化为线性方程,.,原方程变形为,其通解为,即,此外,y,=0,也是方程的解,.,