高等数学北大第二版第11章习题课.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,10.1.2,正项级数收敛准则,正项级数收敛的充要条件：它的部分和数列上有界,.,这一准则是正项级数各种判敛法的理论基础,.,10.1.3,比较判敛法,设有正项级数,:,例,2,判定下列级数的敛散性,最常用来作比较的级数是等比级数,q,n,(q 0,）,调和级数,比值判敛法,对于正项级数 如果,根值判敛法,对于正项级数 如果,例,5,判定下列级数的敛散性,本例也可看作是由两个收敛的等比级数,的对应项相加所得级数，据级数的性质可知是收敛的,.,10.1.4,积分判敛法,若,f(x),连续、非负、不增，则正项级数 与无穷级数,同时收敛，同时发散。,.,从而当相应的无穷积分的敛散性易于判断时，可以通过积分来,判定,.,10.1.5,任意项级数收敛准则,判定任意项级数的敛散性，通常把它转化为相应的绝对值组成,的级数，即一正项级数而加以考虑，这时如果收敛，原级数也收,敛，称为绝对收敛。对于绝对收敛的任意项级数，正项级数的判敛,法都能直接用上,.,一般地，有关于级数收敛的,Cauchy,准则：级数,收敛的充要条件为，对于任意给定的,0,总存在,N,使对任何,nN,及自然数,p,总有,|u,n+1,+u,n+2,+u,n+p,|0,时，,f(x),单调递减，故有,由莱布尼兹定理知：,（,4,）解 因为,故原级数绝对收敛,.,10.2,幂级数解题的方法,10.2.1,收敛半径的确定,故级数的收敛半径为,1.,下面考虑 的情形，显然有,10.2.2,函数按幂级数展开的方法,将函数展开成幂级数的方法有两种：,1.,直接展开法；,2.,间接展开法,.,例,14,将下列函数展开成,x,的幂级数：,10.2.3,求幂级数和函数的方法,1.,直接求和法：,就是直接计算它的部分和极限，或者利用已知,的展开式，因为每个展开式倒过来就是一个求和公式,.,2.,间接求和法,：是将所给级数作适当变形，使变形后的级数易于,求和，然后将所得的和作适当的运算，就得所求的和函数了,.,例,15,设级数 试求：,（,1,）收敛区间；（,2,）和函数,S(x);(3),10.2.4,利用幂级数求数项级数的和,10.3 Fourier,级数展开的方法,例,20,将函数,展开成正弦级数,.,解 将此函数作奇延拓，延拓成 上的奇函数，则,又延拓后的函数在,x=0,间断，在 连续，所以,解 设已作奇延拓和周期延拓，则可展开成正旋级数，其,又,f(x),作了上述延拓后在,0,l,上连续,所以,解（,1,）,f(x)=x,为奇函数，,例,22,。试将函数 在 展成正弦级数，并求,级数,