高等数学导数.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,一、导数概念的引例,例,1,变速直线运动的速度,-,-,播放,例,2,平面曲线,的切线斜率,割线的极限位置,切线？,如图,如果割线,MN,绕点,M,旋转而趋向极限位置,MT,直线,MT,就称为曲线,C,在点,M,处的,切线,.,极限位置即,二、导数的概念与几何意义,1.,导数的概念,定义,1,其它形式,:,即,关于导数的说明：,注意,:,右导数,:,左导数,:,单侧导数,定义,2,定理,1,函数在点 处可导,左导数和右导数都存在且相等,.,步骤,:,2.,用定义求导数,例,3,解,更一般地,例如,例,4,解,例,5,解,例,6,解,例,7,解,3.,导数的几何意义,切线方程为,:,法线方程为,:,解,因 ，由导数几何意义,曲线在,的切线与法线的斜率分别为,于是所求的切线方程为 ，,即 ,法线方程为 ，,即 ,例,8,求曲线 在点 处的切线和法线方程,三、可导与连续的关系,证,定理,2,如果函数 在点 处可导，则 在点 处连续,注意：,定理,2,的逆命题不成立,.,例,9,因为,则,而,证,1.,导数的实质,:,增量比的极限,;,3.,导数的几何意义,:,切线的斜率,;,5.,函数可导一定连续,但连续不一定可导。,4.,求导数最基本的方法,:,由定义求导数,;,四、小结,例,2,平面曲线,的切线斜率,切线？,割线,的极限位置,例,2,平面曲线,的切线斜率,切线？,割线,的极限位置,例,2,平面曲线,的切线斜率,切线？,割线,的极限位置,例,2,平面曲线,的切线斜率,切线？,割线,的极限位置,例,2,平面曲线,的切线斜率,切线？,割线,的极限位置,例,2,平面曲线,的切线斜率,切线？,割线,的极限位置,例,2,平面曲线,的切线斜率,切线？,割线,的极限位置,例,2,平面曲线,的切线斜率,切线？,割线,的极限位置,播放,例,2,平面曲线,的切线斜率,切线？,割线,的极限位置,例,2,平面曲线,的切线斜率,切线？,割线,的极限位置,第二节 求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,二、复合函数的求导法则,三、反函数的导数,四、初等函数的导数,五、隐函数和由参数方程确定的函数的导数,设函数 与 在点 处均可导，则它们的和、差、积、商（当分母不为零时）在点 处也可导，且有以下法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,定理,1,(1),求增量,:,给自变量一个增量 ，则,证,(1),、,(2),略,.,证,(3),令,(2),算比值,:,(3),取极限,:,因在点 处可导，则在该点处必连续，故当 时,，,.,又当 时，,所以，,特别地，,若 则可得公式,定理推广：,例,1,设,求,解,例,2,设,求 ,解,用类似地方法，可得,解,例,3,求 的导数,即,例,4,求 的导数,用类似地方法，可得,即,解,定理,2,即由外层向内层逐层求导再相乘（链导法,）,或,或,二、复合函数的求导法则,证,如三层复合，,或,或,推广,对于多次复合的函数，其求导公式类似，,解,可看作是由,复合而成的，因此,例,5,设 ，求 ,例,6,设 ，求 ,解,三、反函数的求导法则,如果单调连续函数 在某区间内可导,且 ，则它的反函数 在对应的区间内可导，且有,定理,3,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,.,因 是 的反函数，故可将函数 中的 看作中间变量，从而组成复合函数 上式两边对 求导，应用复合函数的链导法，得,证,或,因此,是 的反函数，而,在区间 内单调且可导，且 ，因此在对应的区间,内，有,求函数 的导数,例,7,解,即,同理可得,例,8,求函数 的导数,是 的反函数，而,在区间 内单调且可导，且,因此在对应的区间,上，有,解,即,同理可得,1.,常数和基本初等函数的导数公式,四、初等函数的导数,2.,函数的和、差、积、商的求导法则,设,),(,),(,x,v,v,x,u,u,=,=,可导，则,（,1,）,v,u,v,u,=,),(,（,2,）,u,c,cu,=,),(,（,3,）,v,u,v,u,uv,+,=,),(,（,4,）,),0,(,),(,2,-,=,v,v,v,u,v,u,v,u,.,(,是常数,),3.,复合函数的求导法则,注意：,(1),利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决,.,(2),初等函数的导数仍为初等函数,.,例,9,设 ，求 ,解,所以,例,10,解,解,方法,1,函数 可以写成,所以,例,11,求,将函数 两边取自然对数，即,两边对 求导，注意左端的,是 的函数，由链导法，有,因此,方法,2,方法,2,称为,对数求导法,，一般地对于函数,（称为幂指函数）,对数求导法除适用于幂指函数外，还适用于多个因式连乘的函数,解,等式两边取对数得,例,12,五、隐函数和由参数方程确定函数得导数,定义,:,隐函数的显化,问题,:,隐函数不易显化或不能显化如何求导,?,隐函数求导法则,:,用复合函数求导法则,直接对方程两边求导,.,1.,隐函数的导数,例,1,解,解得,例,2,解,所求切线方程为,显然通过原点,.,2.,由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题,:,消参困难或无法消参如何求导,?,由复合函数及反函数的求导法则得,例,6,解,所求切线方程为,于是所求的切线方程为,例,15,求曲线 在 处的切线方程,解,曲线上对应 的点为 ，曲线在,处的切线斜率为,六、高阶导数,如果函数 的导函数 仍是,的可导函数，就称 的导数为函数,的二阶导数,记作,或,即,或,类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数,而加速度 是速度对时间的导数,是位置函数对时间的二阶导数,即,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,.,二阶导数有明显的物理意义,:,考虑物体的直线运动，设位置函数为,则速度为,如,阶导数,例,16,设 ，求,解,特别地，,根据高阶导数的定义，求函数的高阶导数就是将函数逐次求导，因此，前面介绍的导数运算法则与导数基本公式，仍然适用于高阶导数的计算,例,17,求 次多项式函数,的 阶导数（是正整数）,解,例,18,设 ，求,解,即,同理可得,第三节 微 分,一、微分的概念,二、微分的几何意义,三、微分的运算法则,四、微分在近似法则中的应用,例,1,设有一个边长为 的正方形金属片，受热后它的边长伸长了 ，问其面积增加了多少？,正方形金属片的面积,与边长 的函数关系为,由图可以看出，,解,一、微分的概念,受热后，当边长由 伸长到 时，面积 相应的增量为,从上式可以看出,可分成两部分,:,（,1,）,（,2),（,2,）,是 时，与 高阶的无穷小；,的线性函数,是 时，与 同阶的无穷小；,(1),这表明，当 很小时，,(2),的绝对值要比,(1),的绝对值小得多，可以忽略不计，,即可用,（,2),作为 的近似值,：,定义,1,设函数 在点 的某邻域内有定义，如果函数 在点 处的增量 可以表示为 ，其中 是与 无关的常数，是当 时比 高阶的无穷小，则称函数 在点 处可微，称为,在点 处的微分，记作,或,于是,由此引进函数微分的概念：,导数,一种比值的极限，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限,.,微分,函数增量的近似值，即自变量取得微小增量时函数值增量的近似值,.,那么，导数与微分之间存在什么样的联系呢？,可以证明，,函数 在点 处可微,函数 在点 处可导；并且有,于是,自变量的微分：通常把自变量的增量 记为 ，,称为自变量的微分,.,于是,可微函数：,如果函数 在区间 内每一点都可微，则称该函数在 内可微，或称函数 是在 内的可微函数此时，,函数 在 内任意一点 处的微分记 为 ，即,由此有，,因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为,微分法,在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为,微分学,因此，微分与导数紧密相关，求出了导数立即可得微分，求出了微分亦可得导数，,例,2,求函数 当 ，,时的微分,解,函数在任意点的微分,于是,例,3,半径为 的圆的面积为 当半径增大 时，求圆面积的增量与微分,面积的微分为,面积的增量,解,当自变量 有增量 时，切线 的纵坐标相应地有增量,二、微分的几何意义,过曲线 上一 点,作切线 ，设 的,倾角为 ，则,当 有增量 时，曲线 在对应点,处的切线的纵坐标的增量 ,因此，微分 几何上表示,:,用 近似代替,就是用曲线 在点,处的切线纵坐标的增量近似代替曲线 的纵坐标的增量,.,三、微分的运算法则,1,基本初等函数的微分公式,2,函数的和、差、积、商的微分运算法则,设函数 ，均可微，则,（为常数）,3,复合函数的微分法则,而,于是,设函数 都是可导函数，则复合函数 的微分为,设 ，求 与,例,4,解,求由方程 所确定的隐,函数 的导数 与微分,.,例,5,对方程两边求导数，得,解,导数为,微分为,四、微分在近似计算中的应用,这些公式都可用来求函数 的近似值,.,由微分的定义可知，当 很小时,(1),或,(2),若,则,(3),当 时，有,(4),应用 可以推得一些常用的近似公式,当 很小时,有,另外，,计算 的近似值,.,例,6,设 取 ，,解,于是，得,即,则,