高等数学第12章：无穷级数.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第一节 无穷级数的概念与性质,一、无穷级数的概念,二、无穷级数的性质,定义,1,若有一个无穷数列,u,1,，,u,2,，,u,3,，,，,u,n,，,此无穷数列构成下列表达式,u,1,+,u,2,+,u,3,+,+,u,n,+,(1),称以上表达式为,(,常数项,),无穷级数，简称,(,常数项,),级数，记为,其中第,n,项,u,n,叫作级数的一般项或通项,.,一、无穷级数的概念,级数,(1),的前,n,项相加得到它的前,n,项和，记作,S,n,.,即：,我们以级数的前,n,项和作为研究无穷多项和的基础,.,由级数,(1),的前,n,项和，容易写出：,定义,2,如果级数 部分和数列 有极限,s,，即,则称无穷级数 收敛,.,s,称为此级数的和,.,且有,若 无极限，则称无穷级数 发散,.,注意,:,称为级数的余项，,为 代替,s,所产生的误差,.,二、收敛级数的基本性质,性质,1,若级数 收敛于和,s,，则它的各项同乘以一个常数,k,所得的级数 也收敛，且其和为,ks.,性质,2,如果级数 、分别,收敛于,即,性质,3,在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性,.,性质,4,如果级数 收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变,.,注意：,发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛,.,推论：,如果加括号以后所成的级数发散，则原级数也发散,.,性质,5,(,收敛的必要条件,),如果,收敛，则它的一般项 趋于零，即,级数,结论：,由此我们可得,注意,:,级数收敛的必要条件常用于级数发散 的判定,.,第二节 正项级数及其敛散性,一、正项级数及其收敛的充要条件,二、正项级数收敛的比较判别法,三、正项级数收敛的比值判别法,一、正项级数及其审敛法,定义,设级数,的每一项都是非负数,则称此级数是,显然,正项级数的部分和,s,n,数列是单调增加的，即,正项级数,.,定理,1,正项级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列,s,n,有界,.,证明,:,这是一个正项级数，其部分和为,:,故,s,n,有界,，,所以原级数收敛,.,定理,2,(,比较审敛法,),设 和 都是正项级数，且,若级数 收敛，则级数 收敛；,反之，若级数 发散，则级数 也发散,.,二、正项级数收敛的比较判别法,则有：,若 发散，则 也发散,;,且当 时，有,成立，,则有：若 收敛，则 也收敛,.,推论,设级数,和 是两个正项级数，且存在自然数,N,，使当 时，有（,k,0),成立，,例,2,判定,p,-,级数,的敛散性,.,常数,p,0.,由此可得结论，,p,级数,当 时发散，,p,1,时收敛,.,由比较判别法可知，所给级数也发散,.,而级数,是发散的；,定理,(,达朗贝尔比值判别法,),设 为正项级数，如果,(1),当 时，级数收敛；,(3),当 时，级数可能收敛，可能发散,.,(2),当,(),时，,级数发散,.,三、正项级数收敛的比值判别法,例,7,判别级数,解,:,由比值判别法可知所给级数发散,.,此时 ，比值判别法失效，用其他方法判定,;,第三节绝对收敛与条件收敛,一、交错级数及其敛散性,二、绝对收敛与条件收敛,一、交错级数及其审敛法,定义,正负项相间的级数，称为交错级数,.,定理,1,(,莱布尼兹定理,),则级数收敛，且其和 ，,并且其余项,的绝对值,:,(1),级数前项大于后项，即,(2),级数的通项趋于零，即,如果交错级数,证明,:,先证明前,2,n,项的和,s,2,n,的极限存在，为此将,s,2,n,写成两种形式,:,由,(1),式可知,s,2,n,是单调增加的；,由,(2),式可知,s,2,n,0,和,R,2,0,，则,收敛半径,R,等于,R,1,和,R,2,中较小的一个,.,性质,1,如果幂级数 的和函数,s,(,x,),在其收敛域,I,上连续,.,性质,2,如果幂级数 的和函数,s,(,x,),在其收敛域,I,上可积，并有逐项积分公式,即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径,.,性质,3,幂级数 的和函数,s,(,x,),在其收敛区间,(,R,+R,),内可导，且有逐项求导公式,即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径,.,第五节 函数展开成幂级数,一、泰勒级数,二、,函数展开成幂级数,一、泰勒级数,定义,如果,f,(,x,),在点,x,0,的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数,为,f,(,x,),在,x,0,的泰勒级数,.,当,x,0,=,0,时，泰勒级数为,:,称之为,f,(,x,),的麦克劳林级数,.,定理,1,(,泰勒中值定理,),如果函数,f,(,x,),在含点,x,0,的区间,(,a,b,),内，有一阶直到,n,阶的连续导数，则当,x,取区间,(,a,b,),内的任何值时，,f,(,x,),可以按,(,xx,0,),的方幂展开为：,其中：,公式,(3),称为函数,f,(,x,),的泰勒公式，余项,(4),称为拉格朗日余项,.,定理,2,设函数,f,(,x,),在点,x,0,的某一邻域,U,(,x,0,),内具有各阶导数，则,f,(,x,),在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是,f,(,x,),的泰勒公式余项,R,n,(,x,),当 时的极限为零，即：,二、函数展开成幂级数,将函数展开成,x,的幂级数,(,也称麦克劳林展开式,),的基本法，其一般步骤为：,间接展开法 利用一些已知的函数展开式、幂级数运算,(,如四则运算、逐项求导、逐项积分,),以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数,.,分别令,q=x,、,x,2,有：,将,(9),、,(10),式分别从,0,到,x,逐项积分，得：,