相似三角形常用辅助线.doc

相似三角形之常用辅助线
在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。
专题一、添加平行线构造“A”“X”型
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
定理的基本图形：

例1、平行四边形ABCD中，E为AB中点，AF：FD＝1：2，求AG：GC

变式练习：
已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：． （本题有多种解法，多想想）

例2、如图，直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若＝=2,求BE:EA的比值.

变式练习：如图，直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若＝ =2,求BE:EA的比值.

例3、BE＝AD，求证：EF·BC＝AC·DF

变式1、如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。

例4、已知：如图，在△ABC中，AD为中线，E在AB上，AE=AC，CE交AD于F，EF∶FC=3∶5，EB=8cm,
求AB、AC的长.

变式：如图，，求。（试用多种方法解）
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F

说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．
总结：
（1）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。
（2）引平行线应注意以下几点：
1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。
2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。

专题二、作垂线构造相似直角三角形
A
B
D
E
F
C
一、基本图形

例1、理由？（用多种解法）

v

变式练习：平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2

例2、如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF

【练习】
1．如图，一直线与△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于D，E，F。求证：若，则D是AB的中点。
A
B
C
D
E
F

2．如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=3CE，DE交BC于F，求DF：FE的值。
B
E
A
D
C
F

3.已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，求AE：EC。

4、 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：