第30讲-y=sin(ωx+φ)的图象与性质(解析版)-2024年高考数学一轮复习导学案(新高考).docx

第30讲 y=sin(ωx+φ)的图象与性质

1、 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋
φ)(A＞0，
ω＞0)，x∈R

振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
_ωx＋φ_
_φ_
2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x

ωx＋φ
__0__

__π__

__2π__
y＝Asin(ωx
＋φ)
0
A
0
－A
0
3、 函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：

4、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有：
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．

1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）） 函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图象如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
2、 （2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则
3、【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（       ）
A．16 B．14 C．13 D．12
【答案】C
【解析】
由题意知：曲线C为y=sinωx+π2+π3=sin(ωx+ωπ2+π3)，又C关于y轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ,k∈Z，
解得ω=13+2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为13.
故选：C.
4、【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（       ）
A．53,136 B．53,196 C．136,83 D．136,196
【答案】C
【解析】
解：依题意可得ω>0，因为x∈0,π，所以ωx+π3∈π3,ωπ+π3，
要使函数在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈π3,3π的图象如下所示：

则5π2<ωπ+π3≤3π，解得136<ω≤83，即ω∈136,83．
故选：C．
5、【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3<T<π，且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（       ）
A．1 B．32 C．52 D．3
【答案】A
【解析】
由函数的最小正周期T满足2π3<T<π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，
又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k∈Z，且b=2，
所以ω=−16+23k,k∈Z，所以ω=52，f(x)=sin(52x+π4)+2，
所以f(π2)=sin(54π+π4)+2=1.
故选：A
6、【2021年乙卷理科】把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
7、【2021年新高考1卷】下列区间中，函数单调递增的区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】
因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.

1、为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】 y＝sin＝sin 2，故将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin的图象．
2、（2022·山东德州·高三期末）若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】，
所以，
因为的最小值为函数的最小正周期的，
所以，函数的最小正周期为，
因此，.
故选：A
3、（2020江苏镇江期中考试）设函数为参数，且的部分图象如图所示，则的值为______．

【答案】
【解析】由图象可得最小正周期：，即，，
又，，，，，又，，本题正确结果：．
4、（2022·湖北武昌·高三期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在时的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设为的图象上一点，则点关于直线对称的点为
由题意点在函数的图象上，则
所以，则
当时，，则
所以
故选：C

考向一 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例1、（2022·山东济南·高三期末）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由函数的部分图象，即可求出的值，即可求出结果．
【详解】
由图象可知，，所以，
又过点，所以，且
即，所以，即，
又，所以，所以.
故选：A.
变式1、函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)（A>0，ω>0，|φ|<）的部分图象如图所示，则φ的值为　　　　．

【答案】
【解析】 由函数的图象可知A＝1，T＝－＝，解得T＝π，所以ω＝2.又函数的图象经过点，所以1＝sin ，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z).因为|φ|<，所以φ＝.
变式2、（2022·江苏海安·高三期末）函数的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称轴的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由给定解析式及图象确定值的表达式，再逐项分析判断作答.
【详解】
依题意，点是函数的图象对称中心，且在函数的一个单调增区间内，
则，即，，
令函数周期为，由图象知，即有，而，则有，
因此，，解得，而，则，，，
由得函数图象的对称轴：，
当时，，当时，，当时，，即选项A，B，D不满足，选项C满足.
故选：C
变式3、（2022年湖南张家界市模拟试卷）记函数的最小正周期为T，若，且是图象的一个最高点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数的最小正周期为，
则，由，得，，
因为是图象的一个最高点，则
且，则
，取，可得，
所以，
则
故选:A.

方法总结：确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有以下2种：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
考向二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其变换
例2、某同学用“五点法”画函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x

A sin (ωx＋φ)
0
5

－5
0
(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2) 将y＝f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
【解析】 (1) 根据表中已知数据，
可得A＝5，ω＝2，φ＝－.
数据补全如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x

A sin (ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
函数解析式为f(x)＝5sin .
(2) 由(1)，知f(x)＝5sin ，
所以g(x)＝5sin .
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，
解得x＝＋－θ，k∈Z.
因为函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
变式1、（2022年福建永泰县高三模拟试卷）（多选题）要得到的图象,只要将图象怎样变化得到
A. 将的图象沿x轴方向向左平移个单位
B. 将的图象沿x轴方向向右平移个单位
C. 先作关于x轴对称图象,再将图象沿x轴方向向右平移个单位
D. 先作关于x轴对称图象,再将图象沿x轴方向向左平移个单位
【答案】ABC
【解析】
对于A，将图象沿x轴方向向左平移个单位，可得的图象，故选项A正确；
对于B，将的图象沿x轴方向向右平移个单位也可得到，
的图象，故选项B正确；
对于C，先作关于x轴对称，得到的图象，再将图象沿x轴方向向右平移个单位，得到的图象，故选项C正确；
对于D，先作关于x轴对称，得到的图象，再将图象沿x轴方向向左平移个单位，得到的图象，故选项D不正确．
故选：．
变式2、（2022·河北唐山·高三期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右移个单位
【答案】D
【解析】
因为：．
所以：函数的图象向右平移个单位，
可得到函数的图象．
故选:D.
变式3、 （2022年福建龙岩市模拟试卷）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
变式4、（2022·山东莱西·高三期末）要得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
【答案】C
【解析】
解：因为函数，
所以要得到的图象，只需将的图象向右平行移动个单位长度，
故选：C.

方法总结：1．y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
2．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
考向三 三角函数图象与性质的综合问题
例3、（2022·江苏扬州·高三期末）已知函数(ω>0)，下列说法中正确的有（ ）
A．若ω=1，则f(x)在上是单调增函数
B．若，则正整数ω的最小值为2
C．若ω=2，则把函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度，所得到的图象关于原点对称
D．若f(x)在上有且仅有3个零点，则
【答案】BD
【解析】
依题意，，
对于A，，，当时，有，因在上不单调，
所以在上不单调，A不正确；
对于B，因，则是函数图象的一条对称轴，，
整理得，而，即有，，B正确；
对于C，，，依题意，函数，
这个函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，C不正确；
对于D，当时，，依题意，，解得，D正确.
故选：BD
变式1、（2022·江苏通州·高三期末）（多选题）已知函数 (A＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则（ ）

A．
B．是偶函数
C．当时，f(x)的最大值为1
D．若，则的最小值为π
【答案】AC
【解析】
由图可知，A选项正确.
，
，
所以.
为奇函数，B选项错误.
，
，C选项正确.
，
若，则，，
，，
，
当时，取得最小值为，D选项错误.
故选：AC
变式2、（2022·江苏宿迁·高三期末）（多选题）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象如图，则（ ）

A．为奇函数
B．在区间上单调递增
C．方程在内有个实数根
D．的解析式可以是
【答案】BC
【解析】
由图可知，函数的最小正周期为，，，
所以，，则，可得，
所以，，得，
因为，则，所以，，
将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，
故.
对于A选项，因为，故函数不是奇函数，A错；
对于B选项，当时，，故函数在区间上单调递增，B对；
对于C选项，由，可得，
当时，，所以，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：BC.
变式3、（2022·广东汕尾·高三期末）（多选题）以下关于函数的命题，正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．直线的函数图象的一条对称轴
D．将函数的图象向右平移个单位后得到的函数的图象关于原点对称
【答案】AD
【解析】
由题意得，所以最小正周期，所以A对．
，所以直线是函数图象的一条对称轴，所以B错．
，所以点是函数图象的一个对称中心，所以C错．
将函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为，是奇函数，所以D对．
故选：AD．
方法总结：三角函数性质的综合问题：主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用．
函数零点(方程根)问题：三角函数图象与x轴(或y＝a)的交点，即数形之间的转化问题．

1、（2022年厦门双十中学模拟试卷）将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向左平移，得到的图象，则的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，
再将图象向左平移，得到的图象，
故选：A.

2、（2022·广东佛山·高三期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示，图中，，则___________.

【答案】
【解析】
由已知可得，在处附近单调递增，且，故，
又因为点是函数在轴右侧的第一个对称中心，
所以，，可得，故，
因此，.
故答案为：.
3、（2022·山东枣庄·高三期末）若的部分图象如图所示，则的值为________．

【答案】
【解析】
由图象可得，即，
，所以，
又图象经过，
，
所以，又 ，
，所以.
故答案为：.
4、（2022·广东潮州·高三期末）（多选题）已知函数，则（ ）
A．对任意正奇数n，f(x)为奇函数
B．当n=3时，f(x)在[0，]上的最小值为
C．当n=4时，f(x)的单调递增区间是
D．对任意正整数n，f(x)的图象都关于直线对称
【答案】BD
【解析】
解：对于A，取，则，从而，此时不是奇函数，则A错误；
对于B，当时，，
当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，当时，，
令，则，
所以的递增区间为，则C错误；
对于D，因为，所以的图象关于直线对称，则D正确；
故选：BD.
5、（2022·广东东莞·高三期末）（多选题）已知函数，若且对任意都有，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象向左平移个单位后，图象关于原点对称
D．的图象向右平移个单位后，图象关于轴对称
【答案】BD
【解析】
，
，
又对任意都有，
则为 的最大值，
，
整理得： ，则 ，
所以 ，
因此A选项错误，B正确；
的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为：
，该函数图象不关于原点对称，故C错误；
的图象向右平移个单位后，得到函数 的图象，
该图象关于y轴对称，故D正确，
故选：BD
6、（2022·山东泰安·高三期末）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在上恰有两个实数根，求实数的取值范围.
【解析】

将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数为

∴
∴又∴
∴.
（2）∵∴
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减.
且，.
∵方程在上恰有两个实数根.
∴
∴实数a的取值范围为.