第8讲 指数函数 对数函数和幂函数.doc

第8讲 指数函数、对数函数和幂函数
竞赛热点
1．指数函数的定义：函数叫做指数函数。
（1）自变量出现在指数位置上，函数定义域是R；
（2）常数满足且；
（3）函数都不是正整数指数函数。
2．指数函数的图象和性质：

图象

性质
定义域：R
值域：
图象过点，即当时，
在R上是增函数
在R上减函数
（1）函数和的图象关于轴对称；
（2）右图为四个指数函数的图象，则
3．对数函数的定义：函数叫做对数函数；它是指数函数的反函数。
对数函数的定义域为，值域为
4．对数函数的图象与性质

图象

性质
定义域：
值域：R
过点即当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
在上是增函数
在上是减函数
（1）函数和的图象关于轴对称；
（2）右图为四个指数函数，，，的图象，则
解题示范
1．若集合非空，则实数的取值范围为 。
A． B．
C． D．以上答案均不对
思路分析：设，则问题转化为二次方程在限定区间有根的问题。
解令，则问题转化淡关于的方程…①在区间内至少有一实根。
从反而考虑方程在内没有实数根的情形。考虑到，故不可能有两根均小于2或者大于4的情形，则必有一根大于4，一根小于2，
又因为故可得
一地是方程①在内有实根等价于

点评：此题也可以考虑运用分离参数法求解。 ，于是题设等价于，其中Z为函数的值域。
例2：不等式的解集是 。
思路分析：此题属于含有绝对值号的不等式，可以借助于区间讨论的方法求解。若抓住题目的特点，运用绝对值不等式中取到不等式的条件，则可大大简化求解过程。
解：当与异号时，有，则必有，从而，解出所以不等式的解集为
引申：不等式；；；
例3：已知函数，将的图象向右平移两个单位，得到函数，而函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式。设，若已知的最小值是，且，求实数的取值范围。
解：显然
设点是函数上任意一点，点关于的对称点是由于函数与函数的图象关于直线对称，所以点在函数的图象上，也即
所以
于是
要求的取值范围，可以通过构造关于的不等式来获得解答。若先求出的最小值，再令其大于即可。为求的最小值，注意到的表达式形同，所以可以考虑从（即和）的正负入手。
（i）当，即，由的值域均为可得.这与矛盾；
（ii）当，即时，是R上的增函数，此时无最小值，与题设矛盾；
（iii）当，即时，是R上的减函数，此时也无最小值，与题设矛盾。
所以由（i）（ii）（iii）可得，当，即时，
，
等号当且仅当，即时成立.
由及可得
解得
引申：视函数的解析式为方程，则函数的图象即为方程的曲线，于是函数和解析几何取得了联系。从这个角度来讲，解析几何中研究曲线与方程的许多方法可以移植到函数中，反过来，在许多时候，函数的知识也可以指导解析几何问题的解决。涉及函数的问题曾在高考和竞赛中多次出现，望能熟练掌握其下述性质：①当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为和；②当时，函数在和上单调递增。
本题的第（2）小题也可以从另一个角度考虑：“的最小值是且”，也就是说恒成立。
例4：已知且，试求使方程有解的的取值范围。
解：由对数函数的性质可知，原方程的解应满足
①
②
③

当①、②同时成立时，③显然成立，因此只需联立解①、②即可。
由①得 ④
当时，由可知④无解，因而原方程无解。
当时，④的解为， ⑤
将⑤代入②得
当时得，即.
当时得，即
综合可得时原方程有解。
点评：原方程等价于，记 。则是双曲线在双曲线上方的部分，其渐近线为，是一条在轴上截距为的直线，且平行于双曲线的一条渐近线，当与有公共点时原方程有解，于是可以借助于图象得知，或由得或 即当时原方程有解。
例5：已知，其中
（1）求出的反函数；
（2）若实数满足，求的取值范围。
思路分析：欲求，需先求出的定义域和值域；求解不等式 时，若能论证出为奇函数，并探讨出的单调性，则可以摆脱符号的束缚。
解：（1）由于，所以函数的定义域为R。
令，则在上单调递增，此时的取值范围为
当时，，
因此若令，则
由，则可知，此时的取值范围为
又时，，所以函数的值域为
所以函数的值域为R。
再设，则，利用与互为倒数，可得，所以.所以
（2）首先考察的奇偶性与单调性。任取，则 ，所以函数为奇函数。
任取且，则由及指数函数的性质可知，
所以，即，所以在定义域内单调递增。
于是由得，
即
结合的单调性可知，上式等价于，
解得或
点评：①定义域是研究函数的基础，求值域、判断奇偶性、单调性、研究函数图象等都应先从定义域出发。②从定义域出发，利用函数的单调性，是求函数值域的常用方法。
例6：已知函数，对定义域内的任意都有成立。
（1）求实数的值；
（2）若当时，的取值范围恰为，求实数的值。
思路分析：按照方程的观点分析，根据已知条件即可建立关于的一元方程，从而求得. 第（2）问实质上是一个值域的问题，可以通过研究函数的性质来解决。
解：（1）由可得，
，
解得，当时，函数无意义，所以只有
（2）当时，，其定义域为。所以或
①若，则
任取，且，则，又因为，所以，即所以当，在上单调递减。
由题可知，当时，的取值范围恰为，所以必有且，解得（因为，所以舍去）。
②若，则.又由于，所以
此时，同上可证在上单调递增（证明过程略）。
所以在上的取值范围应为，而为常数，故的取值范围不可能恰为所以在这种情况下无解。
综上所述，符号题意的实数的值为
点评：本题（2）中，充分地运用了已知条件，从而减少了分类讨论的次数。
例7：设，其中是实数，是任意给定的自然数，且
（1）如果当时有意义，求的取值范围；
（2）如果，求证：当时成立。
解：（1）当时有意义的条件是 ]
即 ①
因为在上都是增函数，
所以在上也都是增函数，
从而它在时取得最大值，因为
因此①式等价于
也就是的取值范围为
（2）证法一 因为，即
现在用数学归纳法证明该不等式：
（i）当时，若，则 ，
若，因为，所以
因而当时，原不等式成立。
（ii）假设时，不等式成立，即有 ，
那么当，时，

即是说时，原不等式也成立。
综合（i）、(ii)可知，对任何，都有
证法二 只需证明当时，
因为

式中等号当且仅当时成立。
利用上面结果可知，当时，因为，所以若，

若，则，所以
即有
例8：解不等式：
思路分析：借助于对数函数的性质，可以首先脱掉对数符号，转化为整式不等式。而对于高次不等式则可以借助于分解因式进行降次。
解法一 由，且在上为增函数，故原不等式等价一地
即.
分组分解，
即，
所以0，
即.
所以，即或.
故原不等式解集为
解法二 由，且在上为增函数，故原不等式等价于
即，
即
令，则不等式变为，
显然在R上为增函数，因此上面不等式等价于，
即，解得
故原不等式解集为
能力测试
能力测试
1．2005年1月6日凌晨零时02分，中国第13亿名公民——张亦驰在北京市妇产医院诞生。就在10年前的1995年年初，中国第12亿名公民——赵旭也在北京市妇产医院诞生。如果中国人口继续按照此年增长率增长，那么等张亦驰30岁时中国人口数将最接近于（ ）
A．16.05亿 B．14.97亿 C．16.23亿 D．17.32亿
2．设（为正整数），那么的值为（ ）
A． B． C． D．
3．给定，定义集合，集合中的所有元素之和为（ ）
A．2026 B．1013 C．4052 D．1003
4．当时，方程的实数解（ ）
A．有且只有一个 B．可能无解
C．可能有3个 D．一定有3个
5．设则S的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．不等式0的解集为 。
8．已知函数的反函数是，而且函数的图象与函数的图象关于点对称。若函数在上有意义，则的取值范围为 。
9．设函数在R上单调递减，Q：不等式的解集为R。如果P和Q有且仅有一个正确，则正数的取值范围为 。
10．方程的解集为 。
11．方程的解集为 。
12．若关于的方程有负数根，则实数的取值范围为 。
13．试比较与的大小。
14．设函数
（1）若的定义域是R，求实数的取值范围；
（2）若的值域是R，求实数的取值范围；
（3）若在上单调递增，求实数的取值范围。
15．设是函数的反函数图象上三个不同点，且满足的实数有且只有一个，试求实数的取值范围。

冲击金牌
16．设是满足不等式（其中）的自然数的个数，记。试比较与的大小，并证明你的结论。
17．已知函数
（1）若的定义域为，判断在定义域上的增减性，并加以说明；
（2）当时，使的值域为，定义域区间为是否存在？请说明理由。
18．已知函数，设函数，
（1）求证：如果存在一个实数，满足，那么对一切都成立；
（2）若实数满足，则称为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；
（3）设区间，对于任意，有，，且时，。试问：是否存在区间，对于区间内任意实数，只要，都有