2018年北京市顺义区初三一模数学试卷.doc

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顺义区2018届初三第一次统一练习
数学试卷
学校名称 姓名 准考证号
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将答题卡交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是
A．1 cm B．2 cm C．4 cm D．cm
2．如果式子有意义，则x的取值范围是
A． B． ≥ C．　 D．≥
3．右图是某个几何体的展开图，该几何体是
A．圆柱 B．圆锥
C．圆台 D．四棱柱

4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

A． B． C．　 D．
5．已知右图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个
全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，
则正确的添加方案是

6．将一把直尺与一块含45度的三角板如图放置，若，则的度数为

A． 115° B． 125° C． 130° D．135°
7．在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法正确的是
A. 随着抛掷次数的增加，正面朝上的频率越来越小
B. 当抛掷的次数很大时，正面朝上的次数一定占总抛掷次数的
C. 不同次数的试验，正面朝上的频率可能会不相同
D. 连续抛掷11次硬币都是正面朝上，第12次抛掷出现正面朝上的概率小于
8．某超市的某种商品一周内每天的进价与售价信息和实际每天的销售量情况如图表所示，则下列推断不合理的是
进价与售价折线图（单位：元/斤）

实际销售量表（单位：斤）
日期
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
销售量
30
40
35
30
50
60
50

A．该商品周一的利润最小
B．该商品周日的利润最大
C．由一周中的该商品每天售价组成的这组数据的众数是4（元/斤）
D．由一周中的该商品每天进价组成的这组数据的中位数是（3元/斤）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．分解因式： ．
10．如果，那么代数式的值为 ．
11．把方程用配方法化为的形式，则m= ，n= ．
12．一副三角板按如图位置摆放，将三角板ABC
绕着点B逆时针旋转（），
如果AB∥DE，那么= ．

13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．曾记载：今有五雀、六燕，集称之衡，雀惧重，燕惧轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀一斤．问燕、雀一枚各重几何？
译文：今有5只雀和6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为16两（1斤=16两）．问雀、燕每只各重多少两？（每只雀的重量相同、每只燕的重量相同）
设每只雀重两，每只燕重两，可列方程组为 ．
14．在一次测试中，甲组4人的成绩分别为：90，60，90，60，乙组4人的成绩分别为：
70，80，80，70．如果要比较甲、乙两组的成绩，你认为 组的成绩更好，理由是 ．
15．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为　　s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是　　cm2．
16．在数学课上，老师提出一个问题“用直尺和圆规作一个矩形”．
小华的做法如下：
（1）如图1，任取一点O，过点O作直线l1，l2；
（2）如图2，以O为圆心，任意长为半径作圆，与直线l1，l2分别相交于点A、C，B、D；
（3）如图3，连接AB、BC、CD、DA．
四边形ABCD即为所求作的矩形．

老师说：“小华的作法正确” ．
请回答：小华的作图依据是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-25题，每小题5分，第26题7分，第27、28题每小题8分）
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．计算：．

18．解不等式组：

19．如图，矩形ABCD中，点E是CD延长线上一点，
且DE=DC，求证：∠E=∠BAC.

20．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．

21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形BCFD是菱形；
（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线（k≠0）相交于A（-3，a），B 两点．
（1）求k的值；
（2）过点P（0，m）作直线，使直线与y轴垂直，直线与直线AB交于点M，与双曲线交于点N，若点P在点M与点N之间，直接写出m的取值范围．

23．中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校九年级组织600名学生参加了一次 “汉字听写”大赛．赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于60分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本，成绩如下：
90，92，81，82，78，95，86，88，72，66， 62，68，89，86，93，97，100，73，76，80， 77，81，86，89，82，85，71，68，74，98， 90，97，100，84，87，73，65，92，96，60.
对上述成绩（成绩x取整数，总分100分）进行了整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分
频数
频率
60≤x＜70
6
0.15
70≤x＜80
8
0.2
80≤x＜90
a
b
90≤x≤100
c
d

请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a =　　　　　　，b =　　　　　 ， c =　　　　　　，d =　　　　　 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，请你估计参加这次比赛的600名学生中成绩“优”等的约有多少人？

24．如图，等腰△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为15，sin∠D＝，求AB的长．

25．如图，P是半圆弧上一动点，连接PA、PB，过圆心O作OC∥BP交PA于点C，连接CB．已知AB=6cm，设O，C两点间的距离为x cm，B，C两点间的距离为y cm．

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y/cm
3
3.1
3.5
4.0

5.3
6
(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)
(2)建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

(3)结合画出的函数图象，解决问题：直接写出△OBC周长C的取值范围是 ．

26．在平面直角坐标系中，若抛物线顶点A的横坐标是-1，且与y轴交于点B（0，-1），点P为抛物线上一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若将抛物线向下平移4个单位，点P平移后的对应点为Q．如果OP=OQ，求点Q的坐标．

27. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，延长CB至点F，使BF=BE，过点F作FH⊥AE于点H，射线FH分别交AB、CD于点M、N，交对角线AC于点P，连接AF．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠FAC=∠APF；
（3）判断线段FM与PN的数量关系，并加以证明．

28．如图1，对于平面内的点P和两条曲线、给出如下定义：若从点P任意引出一条射线分别与、交于、，总有是定值，我们称曲线与“曲似”，定值为“曲似比”，点P为“曲心”．
例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为、（都是常数）的两个同心圆、，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有是定值，所以同心圆与曲似，曲似比为，“曲心”为O'．
（1）在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线、分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）在（1）、（2）的条件下，若将“”改为“”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．

顺义区2018届初三第一次统一练习
数学答案及评分参考
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
B
B
C
D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9． ； 10． ； 11． ，； 12． ；
13． 14．乙， 在平均数、中位数都相同的情况下，乙组成绩的方差比甲组小，说明乙组成绩更稳定； 15．3， 18 ；
16．同圆半径相等，对角线相等且互相平分的四边形是矩形．（或直径所对的圆周角是直角，三个角是直角的四边形是矩形． 等等）
三、解答题（本题共68分，第17-25题，每小题5分，第26题7分，第27题7分，第28题8分）
17．解：
………………………………………………………4分 ……………………………………………………………………………… 5分
①②
18．解不等式组：
解：解不等式①得 ≥ ……………………………………………………………2分
解不等式②得 ………………………………………………………………4分
不等式组的解集是 …………………………………………………………5分
19．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADC=，AB∥CD． …………………………………………………1分
∵ DE=DC，
∴ AE=AC． …………………………………………………………………2分
∴ ∠E=∠ACE． ………………………………………………………………3分
∵ AB∥CD，
∴ ∠BAC=∠ACE． ……………………………………………………………4分
∴ ∠E=∠BAC． ……………………………………………………………5分
1
20．（1）证明：∵

≥ …………………………………………………… 2分
∴ 方程总有两个实数根． ………………………………………………… 3分
（2）解：∵，
∴ ，． ……………………………………………… 4分
由已知得 ．
∴ ． ………………………………………………………………… 5分
21．
（1）证明：∵BD=BC，点E是CD的中点，
∴∠1=∠2． …………………………………………………… 1分
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．…………………………… 2分
∴BD=DF．
∵BD=BC，
∴DF=BC．
又∵DF∥BC，
∴四边形BCFD是平行四边形．
∵BD=BC，
∴□BCFD是菱形． …………………………………………………… 3分
（2）解：∵∠A =，AD=1，BD=BC=2，
∴．
∵四边形BCFD是菱形，
∴DF=BC=2． ………………………………………………………… 4分
∴AF=AD+DF=3．
∴．……………………………… 5分
2
22．解：（1）∵点A（-3，a）在直线上，
∴．
　　　 ∴点A的坐标为（-3，-2）． 　…………………………………… 1分
　　　 ∵点A（-3，-2）在双曲线上，
∴， ∴． …………………………………… 3分
（2）m的取值范围是 ． ……………………………… 5分
23．解：（1）a =　14　，b =　0.35　 ， c =　12　，d =　0.3　 ；………… 2分
（2）补全频数分布直方图如下：

…………………… 4分

（3）估计参加这次比赛的600名学生中成绩“优”等的约有180人．……… 5分
24．（1）证明：连接AO，并延长交⊙O于点E，交BC于点F．
∵AB=AC，
∴．
∴AE⊥BC．
∵AD∥BC，
∴AE⊥AD．
∴AD是⊙O的切线．…………… 2分
（2）解法1：∵AD∥BC， ∴∠D=∠1．
∵sin∠D=， ∴sin∠1=．
∵AE⊥BC，
∴=．
∵⊙O的半径OB=15，
∴OF=9，BF=12．
∴AF=24．
∴AB=．……………………………………………………… 5分
3
解法2：过B作BH⊥DA交DA延长线于H．
∵AE⊥AD，sin∠D=，
∴=．
∵⊙O的半径OA=15，
∴OD=25，AD=20．
∴BD=40．
∴BH=24，DH=32．
∴AH=12．
∴AB=．……………………………………………………… 5分
25．(1)4.6． ……………………………………………………………………… 1分

(2)

…………………………………………………………………………… 3分
(3)6＜C＜12． …………………………………………………………… 5分

26．解：（1）依题意，b=2,
由B（0，-1），得c=-1,
∴抛物线的表达式是．…………………… 2分

4

（2）向下平移4个单位得到，……………………… 3分
∵OP=OQ，
∴P、Q两点横坐标相同，纵坐标互为相反数．
∴．
∴，．………………………………………………… 5分
把，分别代入．
得出Q1（-3，-2），Q2（1，-2）．………………………………… 7分

27．（1）补全图如图所示． ………………………………………………………… 1分
（2）证明∵正方形ABCD，
∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，
∴∠PAH=45°-∠BAE．
∵FH⊥AE．
∴∠APF=45°+∠BAE．
∵BF=BE，
∴AF=AE，∠BAF=∠BAE．
∴∠FAC=45°+∠BAF．
∴∠FAC=∠APF．…………………………… 4分
（3）判断：FM=PN． …………………………………… 5分
证明：过B作BQ∥MN交CD于点Q，
∴MN=BQ，BQ⊥AE．
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．
∴∠BAE=∠CBQ．
∴△ABE≌△BCQ．
∴AE=BQ．
∴AE=MN．
∵∠FAC=∠APF，
∴AF=FP．
∵AF=AE，
∴AE=FP．
∴FP=MN．
∴FM=PN．…………………………………………………………… 8分

5
28．（1）是．
过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为D，C．
依题意可得A（k,k2）,B（2k,2k2）．……………………………………………… 2分
因此D（k,0），C（2k,0）．
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴AD∥BC．
∴．
∴两抛物线曲似，曲似比是． ………… 3分
（2）假设存在k值，使⊙O与直线BC相切．
则OA=OC=2k，
又∵OD=k，AD=k2，并且OD2+AD2= OA2，
∴k2+（k 2）2=（2k）2．
∴．（舍负）
由对称性可取．
综上，． ………………………… 6分
（3）m的取值范围是m＞1，
k与m之间的关系式为k 2=m2-1 ． ……… 8分