三角函数及反三角函数.doc

三角函数的基本关系式
倒数关系:
商的关系：
平方关系：
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
sin2α＋cos2α＝1
1＋tan2α＝sec2α
1＋cot2α＝csc2α

诱导公式
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα

sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα

sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
(其中k∈Z)

两角和与差的三角函数公式
万能公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

              tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
             1－tanα ·tanβ

               tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
              1＋tanα ·tanβ
        2tan(α/2)
sinα＝——————
       1＋tan2(α/2)
       1－tan2(α/2)
cosα＝——————
       1＋tan2(α/2)
        2tan(α/2)
tanα＝——————
       1－tan2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式
三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

         2tanα
tan2α＝—————
        1－tan2α
sin3α＝3sinα－4sin3α
cos3α＝4cos3α－3cosα
        3tanα－tan3α
tan3α＝——————
         1－3tan2α

三角函数的和差化积公式
三角函数的积化和差公式
                  α＋β       α－β
sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—
                   2          2
                  α＋β       α－β
sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—
                   2          2
                  α＋β       α－β
cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—
                   2           2
                    α＋β       α－β
cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—
                     2          2
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）

函数变换

360k+α
sinα
cosα
tanα
cotα
secα
cscα
90°-α
cosα
sinα
cotα
tanα
cscα
secα
90°+α
cosα
-sinα
-cotα
-tanα
-cscα
secα
180°-α
sinα
-cosα
-tanα
-cotα
-secα
cscα
180°+α
-sinα
-cosα
tanα
cotα
-secα
-cscα
270°-α
-cosα
-sinα
cotα
tanα
-cscα
-secα
270°+α
-cosα
sinα
-cotα
-tanα
cscα
-secα
360°-α
-sinα
cosα
-tanα
-cotα
secα
-cscα
﹣α
-sinα
cosα
-tanα
-cotα
secα
-cscα

反三角函数
　　三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
　　反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).
　　反三角函数主要是三个：
　　y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；
　　y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；
　　y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；
　　sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域 【-π/2,π/2】
证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代如上式即可得

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
　　反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).
　　（1）正弦函数y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。
　　（2）余弦函数y=cos x在[0,π]上的反函数，叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0,π]区间内。
　　（3）正切函数y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函数，叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。
反三角函数主要是三个：
　　y＝arcsin(x)，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条；
　　y=arccos(x)，定义域[-1,1] ， 值域[0,π]，图象用蓝色线条；
　　y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；
　　sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx
　　证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得
　　其他几个用类似方法可得
　　cos(arccos x)=x, arccos(-x)=π-arccos x
　　tan(arctan x)=x, arctan(-x)=-arctanx
反三角函数其他公式
　　arcsin(-x)=-arcsinx
　　arccos(-x)=π－arccosx
　　arctan(-x)=-arctanx
　　arccot(-x)=π－arccotx
　　arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
　　sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)
　　当x∈[—π/2，π/2]时，有arcsin(sinx)=x
　　当x∈[0,π],arccos(cosx)=x
　　x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x
　　x∈(0，π),arccot(cotx)=x
　　x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似
　　若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)