数学百日百题(新).doc

“一题多元、多题一源、纵横联系、类比类推”
在数学百日百题中的应用
例题：在平面直角坐标系xoy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积为-.
（Ⅰ）求动P点的轨迹方程；
(Ⅱ) 设直线AP与BP分别与直线x=3交于M与N，问：是否存在P点使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
(1) 以一题多元优化思维
多 元
路 径
求点的坐标？
从不同的思维出发给出本题（II）的详细解答过程：
(Ⅱ)方法一:常规解法 (推荐人:程娟秀)
设点p的坐标为（）,点坐标分别为（3，），（3,），
则直线AP的方程为y-1=(x+1),
直线BP的方程为y+1=(x-1)
令x=3得=,=
于是△PMN的面积为
=|(3-)=
又直线AB的方程为x+y=0,|AB|2,
点P到AB直线的距离d=
于是△PAB的面积为
=|AB|d=,
由==
又≠0
所以，解得=
因为+3=4，所以=
故存在点P使得△PMN与△PAB的面积相等，此时点P的坐标为(,)
解法二:数形结合（推荐人:411B班白永燚 指导教师:张敏)
若存在点P使得△PMN与△PAB的面积相等设点p的坐标为（），则|PA||PB|=|PM||PN|.
因为=
所以，所以
即=, 解得=
因为+3=4，所以=
故存在点P使得△PMN与△PAB的面积相等，此时点P的坐标为(,)
以上两种法方中第二种法通过对几何的推理,减少了很多的计算,属于最优解.
（2）以多题一源可优化思维
对称
斜率
三角形面积
(3) 以纵横联系可优化思维
每个命题都由对应的关键字或词或义而构成，优化思维就是要训练从每个命题中学会吸收具有内涵价值的关键字、词、句、义。
该题中具有思维价值的关键词是“对称”，“斜率”，“面积”同时展开纵横联系，又能达到优化思维的目的。
“对称”从数学科展开联系，如：函数的对称与圆锥曲线的对称两大部分。对于“函数图像的对称”，要知“函数图像的对称”的内涵要义是什么？函数的解析式的变化对对称造成什么影响了？怎样从函数的解析式观察出函数的图像的对称性的？函数的对称包含哪两类对称呢？一个是函数图像自身对称，一个是两个函数图像之间的对称，他们的规律有什么异同？圆锥曲线的对称，又怎样从方程中得出图像的对称关系的？从方程中怎样得出对称轴、对称中心？。。。。。。通过以上比较发现，函数图象的对称具有代表性、典型性、重要性。我们可以从“关于x轴，y轴，原点，y=x+b”等常见的四个维度进行优化思维。
由数学科从“斜率”展开纵横联系。如：通过倾斜角表达斜率，通过直线的方向向量求斜率，通过点的坐标求斜率，通过斜率解决三角函数值域等，由以上均可构建对题一源的相关体系，以达到优化思维的目的。
由“面积”展开纵横联系，可以与三角函数发生关系，还可以与初中的平面几何进行联系，以上均可构建多题一源的相关体系，以达到优化思维的目的。
(4)以类比类推可优化思维
理解几何对象的本质特征是实现几何代数化的基础。
例1：过定点M（a,b）任作互相垂直的两条直线和，分别与
x轴、y轴交于A,B两点， 求线段AB中点P的轨迹方程.
分析1：利用，. 设，则.
分析2：连结PM，由，为直角三角形，
分析3：点O,A,M,B四点共圆，
由分析1、分析2、分析3就可以看出当把几何对象的本质特征挖掘出来时（如分析3）计算量就明显减少，提高了准确率。
例2：若直线与连接点A和点的线段有公共点，求a的取值范围.
几何特征： A,B两点必在直线两侧或其中一点在此直线上.
代数化：， 解得：或

例1 例2
因此解析几何代数化的核心在于几何与代数在坐标系下的互译——由几何对象的代数表征来解读几何对象的特征属性，由几何对象的几何特征属性合理选择其代数表征。