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抽象函数的应用
抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。
例1：定义在R上的函数，当时，，且对任意的，有，
（1）求证：；
（2）求证：对任意的，恒有；
（3）证明：是上的增函数；
（4）若，求的取值范围。

例2已知函数,在R上有定义，对任意的有且
（1）求证：为奇函数
（2）若， 求的值

例3已知函数对任意实数恒有且当，
(1)判断的奇偶性；
(2)求在区间[－3,3]上的最大值；
(3)解关于的不等式

例4已知f(x)在(－1，1)上有定义，f()＝－1，且满足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f()
⑴证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数；
⑵对数列x1＝，xn＋1＝，求f(xn);
⑶求证

例5已知函数，满足：对任意都有；
（1）试证明：为N上的单调增函数；
（2），且，求证：；
（3）若，对任意,有，证明：.

例6已知函数的定义域为，且同时满足： (1)对任意，总有；(2) (3)若且，则有.
(I)求的值；
(II)求的最大值；
(III)设数列的前项和为，且满足

例7对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．
(1) 若函数为理想函数，求的值；
(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；
(3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，求证．

例8已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立。
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若,且对任意正整数,有, ,求数列{an}的通项公式；
(Ⅲ)若数列{bn}满足，将数列{bn}的项重新组合成新数列，具体法则如下：……，求证：。

例9定义在R上的函数f（x）满足，且时，
f（x）<0。
（1）设，求数列的前n项和；
（2）判断f（x）的单调性，并证明。

例10设函数f（x）定义在R上，对于任意实数m、n，恒有，且当x>0时，0<f（x）<1。
（1）求证：f（0）=1，且当x<0时，f（x）>1；
（2）求证：f（x）在R上单调递减；
（3）设集合，
，若，求a的取值范围。