函数的奇偶性(讲义).doc

函数的奇偶性
【知识要点】
1．函数奇偶性的定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）. 如果对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫奇函数（odd function）.
2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象.
3．判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别与的关系；
（1）奇函数；
（2）偶函数.
4．函数奇偶性的几个性质：
（1）奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域；
（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
（3）若奇函数在原点有意义，则；
（4）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数；
（5）在公共的定义域内：两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；
（6）函数与函数有相同的奇偶性.
5．奇偶性与单调性：
（1）奇函数在两个关于原点对称的区间上有相同的单调性；
（2）偶函数在两个关于原点对称的区间上有相反的单调性.

【典例精讲】
类型一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5） （6）

变式 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x4； (2)f(x)=x5； (3)f(x)=x+； (4)f(x)=.
（5） （6）
（7） （8）

例2 已知是R上的奇函数，且当时，，求的表达式。

类型二 函数奇偶性的简单应用
例3 （1）设函数f(x)=为奇函数，求实数a的值；
（2）设函数y=f(x)是奇函数，若f(－2)+f(－1)－3=f(1)+f(2)+3，求f(1)+f(2)的值；
（3）已知是奇函数，是偶函数，且求与的解析式。

变式 （1）设是定义在R上的奇函数，当x≤0时，=，则 .
（2）已知为奇函数， ．
（3）已知是奇函数，且，若，则 。

类型三 函数性质的综合应用
例4 (1)奇函数在, 上为增函数，试分析它在(a, 上的单调性。

(2)已知奇函数在单调区间上有最大值，则在上的最 值是 。
(3)已知偶函数在单调区间上有最大值，则在上的最 值是 。

例5 定义在上的函数满足,且对任意,都成立。
(1)证明:函数是奇函数；
(2)如果并且试求在区间上的最值。

【课堂练习】
1. 函数，是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与有关
2. 若奇函数在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在上是（ ）
A. 增函数且最小值是－1 B. 增函数且最大值是－1
C. 减函数且最大值是－1 D. 减函数且最小值是－1
3．若函数为偶函数，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
4. 已知是偶函数,则函数的图象的对称轴是( )
A. B. C. D.
5. 设奇函数f(x)的定义域为[－5, 5], 若当x∈[0, 5]时, f(x)的图象如图所示, 则不等式f(x)＜0的解是　　　.

6. 已知函数，，求。

【思维拓展】
1.定义在上的函数满足,且对任意,当时,都有。
(1)证明:函数是奇函数；
(2)用函数的单调性定义判断并证明函数在上的单调性。
【课外作业】
1．已知函数是奇函数，当时，；当时，等于（ ）
A. B. C. D.
2. 对于定义域是R的任意奇函数都有（ ）
A. B. C. D.
3．若为奇函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知的定义域为，且满足，则的表达式为________.
5. 若是偶函数，则的大小顺序是__________.
6. 已知是定义在上的奇函数，在是增函数，且，则的解集为 .
7．若对于一切实数，都有.
（1）求，并证明为奇函数；
（2）若，求。

8. 已知函数是定义在上的偶函数，已知时，．
（1）画出偶函数的图象；
（2）根据图象，写出的单调区间；同时写出函数的值

y
x
O