线性代数第十四讲.doc

§3.6 线性变换及其矩阵表示

1. 基本概念

映射 象 原象 单射（1-1的） 满射（到上的） 双射（一一对应）

映射的相等：。对有，记为

映射的复合：。定义
对

变换：

线性变换：，其中为数域上的线性空间。若对任意的及任意的都有

则称为上的一个线性变换。

例3.6.4 求导变换

例3.6.6数乘变换：，
特别地，时，称为零变换，记为；时，称为恒等变换或单位变换，记为

性质3.6.1：
(1)
(2) 保持线性组合、线性关系式不变，即
若，则
(3) 将线性相关的向量组变成线性相关的向量组。 （线性无关的怎样？）

可逆变换：

性质：
(1) 可逆变换是一一对应；
(2) 逆变换唯一；
(3) 若是线性变换，则也是线性变换。

2. 线性变换的矩阵(表示)

设为维线性空间上的一个线性变换。取的一组基：，则有唯一确定的。此时，对任意的，若设，则。由此可知，由唯一确定，即由唯一确定。从而与互相唯一确定。
设

将上式写为矩阵形式：

记为，称矩阵为在基下的矩阵(表示)。

例 上的零变换，单位变换，数乘变换在的任意基下的矩阵分别为。

例3.6.10 求中求导变换在自然基：下的矩阵。
求法：先求。

定理3.6.3设是线性空间上的一个线性变换，为的一个基，且在该基下的矩阵表示为，即

对任意的，设，，则

注意：与坐标变换公式有何不同？

定义： 。

若在基：下，，，则

定理3.6.4 设是线性空间上的一个线性变换，为它的一个基，且

则可逆可逆。

定义3.6.8 设是数域上的两个线性空间,是到的一个映射.若对任意及,均有

则称是到的一个线性映射,此时,若还是双射,则称是到的一个同构映射.
例如, 数域上的维线性空间同构于向量空间.
再如, 数域上的维线性空间上所有的线性变换的集合构成一个线性空间，且与同构。

3. 线性变换在不同基下的矩阵

在线性空间中取两个基：，。同时，设

①

另一方面，

②

比较①与②，由在基：下矩阵表示的唯一性可知

例 在中定义线性变换：

(1) 求在自然基：下的矩阵；
(2) 求在基：
下的矩阵。

4. 线性变换的特征值与特征向量

设是线性空间上的一个线性变换，为它的一个基，且

在中，能否找到适当的基，使得在该基下的矩阵为对角阵？
不妨设已经找到，为，于是有

即

设 ，则有

定义3.6.7 设为数域上线性空间上的一个线性变换。若存在数和非零向量，使得

则称数为线性变换的一个特征值，为对应特征值的特征向量。

结论：线性变换在某个基下的矩阵为对角阵 有个线性无关的特征向量。

其中，为的特征值，是在基：下的矩阵表示，是特征向量在基：下的坐标，即。
类似地，可定义矩阵的特征值与特征向量。

如何求？首先需要计算行列式！

小 结

1. 线性空间的基、维数、坐标
（求过渡矩阵，求坐标）
2. 生成子空间、解空间
（求基、维数）
3. 标准正交向量组（Schmidt正交化方法）
4. 正交矩阵
5. 线性变换的矩阵表示

第四章 行列式

§4.1 排列

定义 由n 个数1，2，…, n组成的一个有序数组称为一个n阶排列。

定义 在一个排列中，如果两个位置上的数排在前面的大于排在后面的，则称这两个数构成一个逆序。一个排列中所含逆序的总数称为该排列的逆序数。排列jj… j的逆序数记为 ( jj… j)。

§4.2 行列式的定义

其中 （i, j = 1, 2）为常数，（j = 1, 2）为未知数。

由消元法可知，当

时，可得上述方程组有唯一解:

引用符号
①

表示 即令

②

则上述方程组的解可表示为

称符号①为二阶行列式。它含有两行、两列， 称为它的元素，其下角标i表示 所在的行数，表示所在的列数。

红实线称为该行列式的主对角线，蓝虚线称为该行列式的次对角线（或副对角线）。

符号①只是个记号，它的实质意义是式②右端的代数式，称之为二阶行列式的展开式，它是一个数。

对于

其中 （i, j = 1, 2, 3）为常数，（j = 1, 2, 3）为未知数，由消元法可知，有同样的结论。

记

③

当 时，可得上述方程组有唯一解：

其中

称式③中的符号

为三阶行列式。它含有三行、三列，称为它的元素，其下角标i表示 所在的行数，表示所在的列数。

红实线称为该行列式的主对角线，蓝虚线称为该行列式的次对角线（或副对角线）。
三阶行列式的实质意义是式③右端的代数式，称之为三阶行列式的展开式，它也是一个数。
3阶行列式的展开式：

的规律：

（1）项的形式：
是1, 2, 3的排列

（2）项的个数：3! = 6
1, 2, 3的全部排列的数目

（3）项的符号：

于是，三阶行列式的展开式又可表为

①

式①中的和式取遍1, 2, 3的全部排列。

定义 个数 排成n行n列，记为

称上面符号为n阶行列式，称之为第行第j列的元素。n阶行列式表示一个数，其值为

上面和式取遍1, 2,…, n的全部排列。上式右端称为n阶行列式的展开式。

定义 设n阶方阵

则称n阶行列式

为方阵的行列式，记为 或 。

例 设四阶上三角矩阵

求 。

解 根据行列式的定义，

因为

所以，

例 设是上三角矩阵，则 的值为的主对角元之积。

若是上（下）三角矩阵，则称 为上（下）三角行列式。

§4.3 行列式的性质

性质1 设是n阶方阵，则 ，即

例 设是下三角矩阵，则 的值也为的主对角元之积。
性质2 设是n阶方阵，，则 ，即

推论 若行列式有两行完全相同，则该行列式等于零。

性质3 设是n阶方阵，，则 ，即

推论1 若行列式中某一行的元素全为零，则该行列式等于零。

推论2 若行列式中某两行成比例，则该行列式等于零。

问题 对方阵，与 有什么关系？

性质4 设是n阶方阵，且

令

则 。

问题 对同阶方阵，与 有关系吗？
性质5 设是n阶方阵，，则
，即

例 计算四阶行列式

解

例 计算四阶行列式

解

。
上例中的方法是否可用于计算n阶行列式

？

例 设、是4
阶方阵，且 ，求 。

解 因

故

。

小结: 1) 重点; 2)难点; 3)注意点.