高三数学统计-易误点总结.doc

高三数学统计概念 方法 题型 易误点总结十二
十二.统 计
1.抽样方法：
(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；
(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中的个体有明显差异。
共同点：每个个体被抽到的概率都相等。
如（1）某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95。为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，把这种抽样记为A；某中学高中一年级有12名女排运动员，要从中选取3人调查学习负担的情况，把这种抽样记为B，那么完成上述两项调查应分别采用的抽样方法：A为_______，B为_____。
（2）从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为______；
（3）某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n= _______；
（4）容量为100的样本拆分成10组，前7组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频数组成等比数列，且其公比不为1，则剩下的三组中频数最大的一组的频率是______；
（5）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，则某一个体“第一次被抽到的概率”，“第一次未被抽到，第二次被抽到的概率”，“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是______________；
（6）某班试用电子投票系统选举班干部候选人。全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令，其中，则同时同意第1,2号同学当选的人数为 （ ）
A． B．
C． D．
2.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）；用样本方差估计总体方差（方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差或标准差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定）。一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。总体估计要掌握：(1)“表”(频率分布表)；（2）“图”(频率分布直方图)。
提醒：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，
小矩形的面积表示频率。
如（1）一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下： (10,20],2；(20,30],3；(30,40],4；(40,50],5；(50,60],4；(60,70],2；则样本在区间上的频率为（ ）
　A．5% B．25% C．50% D．70%；
（2）已知样本：10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12 ，那么频率为0.3的范围是 （ ）
A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.5；
（3）观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图1所示，则新生儿的体重在[2700，3000]的频率为_______；
（4）如图2是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是_____；
分数
频率/组距
0
20
40
60
80
100
0.018
0.012
0.009
0.006
0.005
图2
O
2400
2700
3600
3300
3000
3900
体重(g)

0.001
图1

统计量
组别
平均分
方差
第1组
80
16
第2组
90
36
（5）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
寿命（h）
100～200
200～300
300～400
400～500
500～600
个数
20
30
80
40
30
（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率

3、样本平均数： 。
如有一组数据：x1,x2,…,xn(x1≤x2≤…≤xn)，它们的算术平均值为20，若去掉其中的xn，余下数据的算术平均值为18，则xn关于n的表达式为 。

4、样本方差：；
样本标准差：。
如（1）甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)，如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的应是 ；
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9

（2）已知实数的期望值为，方差为，，若，则一定有 （ ）
A． B． C． D．与无法比较大小；
（3）某班40人随机平均分成两组，两组学
生一次考试的成绩情况如下表：则全班的平均
分为_______，方差为______；

提醒：若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为。
如已知数据的平均数，方差，则数据的平均数和标准差分别为 （ ）
A．15，36 B．22，6 C．15，6 D．22，36
【巩固练习】：
1.一个容量为n的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40、0.125，则n的值为 A.640 B.320 C.240 D.160 【 】
2.某单位有老年人，中年人，青年人依次为25人，35人，40人，用分层抽样的方法抽取40人，则老、中、青的人数依次为 【 】
A.8，14，18 B.9，13，18 C.10，14，16 D.9，14，17
3.某人从湖中打了一网鱼，共m条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网鱼，共n条，其中k条有记号，估计湖中有鱼____条. 【 】
A. B.m· C.m·k· D.无法估计
0.3
0.1
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
视力

4.为了解某校高三学生的视力情况，
随机地抽查了该校100名高三学生的视
力情况，得到频率分布直方图，如右，
由于不慎将部分数据丢失，但知道前4
组的频数成等比数列，后6组的频数成
等差数列，设最大频率为a，视力在4.6
到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分
别为 【 】
A．0,27,78 B．0,27,83
C．2.7,78 D．2.7,83
5.设一组数据的方差是s2,将这组数据的每个数据都乘以10，所得到的一组新数据的方差是 A.0.1s2 B.s2 C.10s2 D.100s2 【 】
6.若样本x1+1,x2+1,…,xn+1的平均数是7，方差为2，则对于样本2x1+1,2x2+1,…,2xn+1,下列结论中正确的是 【 】
A.平均数是7，方差是2 B.平均数是14，方差是2
C.平均数是14，方差是8 D.平均数是13，方差是8
7.是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，则下列各式正确的是 【 】
A.= B.= C.=a+b D.=
8.为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为Z=（其中x是某位学生的考试分数，是该次考试的平均分，s是该次考试的标准差，Z称为这位学生的标准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值，因此，又常常再将Z分数作线性变换转化成其他分数.例如某次学生选拔考试采用的是T分数，线性变换公式是T=40Z+60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是85分，这次考试的平均分是70分，标准差是25，则该考生的T分数为___________.
分 组
平均成绩
标准差
第一组
90
6
第二组
80
4
9.某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表，求全班的平均成绩和标准差.

10.有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
［12.5，15.5］，6；［15.5，18.5］，16；［18.5，21.5］，18；［21.5，24.5］，22；
［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8.
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计数据小于30.5的概率.

11．下表为某体育训练队跳高成绩的分布，共有队员40人，成绩分为1~5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人。将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x，跳远成绩为y，设x，y为随即变量（注：没有相同姓名的
队员）
y
x
跳 远
5
4
3
2
1

跳

高
5
1
3
1
0
1
4
1
0
2
5
1
3
2
1
0
4
3
2
1
m
6
0
n
1
0
0
1
1
3
（1）求的概率及且的概率；（2）求的值；若y的数学期望为，求m，n的值.

[参考答案]
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（答：分层抽样，简单随机抽样）；（答：）（答：200）（答：0.16）（答：）（答：C）（答：D）（答：B）（答：0.3）（答：120）（答：（1）（2）略　（3）0.65）（答：）（答：甲）（答：B）（答：85,51）（答：B）
【巩固练习】
B C B A D D A 84
解：设全班的平均成绩为，全班成绩的方差为s2，
则s12=［（x12+x22+…+x182）－18×902］=36，
s22=［（x192+x202+…+x402）－22×802］=16.
∴=（90×18+80×22）==84.5，
s2=［（x12+x22+…+x182）+（x192+x202+…+x402）－40·2］
=［18×（36+8100）+22×（16+6400）－40×］
=（146448+141152－10×1692）
=×1990=49.75.
∴s=≈7.05.
评述：平均成绩应为总成绩除以总人数，而总成绩可由每组成绩之和求得. 解：（1）样本的频率分布表如下：
分 组
频 数
频 率
12.5～15.5
6
0.06
15.5～18.5
16
0.16
18.5～21.5
18
0.18
21.5～24.5
22
0.22
24.5～27.5
20
0.20
27.5～30.5
10
0.10
30.5～33.5
8
0.08
合 计
100
1.00
（2）频率分布直方图如下图.

（3）数据大于等于30.5的频率是0.08，∴小于30.5的频率是0.92.∴数据小于30.5的概率约为0.92.
探究：解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计.

11．解解：（1）当时的概率为……………2分
当且时的概率为…………4分
（2）……………………6分

，，，
因为y的数学期望为，所以………10分
于是，………………………12分
用心 爱心 专心 115号编辑 6