一有理函数的积分市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

,高等数学四,*,/,30,一、有理函数积分,二、可化为有理函数积分,三、小结 思考题,4.4 有理函数的积分,第1页,第1页,1、有理函数定义：,有理函数：,两个多项式商表示函数，即下列函数,一、有理函数的积分,真分式与假分式：,假定分子与分母之间没有公因式,称这有理函数是,真分式,；,称这有理函数是,假分式,。,假分式分解：,利用多项式除法,假分式能够化成一个多项式和一个真分式之和.,例,难点,将有理函数化为部分分式之和.,第2页,第2页,分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和普通规律：,特殊地：,分解后为,一、有理函数的积分,2、有理函数分解：,分母中若有因式 ，其中 ，则,分解后为,特殊地：,分解后为,第3页,第3页,待定系数法,（真分式化为部分分式之和办法）对未知,因子用假定字母表示，然后利用恒等关系来求出假设字,母近而拟定未知因子。,一、有理函数的积分,分子为单字母因子,办法1：恒等式法,第4页,第4页,代入特殊值来拟定系数,取,取,取,并将 值代入,办法2：特殊值法,一、有理函数的积分,第5页,第5页,比如,整理得,一、有理函数的积分,分子含两个字母二项因子,第6页,第6页,例1 求积分,解,一、有理函数的积分,3、有理真分式积分,第7页,第7页,例2 求积分,解,一、有理函数的积分,第8页,第8页,例3 求积分,解,令,一、有理函数的积分,第9页,第9页,阐明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,一、有理函数的积分,记,则,第10页,第10页,总之，这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,结论,有理函数原函数都是初等函数.,一、有理函数的积分,第11页,第11页,三角有理式定义：,由三角函数和常数通过有限次四则运算构成函数。,普通记为,二、可化为有理函数的积分,1、三角有理式积分,令,（万能置换公式）,第12页,第12页,三角有理式积分：,例4 求积分,解,由万能置换公式,二、可化为有理函数的积分,第13页,第13页,二、可化为有理函数的积分,第14页,第14页,例5 求积分,解（一）,二、可化为有理函数的积分,第15页,第15页,解(二),修改万能置换公式,令,二、可化为有理函数的积分,第16页,第16页,解(三),能够不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法，便知万能置换不一定是最佳办法，故三角有理式计算中先考虑其它手段，不得已才用万能置换。,二、可化为有理函数的积分,第17页,第17页,例6 求积分,解,二、可化为有理函数的积分,第18页,第18页,二、可化为有理函数的积分,第19页,第19页,讨论类型,处理办法,作代换去掉根号.,例7 求积分,解,令,2、简朴无理函数积分,二、可化为有理函数的积分,第20页,第20页,例8 求积分,解,令,阐明,无理函数去根号时,取根指数,最小公倍数,.,二、可化为有理函数的积分,第21页,第21页,例9 求积分,解,先对分母进行有理化,原式,二、可化为有理函数的积分,第22页,第22页,4.4 有理函数的积分,一、有理函数积分,1、有理函数定义,2、有理函数分解,3、有理真分式积分,二、可化为有理函数积分,1、三角有理式积分,2、简朴无理函数积分,三、小结,简朴无理式积分.,有理式分解成部分分式之和积分.,（注意：必须化成真分式）,三角有理式积分(万能置换公式).,（注意：万能公式并不万能）,思考题,练习：,第218页,单号题。,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,作业：,第218页,双号题。,第23页,第23页,思考题,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,第24页,第24页,思考题解答,分解后部分分式必须是最简分式.,第25页,第25页,练习题,第26页,第26页,第27页,第27页,第28页,第28页,练习题答案,第29页,第29页,第30页,第30页,第31页,第31页,第32页,第32页,