一阶微分方程的解的存在定理市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,一阶微分方程解存在定理,第1页,第1页,第2页,第2页,需处理问题,第3页,第3页,3.1,解存在唯一性定理与逐步迫近法,第4页,第4页,一 存在唯一性定理,1 定理1,考虑初值问题,第5页,第5页,(1)初值问题(3.1)解等价于积分方程,连续解,.,证实思绪,(2)结构(3.5)近似解函数列,第6页,第6页,(逐步求(3.5)解,逐步迫近法),第7页,第7页,这是为了,即,第8页,第8页,第9页,第9页,下面分五个命题来证实定理,为此先给出,积分方程解,假如一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样关系式为积分方程.,积分方程,第10页,第10页,命题1,初值问题(3.1)等价于积分方程,证实:,即,第11页,第11页,反之,故对上式两边求导,得,且,第12页,第12页,结构Picard逐步迫近函数列,问题:,这样结构函数列是否行得通,即上述积分,是否故意义?,注,第13页,第13页,命题2,证实:,(用数学归纳法),第14页,第14页,第15页,第15页,命题3,证实:,考虑函数项级数,它前n项部分和为,第16页,第16页,对级数(3.9)通项进行预计,第17页,第17页,第18页,第18页,于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有,第19页,第19页,现设,命题4,证实:,第20页,第20页,即,第21页,第21页,命题5,证实:,由,第22页,第22页,第23页,第23页,综合命题15得到存在唯一性定理证实.,第24页,第24页,一 存在唯一性定理,1 定理1,考虑初值问题,第25页,第25页,命题1,初值问题(3.1)等价于积分方程,结构Picard逐步迫近函数列,命题2,第26页,第26页,命题3,命题4,命题5,第27页,第27页,2 存在唯一性定理阐明,第28页,第28页,第29页,第29页,第30页,第30页,第31页,第31页,3 一阶隐方程解存在唯一性定理,定理2,考虑一阶隐方程,则方程(3.5)存在唯一解,满足初始条件,第32页,第32页,三 近似计算和误差预计,求方程近似解办法-Picard逐步迫近法,这里,第33页,第33页,注:,上式可用数学归纳法证实,则,第34页,第34页,例1,讨论初值问题,解存在唯一区间,并求在此区间上与真正解误差不超,解,由于,由(3.19),第35页,第35页,第36页,第36页,例2,求初值问题,解存在唯一区间.,解,第37页,第37页,例3,利用Picard迭代法求初值问题,解.,解,与初值问题等价积分方程为,第38页,第38页,其迭代序列分别为,取极限得,即初值问题解为,第39页,第39页,作业,P78 1,3,4,8,第40页,第40页,