一阶隐式微分方程及其参数表示市名师优质课赛课一等奖市公开课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4 一阶隐式微分方程及其参数表示,/Implicit First-Order ODE and,Parameter Representation/,1/21,变量分离、线性、恰当方程等,能解出,转化,不能解出 或解出形式复杂,转化,引进参数变量变换,熟练掌握,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter representation,2/21,一、,能解出,y,(或,x,)方程,这里假设函数,有连续偏导数。,解法,：,引进参数 ，,则(2.4.1)变为,两边关于,x,求导，并把,代入，得,关于,x,和,p,显式方程,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,3/21,若已得出(2.4.3)通解形式为,代入(2.4.2)得,就是(2.4.1)通解。,(ii)若得出(2.4.3)通解形式为,，则原方程(2.4.1),有参数形式通解,其中,p,是参数，c为任意常数。,(iii)若求得(2.4.3)通解形式 ，,则原方程(2.4.1),其中p是参数,c为任意常数。,有参数形式通解,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,4/21,解法,两边对,y,求导,(2.4.6),若求得为,则(2.4.4)通解为,若求得为,则(2.4.4)通解为,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,5/21,解法1：,解出,y,令,得,两边对,x,求导,例1,求解方程,当,时，上式乘以,p,，得,积分，得,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,6/21,将它代入,所以，方程参数形式通解,当,p,=0,时,由,可知，,y,=0,也是方程解。,解出,x,，得,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,7/21,解法2：,解出,x,，并把,，得,两边对,y,求导,所以，方程通解为:,另外，还有解,y,=0,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,8/21,解,令,得,两边对,x,求导，得,例2,求解方程,将它代入,得方程通解,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,9/21,方程通解,再由,得,将它代入,，又得方程一个解,此解与通解,中每一条积分曲线均,相切(如图)(P54)这么解我们称之为,奇解,下一章将给,出奇解确切含义。,注意,:,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,10/21,x,y,o,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,11/21,二、不显含,y,(或,x,方程),解法：,引入变换,从(2.4.7)得到,则，方程参数形式通解为,关键,(or 引入变换,从(2.4.7)得到 ),2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,12/21,令,通解为,特殊情形,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,13/21,解法：,引入变换,从(2.4.7)得到,则，方程参数形式通解为,(or 引入变换,从(2.4.7)得到 ),若,有实根,则,也是方程解。,关键,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,14/21,令,通解为,特殊情形,若,有实根,则,也是方程解。,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,15/21,解,令,则 由方程，得,从而,于是,求解方程,例4,通解为,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,16/21,例,5,求解方程,解,把,代入原微分方程,令,得,由此得,且,方程参数形式通解为,另外,也是方程解。,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,17/21,练习,求解方程,注意观察方程解特点,解,通解,奇解,克莱洛方程,Clairant Equation,作业,:,P.59 第 1,3,4题,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,18/21,三,利用变量代换微分方程积分法,有时方程,就,都不易解出,或者虽能解出,但积分计算比较复杂，这时，除了引用,适当参数外，还能够先进行适当变量代换后再,求解，这种方法称为利用变量代换微分方程积分法。,不过，怎样选择适当变量来代换，没有一定规律,需要在做大量练习中积累经验.,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,19/21,解,令,则,代入原方程，得,即,克莱洛方程,通解,奇解,例6,求解方程,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,20/21,解,则,令,于是,代入原方程，得,例7,通解.,求方程,克莱洛方程,通解,奇解,2.4,Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,21/21,