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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,13.2 三重积分,一、三重积分概念,定义,设 在有界闭体 有定义.对任意,分法 :将V分成个 小体 .设其体,分别为,作和式,:,(1),第1页,第1页,令 若当 时，（1）式存在,极限 (数 与分法 无关也与 取法无关).,即,则称 在体 可积.是 在体,三重积分,记为,或,第2页,第2页,二、三重积分计算,与二重积分计算同样.求三重积分方,法是将三重积分化为一次定积分与一次二重,积分.进而化为三次定积分.,其中体称 为积分区域,称为被积函数,或 称为体积微元,第3页,第3页,在直角坐标系中计算法,假如我们用三族平面,x,=常数，,y,=常数,z =,常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体,其体积为,故在直角坐标系下面积元为,三重积分可写成,和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算.,详细可分为先单后重和先重后单,第4页,第4页,先单后重,第5页,第5页,也称为先一后二，切条法（先,z,次,y,后,x,）,注意,用完全类似办法可把三重积分化成其它顺序下三次积分,。,第6页,第6页,化三次积分环节,投影，得平面区域,穿越法定限，穿入点下限，穿出点上限,对于二重积分，我们已经简介过化为累次积分办法,例1 将,化成三次积分,其中 为长方体，,各边界面平行于坐标面,解,将 投影到,xoy,面得D，它是一个矩形,在D内任意固定一点（,x,y,)作平行于,z,轴直线,交边界曲面于两点，其竖坐标为,l,和,m,（,l,m,),第7页,第7页,例2 计算,其中 是三个坐标面与平面,x,+,y,+,z,=1 所围成区域,解,画出区域D,o,D,x,y,z,第8页,第8页,解,第9页,第9页,先重后单,除了上面简介先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分,先重后单，就是先求关于某两个变量二重积分再求关于另一个变量定积分,若,f,(,x,y,z,)在 上连续,介于两平行平面,z,=,c,1,z,=,c,2,(,c,1,c,2,)之间,用任一平行且介于此两平面平面去截 得区域,则,第10页,第10页,易见，若被积函数与,x,y,无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为以便，,尤其当,f,(,x,y,z,)与,x,y,无关时,就是截面面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算,第11页,第11页,第12页,第12页,例5 计算,解,第13页,第13页,例6,解一,先重后单,解二,先单后重,将 投影到,xoy,面得D,第14页,第14页,三、三重积分换元,换元公式,柱面坐标变换,球面坐标变换,第15页,第15页,在柱坐标系下计算法,要求：,第16页,第16页,如图，柱面坐标系中体积元,然后再把它化为三次积分来计算,积分顺序普通是先,z,次,r,后,积分限是依据 在积分区域中改变范围来拟定,第17页,第17页,例1,解,将 投到,xoy,面得D,若空间区域为以坐标轴为轴圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。,第18页,第18页,例2,第19页,第19页,在球坐标系下计算法,第20页,第20页,要求,如图，,球面坐标系中体积元素为,第21页,第21页,然后把它化成对 三次积分,详细计算时需要将 用球坐标系下不等式组表示,积分顺序通常是,解一,用球坐标,第22页,第22页,解二,用柱坐标,第23页,第23页,解,第24页,第24页,第25页,第25页,若 积分区域为球体、球壳或其一部分,被积函数呈,而用球坐标后积分区域球坐标方程比较简朴,通常采用球坐标。,第26页,第26页,重积分应用,1。平面图形面积,由二重积分性质，当,f,(,x,y,)=1 时,区域D面积,2。空间立体体积,设曲面方程为,则曲顶柱体体积为,第27页,第27页,由三重积分物理意义知空间闭区域 体积为,例1,计算由曲面,与,xoy,面所围成立体体积,解一,用二重积分,由对称性得,第28页,第28页,解二,用三重积分,例2,所围成立体体积,第29页,第29页,解,是柱形区域，用柱坐标,3。曲面面积,设曲面方程为：,如图，,第30页,第30页,曲面S面积元素,设曲面方程为：,曲面面积公式为：,第31页,第31页,设曲面方程为：,曲面面积公式为：,解,曲面方程为,第32页,第32页,第33页,第33页,4。质量,面密度为,f,(,x,y,)平面薄片质量,体密度为,f,(,x,y,z,)空间体质量,5。平面薄片重心,第34页,第34页,第35页,第35页,若薄片是均匀，,重心称为,形心,.,6。平面薄片转动惯量,第36页,第36页,第37页,第37页,薄片对于,轴转动惯量,薄片对于,轴转动惯量,7。平面薄片对质点引力,第38页,第38页,薄片对,轴上单位质点引力,为引力常数,第39页,第39页,
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