第四章平面向量阶段质量检测.doc

第四章 平面向量
　　　一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b (　　)
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，
a·b＝－30＋30＝0，则a与b垂直．
答案：A
2．若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα等于 (　　)
A．2 B.
C．－2 D．－
解析：∵a∥b，∴2cosα×1＝sinα，∴tanα＝2.
答案：A
3．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b的坐标为 (　　)
A．(3，－6) B．(－3,6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
解析：由题意设b＝λa＝λ(－1,2)．
由|b|＝3得λ2＝9.λ＝±3.
因为a与b的夹角是180°.所以λ＝－3.
答案：A
4．(文)设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋2b＝(4,5)，则cosθ等于 (　　)
A. B.
C. D.
解析：设b＝(x，y)，因为a＝(2,1)，
∴a＋2b＝(2,1)＋2(x，y)＝(2＋2x,1＋2y)＝(4,5)，
即2＋2x＝4,1＋2y＝5，解得：x＝1，y＝2，
即b＝(1,2)，
故cosθ＝＝＝＝.
答案：D
5． 已知|a|＝2|b|，且b≠0，若关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实数根，则向量a与b的夹角是 (　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：由关于x的方程有两个相等实数根可得
Δ＝|a|2＋4a·b＝0⇒a·b＝－，
cos〈a，b〉＝＝＝－，
又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
答案：D
6．(2010·深圳模拟)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则·的最大值是 (　　)
A．2　　　　　　　　　B．4
C．5 D．6

解析：建立如图所示的直角坐标系，则N(2,1)，设M(x，y)，
∴·＝(2,1)·(x，y)
＝2x＋y，
∵0≤x≤2,0≤y≤2，
∴0≤2x＋y≤6.
答案：D
7．(2010·安庆模拟)已知非零向量，和满足·＝0，且·＝，则△ABC为 (　　)
A．等边三角形 B．等腰非直角三角形
C．非等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：、、均为单位向量．
由·＝0，得||＝| |.
由·＝1×1×cosC＝，得C＝45°.
故三角形为等腰直角三角形．
答案：D
8．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是 (　　)
A．[－6,1] B．[4,8]
C．(－∞，1] D．[－1,6]
解析：∵a＝2b，∴
消去λ，得4m2－8m＋4－cos2α＝m＋2sinα，
即4m2－9m＋2＝－(sinα－1)2.
∵－1≤sinα≤1，∴－4≤－(sinα－1)2≤0，
∴－4≤4m2－9m＋2≤0，
解得≤m≤2，∴＝＝2－∈[－6,1]．
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上)

9．在直角坐标系xOy中，i、j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，＝i＋j，＝2i＋mj，则实数m＝________.
解析：本题考查了向量的运算．
由已知可得＝－＝i＋(m－1)j.
当A＝90°时，·＝(i＋j)·(2i＋mj)
＝2＋m＝0，m＝－2.
当B＝90°时，·＝－(i＋j)·[i＋(m－1)·j]
＝－(1＋m－1)＝－m＝0，m＝0.
当C＝90°时，·＝－(2i＋mj)·[－i－(m－1)j]
＝2＋m(m－1)＝m2－m＋2＝0，
此时m不存在．故m＝0或－2.
答案：0或－2
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中，
M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，
＝d，试用c，d表示，.
解：法一：设＝a，＝b，则
a＝＋＝d＋(－b)， ①
b＝＋＝c＋(－a)， ②
将②代入①得a＝d＋(－)[c＋(－a)]
⇒a＝d－c，代入②
得b＝c＋(－)(d－c)＝c－d.
故＝d－c，＝c－d.
法二：设＝a，＝b.
所以＝b，＝a，
因而⇒，
即＝(2d－c)，＝(2c－d)．

11．(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知向量m＝(1,2sinA)，n＝(sinA,1＋cosA)，且满足m∥n，b＋c＝a.
(1)求角A的大小；
(2)求sin的值．
解：(1)∵m∥n，∴1＋cosA＝2sin2A，
即2cos2A＋cosA－1＝0，解得cosA＝－1(舍去)，cosA＝.
又0＜A＜π，∴A＝.
(2)∵b＋c＝a，
∴由正弦定理可得sinB＋sinC＝sinA＝.
又C＝π－(A＋B)＝－B，∴sinB＋sin＝，
即sinB＋cosB＝，∴sin＝.
12．(本小题满分12分)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－cosx，cosx)，c＝(－1,0)．
(1)若x＝，求向量a，c的夹角；
(2)当x∈[，]时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值．
解：(1)设a，c的夹角为θ，当x＝时，
cos〈a，c〉＝＝
＝－cosx＝－cos＝cos.
∵0≤〈a，c〉≤π，∴〈a，c〉＝.
(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sinxcosx)＋1
＝2sinxcosx－(2cos2x－1)＝sin2x－cos2x
＝sin(2x－)．
∵x∈[，]，
∴2x－∈[，2π]，
∴sin(2x－)∈[－1，]，
∴当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝1.