行列式1次课.pptx

3/26/20241湖南科技大学 彭叶辉欢迎来到湖南科技大学服务上帝：超市里的服务员投诉：改善服务态度、服务水平3/26/20242湖南科技大学 彭叶辉引引言言 线性代数是高等学校理工科等线性代数是高等学校理工科等各学科的一门重要各学科的一门重要基础课程基础课程；线性代数是研究有限维空间线性理论线性代数是研究有限维空间线性理论和线性变换的和线性变换的数学分支数学分支，通过这些理论把，通过这些理论把线性代数线性代数渗透渗透到数学的许多分支中到数学的许多分支中.3/26/20243湖南科技大学 彭叶辉由于计算机的飞速发展和广泛应用，许由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过多实际问题可以通过离散化的数值计算离散化的数值计算得到定量的解决得到定量的解决.于是作为处理离散问题于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员设计的科技人员必备必备的的数学基础数学基础.线性代数在许多科学技术领域中有着线性代数在许多科学技术领域中有着广广泛的泛的应用，应用，如信息技术及计算机技术、如信息技术及计算机技术、工程数值计算等领域。工程数值计算等领域。3/26/20244湖南科技大学 彭叶辉线性代数内容包括：线性代数内容包括：n阶行列式阶行列式;矩阵矩阵;n维向量维向量;线性方程组线性方程组;特征值与特征向量特征值与特征向量;二次型二次型；线性空间与线性变换线性空间与线性变换3/26/20245湖南科技大学 彭叶辉教材：线性代数，刘金旺主编，天津大学出版社主要参考书同济大学版线性代数上海交通大学版线性代数.3/26/20246湖南科技大学 彭叶辉内容多，时间少；学习要求:课前预习课堂认真听讲（不完全按照书本讲）课后复习，独立作业课后答疑:八教楼3楼30网上答疑：E-mail：作业：每周一之前交到八教三楼3/26/20247湖南科技大学 彭叶辉第一章第一章第一章第一章 n n n n 阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式3/26/20248湖南科技大学 彭叶辉12行列式的定义行列式的定义13对换对换11全排列、逆序数全排列、逆序数14行列式的性质行列式的性质15行列式的计算行列式的计算16克莱姆法则克莱姆法则3/26/20249湖南科技大学 彭叶辉第一节第一节 全排列及逆序数全排列及逆序数先看一个例子。先看一个例子。引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？数字的三位数？解解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？十位与个位上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所三个数字中任选一个，所以有以有3种放法；种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有所以有2种放法；种放法；而个位只能放最后一个数字，所以只而个位只能放最后一个数字，所以只有有1种放法。种放法。因此，共有因此，共有321=6种放法。种放法。3/26/202410湖南科技大学 彭叶辉在数学中把在数学中把考察的对象考察的对象称为称为元素元素，例如上例中的，例如上例中的1、2、3。那么对于。那么对于n个不同的元素个不同的元素,如如1，2,n排成一排成一列，共有多少种不同的排法？列，共有多少种不同的排法？把把n个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排个元素的全排列。由此引出列。由此引出定义定义1由由1，2,n 组成的一个有序数组称为组成的一个有序数组称为一个一个n级全排列（简称级全排列（简称排列排列）。）。n个不同元素的个不同元素的所有排列的种数所有排列的种数，通常用，通常用Pn表示，表示，由引例的结果可知由引例的结果可知P3=321=6。由此我们可以得出计算由此我们可以得出计算Pn的公式：的公式：3/26/202411湖南科技大学 彭叶辉从从n个元素中任选一个放在第一个位置，有个元素中任选一个放在第一个位置，有n种取法；种取法；从剩下的从剩下的n-1个元素中任选一个放在第二个位置上，个元素中任选一个放在第二个位置上，有有n-1种取法；种取法；最后一个元素放在第最后一个元素放在第n个位置上，有个位置上，有1种取法。种取法。于是于是Pn=n(n-1)(n-2)321=n！n级排列总共有级排列总共有n!个个。排列排列12n称为称为自然排列自然排列.将自将自然排列规定为标准次序然排列规定为标准次序.其它排列不是自然顺序。于其它排列不是自然顺序。于是是3/26/202412湖南科技大学 彭叶辉定义定义2在一个排列中，如果两个数（称为在一个排列中，如果两个数（称为数对数对）的）的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个数，那么称它们构成一个逆序逆序（反序反序）。一个排列）。一个排列中逆序的总数称为这个排列的中逆序的总数称为这个排列的逆序数逆序数。一个排列一个排列j1 j2jn的逆序数，一般记为的逆序数，一般记为(j1 j2jn)也可记为也可记为t(j1j2jn)3/26/202413湖南科技大学 彭叶辉排列排列12的逆序数为的逆序数为0，排列，排列21的逆序数为的逆序数为1，排列排列231的数对的数对21、31均构成逆序，而均构成逆序，而23不够成不够成逆序，因此排列逆序，因此排列231的逆序数为的逆序数为2。定义定义3逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列，逆序，逆序数为奇数的排列称为数为奇数的排列称为奇排列奇排列。对于一个排列，通过定义可计算它的对于一个排列，通过定义可计算它的逆序数，逆序数，下下面给出另外的方法。面给出另外的方法。3/26/202414湖南科技大学 彭叶辉计算计算逆序数的方法：逆序数的方法：分别计算出排列中每个元素分别计算出排列中每个元素前面前面比它比它大大的数码个数的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，则每个元之和，即算出排列中每个元素的逆序数，则每个元素的逆序数之总和为所求排列的逆序数素的逆序数之总和为所求排列的逆序数.1)从左边的第一个元素，从左往右算出每个元从左边的第一个元素，从左往右算出每个元素的素的逆序数，简称逆序数，简称“从左向右往前看从左向右往前看”。2)从右边的第一个元素，从右往左算出每个元从右边的第一个元素，从右往左算出每个元素的素的逆序数，简称逆序数，简称“从右向左往前看从右向左往前看”。3/26/202415湖南科技大学 彭叶辉例例1 1 求排列求排列3251432514的逆序数的逆序数.解解在排列在排列3251432514中中,3 3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0 0;2 2的前面比的前面比2 2大的数只有一个大的数只有一个3,3,故逆序数为故逆序数为1 1;5 5是最大数是最大数,其逆序数为其逆序数为0;0;1 1的前面比的前面比1 1大的数有大的数有3 3个个,故逆序数为故逆序数为3;3;4 4的前面比的前面比4 4大的数有大的数有1 1个个,故逆序数为故逆序数为1;1;于是排列于是排列3251432514的逆序数为的逆序数为3/26/202416湖南科技大学 彭叶辉例例2 2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.3/26/202417湖南科技大学 彭叶辉解解当当时为偶排列；时为偶排列；当当时为奇排列时为奇排列.3/26/202418湖南科技大学 彭叶辉定义定义5把一个排列中任意两个元素把一个排列中任意两个元素对调对调，而其余，而其余的元素不动，就得到另一个排列，这样一个变换的元素不动，就得到另一个排列，这样一个变换叫做叫做对换对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换经过经过1，2对换，排列对换，排列2431就变成了就变成了1432；例如，例如，排列排列2134就变成了就变成了1234。定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性改变奇偶性3/26/202419湖南科技大学 彭叶辉证明证明先证相邻对换的情形，设排列为先证相邻对换的情形，设排列为对换对换与与显然，在排列显然，在排列（1）中，中，a,b与其它元素构成逆序，与其它元素构成逆序，则在排列则在排列（2）中仍然构成逆序，中仍然构成逆序，如不构成逆序则在如不构成逆序则在（2）中也不构成逆序；中也不构成逆序；不同的只是不同的只是 a,b 的次序。的次序。3/26/202420湖南科技大学 彭叶辉因此，对于相邻对换的情形，定理是对的。因此，对于相邻对换的情形，定理是对的。如果原来如果原来 a,b 组成逆序，那么经过对换，逆序数就组成逆序，那么经过对换，逆序数就减少一个；减少一个；如果原来如果原来 a,b 不组成逆序，那么经过换，逆序数就不组成逆序，那么经过换，逆序数就增加一个增加一个.无论是增加无论是增加 1 1还是减少还是减少 1 1，排列的逆序数的，排列的逆序数的奇偶性总是变了奇偶性总是变了.3/26/202421湖南科技大学 彭叶辉经过对换经过对换，再证一般对换的情形再证一般对换的情形设排列为设排列为排列（排列（3 3）变为）变为不难看出，这样一个对换可以经过一系列相不难看出，这样一个对换可以经过一系列相邻对换来实现。邻对换来实现。3/26/202422湖南科技大学 彭叶辉次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换 2m+1 是奇数，相邻对换改变排列的奇偶性，是奇数，相邻对换改变排列的奇偶性，故这两个排列的奇偶性相反故这两个排列的奇偶性相反.3/26/202423湖南科技大学 彭叶辉2 2排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3计算排列逆序数的两种方法计算排列逆序数的两种方法.1 1 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为小结3/26/202424湖南科技大学 彭叶辉第二节第二节第二节第二节n n 阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式二、三阶行列式二、三阶行列式三、三、n阶行列式阶行列式一、二阶行列式一、二阶行列式3/26/202425湖南科技大学 彭叶辉为了给出为了给出n 阶行列式的定义，我们先来研究阶行列式的定义，我们先来研究二阶、三阶行列式，从而发现规律。二阶、三阶行列式，从而发现规律。定义定义定义定义即即3/26/202426湖南科技大学 彭叶辉由由 (2)式可见，式可见，3/26/202427湖南科技大学 彭叶辉2 2）每一项的二个元素的行标成自然排列）每一项的二个元素的行标成自然排列1212时，列时，列标都是标都是1 1，2 2的某一排列，的某一排列，3)3)带带正号正号的一项列标排列是的一项列标排列是1212，是，是偶排列偶排列，这样的这样的排列共有排列共有2 2种，故二阶行列式共有二项种，故二阶行列式共有二项；带带负号负号的列标排列是的列标排列是2121，是，是奇排列奇排列.1 1）二阶行列式是一些项的代数和，每一项都是二）二阶行列式是一些项的代数和，每一项都是二个元素的乘积，个元素的乘积，这二个元素位于这二个元素位于不同的行不同的行，不同的列不同的列.3/26/202428湖南科技大学 彭叶辉二阶行列式的计算二阶行列式的计算对角线法则对角线法则主对角线主对角线副对角线副对角线例例例例解解3/26/202429湖南科技大学 彭叶辉定义定义定义定义叫叫三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式，它定义为，它定义为由由(4)(4)式可见，三阶行列式定义有如下特征：式可见，三阶行列式定义有如下特征：3/26/202430湖南科技大学 彭叶辉1 1）三阶行列式的每一项都是三个不同行不同列的）三阶行列式的每一项都是三个不同行不同列的元素的乘积元素的乘积.2 2）每一项的三个元素的行标成自然排列）每一项的三个元素的行标成自然排列1 1，2 2，3 3时，时，列标都是列标都是1 1，2 2，3 3的某一排列，的某一排列，3)3)带正号的三项列标排列是带正号的三项列标排列是123123，231231，312312，经计，经计算可知，它们全是偶排列，算可知，它们全是偶排列，这样的排列共有这样的排列共有6 6种，故三阶行列式共有种，故三阶行列式共有6 6项；项；带负号的三项的列标排列带负号的三项的列标排列132132，213213，321321，经计算，经计算可知，它们全是奇排列可知，它们全是奇排列.3/26/202431湖南科技大学 彭叶辉3/26/202432湖南科技大学 彭叶辉定义定义3/26/202433湖南科技大学 彭叶辉3/26/202434湖南科技大学 彭叶辉例例计算计算4阶行列式阶行列式解解：根据定义，根据定义，D是是4！24项的代数和，但每一项的代数和，但每一项的乘积项的乘积中只要有一个元素为中只要有一个元素为0，乘积，乘积就等于就等于0，所以只需展开式中不明显为，所以只需展开式中不明显为0的项。的项。行列式展开式中不为行列式展开式中不为0的项只可能是的项只可能是a11a22a33a44，而，而列标排列列标排列1234的逆序数为的逆序数为0，即此项符号为正，因，即此项符号为正，因此行列式此行列式Da11a22a33a44。3/26/202435湖南科技大学 彭叶辉例例2 2 证明证明对角行列式对角行列式（其中未写出的元素都是零）（其中未写出的元素都是零）353/26/202436湖南科技大学 彭叶辉证明证明第一式依定义是显然的第一式依定义是显然的,下面只证第二式下面只证第二式.若记非零项若记非零项则依行列式定义则依行列式定义证毕证毕3/26/202437湖南科技大学 彭叶辉例例5证明证明下三角行列式下三角行列式证证但由于许多元素为零，故不等于零的项数大大但由于许多元素为零，故不等于零的项数大大地减少了地减少了.项的一般形式是项的一般形式是3/26/202438湖南科技大学 彭叶辉3/26/202439湖南科技大学 彭叶辉这就是说，下三角行列式等于主对角线上元素这就是说，下三角行列式等于主对角线上元素的乘积的乘积.3/26/202440湖南科技大学 彭叶辉1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的.2、阶行列式共有阶行列式共有项，每项都是位于项，每项都是位于不同不同行行、不同列不同列的的个元素的乘积个元素的乘积,正负号正负号由下标排由下标排列的列的逆序数逆序数决定决定.小结3/26/202441湖南科技大学 彭叶辉作作 业业习题一（习题一（P 21P 21）：）：2 2，3 3，4 4，5(1)5(1)3/26/202442湖南科技大学 彭叶辉思考题思考题2、分别用两种方法求排列、分别用两种方法求排列16352487的逆序数的逆序数.1 1、求一个一次多项式求一个一次多项式,使使3、已知、已知,3/26/202443湖南科技大学 彭叶辉2、解、解用方法用方法1 116352487用方法用方法2 2由前向后求每个数的逆序数由前向后求每个数的逆序数.3/26/202444湖南科技大学 彭叶辉3、解、解含含的项有两项的项有两项,即即对应于对应于又又