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知识点1 字母表示数
1.字母可以表示运算律、运算法则： 
如：加法交换律表示为：（、表示任意的有理数）；
减法法则表示为：（、表示任意的有理数）.
2.字母可表示计算公式：如圆的半径是，圆的面积是，那么.
3.字母可以表示方程里的未知量：如：长方形的长比宽多12米，周长为96米，求它的长与宽.
4.字母可表示可探索的数字规律.
例1：下列叙述的事件中，字母各表示什么？
（1）扇形的面积公式为；
（2）每小时行驶100千米的汽车行驶了千米；
（3）买4支钢笔用了元.
解：（1）表示扇形圆心角的度数，表示扇形的半径；
（2）表示汽车行驶的时间；
（3）表示4支钢笔的平均单价.
例2：设某数为，用表示下列各数：
（1）某数的平方的相反数； （2）比某数的三倍大7；
（3）7加上某数的和的三倍； （4）某数与5的和除以某数；
（5）某数的倍减去2的差.
解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
例3：观察下列各式：第一式：；第二式：；第三式：；
第四式：；用含字母的式子表示第个式子.
解：第个式子是：.

练习：
1.下列用字母表示的式子都有其特定的意义，请结合已学知识和经验对它们作出说明.
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）.
解：（1）、互为相反数； （2）、异号； （3）、中至少有一个为0；
（4）、均不为0； （5）、互为倒数； （6）、互为负倒数.
2.观察下列各式：，，，……用含字母的式子表示第个式子.
解：第个式子是：.
3.电视剧飞天奖今年有部作品参赛比去年增加了40%还多2部.设去年参赛的作品有部，则是（ C ）.
A. B. C. D.
注意：书写规范的通常约定：
（1）式中出现的乘号，通常乘号写作“·”或省略不写.如通常写成或.
（2）数字与字母相乘，将数字写在字母前面（1省略不写），如不写成.
（3）数字与数字相乘，一般仍用”“号.
（4）式中出现的除法运算，一般按照分数的写法书写.如：通常写成.
（5）表示字母与分数的积时，分数是带分数要化成假分数.如：要写成，免得产生的误解.
知识点2 代数式
1.代数式的含义：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个数或一个
字母也是代数式.如：、、、、、、、等.
2.列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来叫做列代数式.
（2）列代数式的基本要领
①抓住关键性词语.如“大、小、多、少、和、差、积、商、倍、分”等
②理清运算顺序.对于一些数量关系的运算顺序，一般是先说的运算在前，后说的运算在后.
③正确使用括号.一般地，列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算，则必须使用括号.
④正确利用”的、与”划分句子层次.
⑤要慎重对待某些逆运算的关系.如设甲数为，甲乙两数的和为，用代数式表示乙数，不能表示成，而应表示为.
例1：下列各式，哪些是代数式？
（1）； （2）； （3） ； （4）； （5）0；
（6）； （7）； （8）； （9）.
解：（1）、（4）、（5）、（6）、（8）是代数式；（2）、（3）、（7）、（9）不是.
例2：根据下列语句列代数式.
（1）与的和的； （2）与的的和.
解：（1）； （2）.
例3：说出下列代数式的意义.
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
解：（1）的一半与5的差； （2）与5的差的一半； （3）除以与的和的商；
（4）除以的商与的和； （5）与差的平方； （6）的平方与的平方的差
练习：
1.用代数式表示：
（1）汽车每小时行驶60千米，小时行驶 千米；
（2）哥哥今年岁，比妹妹大岁，妹妹今年 （） 岁；
（3）行数一共有颗，平均每行树有 棵；
（4）某件商品原价元，春节期间以8折出售，则打折后售价为 元；
（5）与和的平方的倍表示为 .
2.甲、乙两地之间公路全长为100千米，某人从甲地到乙地每小时走千米，用代数式表示：
（1）某人从甲地到乙地需要走多少小时？
（2）若每小时减少2千米，需要多少小时？
（3）减速后比原来慢多少小时？
解：（1）要走小时； （2）需要小时； （3）比原来慢（）小时.
3.一项工程，甲队单独完成需用天，乙队单独完成用天，若两队全做，完成这项工程共需多少天？
解：共需天.
4.某音像社对外出租光碟的收费方法是：每张光碟在租出后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5
元，那么一张光碟在租出的第天(是大于2的自然数)应收租金多少元？
解：应收租金()元.
注意：代数式的书写规范：
（1）代数式中用到乘号，若是数字与数字相乘，“×”号不能省略，若是数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常乘号写作“·”或省略不写.如写成或.
（2）数字与字母相乘时，将数字写在字母前面（1省略不写）.如一般不写成；写成.
（3）表示字母与分数的积时，若分数是带分数要化成假分数.如一般写成.
（4）代数式中出现的相除关系、比的关系，一般按照分数的写法来写.如写作.
（5）表示几个字母相乘的积一般按26个字母顺序书写.如一般写成.
（6）当用含字母的代数式表示一个有单位的结果时，单位名称只要写在答案中（列式时不必写出）， 当结果加减关系时，要用括号把整个式子括起来，若代数式中含有“＋、﹣”运算符号，一般要将整个代数式括在括号里，再写上单位名称，并要注意单位写法的规范化.如人不能写成人.
例题：下列式子中，符合代数式书写要求的有__③、⑥、⑦____.
①； ②2； ③； ④； ⑤千克； ⑥ ； ⑦60%.
知识点3 代数式的值
1.代数式的值的含义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫代数式的值.
注意：（1）“用数值代替代数式里的字母”的含意，一般说来，一个代数式的值不是固定的数，它是随着代数式中字母取值的变化而变化.即同一个代数式在所含字母取不同值时的代数式的值是不相同的.
（2）代数式里的字母可以取不同的值吗，但所取的值必须使代数式和它所表示的实际量有意义.
（3）代数式中的字母各取一个确定的数时，代数式的值才随之确定.
（4）给出一个含字母的代数式的值，求另一个代数式的值时，要先对给出的代数式或求值的代数式先进行适当变形.
（5）同一个字母在不同的代数式中代表不同的含义，即使取值相同，也不一定能使代数式的值一样.
2.求代数式的值
求代数式值的一般步骤：
（1）代入：代数式里有多个字母时，代入值时不要混淆，而且必须规范书写：
①写明字母的取值，即“当……时” ；
②写明所要求值的代数式.这样写可完整体现代数式指明的运算顺序，也便于检查.
（2）计算：运算时，要分清运算的种类，还要注意运算的顺序.
注意：将数字代入字母过程中，有时要适当地加入运算符号或者括号，如数字间相乘要加入乘号，当幂的底数是分数、负数时，它的底数一定要加括号．
例1：根据下面的值，求代数式的值.
（1）； （2）； （3）.
解：（1）原式= 29； （2）原式= ； （3）原式= 14.
例2：当，，时，求下列各代数式的值：
（1）；（2）；（3）.
解：（1）原式= 25； （2）原式= 4； （3）原式= 4.
例3：已知与互为相反数，求代数式的值.
解：原式 = 180
练习：
1.某企业去年的产值是亿元，今年比去年增长了10％，如果明年还能按这个速度增长，请你预测一下，该企业明年的年产值将能达到多少亿元？如果去年的产值是2亿元，那么明年的产值是多少亿元？
解：（1）亿元； （2）2.42亿元.
2.已知，求代数式的值.
解：原式= 3.
3.若代数式的值是8，那么代数式的值是（ B ）
A.10 B.11 C.0 D.无法计算
4.当时，代数式的值是2001，则当时，代数式的值为（ A ）
A. 1999 B. 2000 C. 2001 D.1999
5.为了刺激消费，有关部门规定，私人购买耐用消费品，不超过其价格的50%的款项可以用抵押的方式向银行贷款，蒋老师欲购买一辆轿车.他现在的全部积蓄为元，只够购车款的60%，则应贷款多少元？若万元，则应贷多少钱？
解：应贷款元； 当时，应贷4万元.
知识点4 整式的概念
1.单项式
（1）单项式的含义：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（单独的一个数字或者字母也叫做单项式）.如：代数式、、、、，它们都是单项式.
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
注意：①关于单项式的系数，要包括前面的符号；系数是1或1时，通常省略不写.
②关于单项式的次数，当字母的指数是1时，“1”通常省略不写；对于不含字母的非0数，
如：，0.5，等，这些单项式叫做“零次单项式”.
2.多项式
（1）多项式的含义：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式.
（2）多项式的项与常数项：在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.如：多项式共有三项，分别是，，；其中常数项是2.
注意：在确定多项式的项时，要特别注意项的符号.
（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数.
注意：多项式的次数的概念要正确理解，是指最高次项的次数，而不是指多项式中所有字母指数的和，要与多项式的次数区分开.
（4）多项式的降（升）幂排列：按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序来排列.
（5）整式：单项式和多项式统称为整式.
注意：单项式中不含加或减法运算；而多项式必须含有加或减法运算，但不能有以字母为除式的除法运算.
例1：下列代数式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？
，，，，，，，，，.
解：单项式：，，，； 多项式：，，，，.
整式：，，，，，，，，.
例2：指出下列各单项式的系数和次数：，，， .
解：系数，次数2；系数，次数3；系数1，次数1； 系数，次数7.
例3：多项式是几次几项式？并按字母的降幂排列和字母的升幂排列.
解：五次五项式；按字母的降幂排列为：；
按字母的升幂排列为：.
练习：
1. 当时，多项式的值等于17，那么当时，多项式的值等于多少？
解：= 32.
2.若多项式是三次三项式，求代数式的值.
3. 解：的值为0或4.
4. 已知是七次单项式，求.

5. 已知与都是五次单项式,求、的值

巩固练习
一．填空题：
1.多项式为 二 次 三 项式，其中的一次项是 - .
2.多项式按字母升幂排列为 .
3.一个两位数，个位数字是，十位数字是，那么这个两位数用代数式可表示为 .
4.一个小数，十分位的数字是，百分位的数字是，那么这个小数用代数式可表示为 .
5.水笔每支3元，钢笔每支5元，小杰买了支水笔，小明买钢笔，已知小明和小杰买笔花的钱相同，
那么小明买了 支钢笔.
6.植树活动中，有人植树2株，占参加植树活动全部人数的32%.参加这次植树活动的人数为 .
7.一家电信公司有一种上网收费方式为：月基费20元，再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费，一用户上网分钟，需付费 （） 元.
8.现有甲种糖果8千克，每千克元，乙种糖果3千克，每千克元，如果把两种糖果混合在一起销售，每千克的售价应定为 元.
9.如图，点是线段的中点，点是线段的一个三等分点，记的长为，那么= .（用含字母的代数式表示）.
10.汽车油箱内储油45升，行驶150千米后，油箱内余油30升，按这样的耗油，行驶千米后()，油箱内剩余油 （） 升.
二．选择题
11.下列各式中，不是整式的是（ C ）
A. B. C. D.
12.在代数式，，，，（为有理数）中，值一定为正数的代数式个数为（ C ）
A.0 B.1 C.2 D.3
13.表示“的2倍与除以3的差”的式子是（ A ）
A. B. C. D.
14.如果，那么一定是（ D ）
A.正数 B.负数 C.正数或零 D.负数或零
三、解答题
15. 用语言表示下列代数式
（1） 意义：立方的3倍与平方的2倍的和.
（2） 意义：的与的的和的.
（3） 意义：的倒数与的倒数的差的平方.
（4） 意义：、两数的立方差除以的3倍与的倍的和所得的商.
16.若,,求代数式的值.
解：当时，，； 当时，，.
17.已知都是四次单项式，求的值.
解：，，所以原式=169.
18.已知.求：（1）代数式的值；（2）代数式的值.
解：（1）原式=3-5=-2；（2）原式=25-10=15
19.（1）代数式有最大值或最小值吗？这个值是多少？
（2）当代数式取得最大值或最小值时，求代数式的值.
解：(1)有最大值10；（2）15.
20.小明家使用的分时电表平时段（6：00—22：00）每度电收费0.61元，谷时段（22：00—次日6：00）每度电收费0.3元.
（1）若一个月中，平时段总用电度，谷时段总用电度，用、的代数式表示该月的总电费.
（2）小明家上月平时段用电120度，谷时段用电80度，求小明家应付多少电费.
解：（1）（）元；（2）97.2 元
家庭作业
一.判断题
1.0是代数式 . （ √ ）
2.是代数式. （ × ）
3.单项式的系数是1. （ √ ）
4.多项式是三次三项式. （ × ）
5. 是整式. （ √ ）
6.多项式是关于x的降幂排列. （ √ ）
7. 的值一定大于的值. （ × ）
8.的5倍减去y的差的平方是. （ × ）
9.代数式表示的倒数与2的和. （ √ ）
10.如果表示整数，那么可以表示任何一个奇数. （ √ ）
二.填空题
11.汽车每小时行驶50千米，那么小时行驶的路程是 千米.
12.苹果的单价是每千克9.8元，千克苹果的总价是 元.
13.用代数式表示：比的大的数是 .
14.用代数式表示：与3的和的相反数是 .
15.某件商品的售价是元，为了加快销售，降价打8折出售，现在的售价是 .
16.某小区居民响应政府“节约用水”的号召，比上一年同期节约用水一成，设去年这个时期用水立方米，那么今年用水 立方米.
17.一条弧所在圆的半径为，它所对的圆心角为，那么这条弧长为 （结果保留π）.
18.2004年雅典奥运会闭幕式上，中国表演队用了秒表演舞动北京、中华武术、少儿京剧等节目，这三个节目的表演时间之比为10：8：5，那么中华武术的表演时间为 秒（用含的整式表示）.
19.当前银行一年定期存款的年利率是3.25％，存款金额元，一年到期后的本息和是 元.
20.某班女同学的人数占全班学生的，设女同学有人，那么该班男同学的人数
三.解答题
21.求下列代数式的值
（1）当时，求代数式的值.
解：原式= -2
（2）当时，求代数式的值
解：原式=
（3）当，，时，求的值.
解：原式=
22.小明设计了一个流程图：
（1）如果输入的数是，输出的结果用的代数式表示.
（2）如果输入的数是，输出的数是多少？
解：（1） （2）
23．如图，图中的阴影部分是一张正方形纸片剪去一个扇形后剩余的部分，
（1）用表示阴影部分的周长；
（2）当时，求这个图形的周长（取3.14）.
解：（1） （2）28.56

24. 若，试求多项式的值．
解：易知：，，所以.

探索规律题
1.某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽实验；第一组取3粒，第二组取5粒，第三组取7粒，……即每组所取种子数目比该组的前一组增加2粒.按此规律，请你推测出第组应该有种子数（ ）
A. B. C. D..
2.（变式）某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽实验；第一组取7粒，第二组取10粒，第三组取13粒，……即每组所取种子数目比该组的前一组增加3粒.按此规律，请你推测出第组应该有种子数（ ）
A. B. C. D..
3.结合例和例，你能归纳总结出此类问题的解决方法吗？

4.已知一组数：则第个数为 .
5.已知一组数，……则第个数为 .
6.（变式）已知一组数，……则第个数为 .
7.已知一组数：1，，，，，…，用代数式表示第n个数为 .
8.已知一组数：-1，，-，，-，…，用代数式表示第n个数为 .
9.下列一组按规律排列的数：1， 2，4，8，16，…，第2004个数是( )
A.22004 B.22004-1 C.22003 D.以上答案均不对
10.观察下列各等式：
9-1=8
16-4=12
25-9=16
36-16=20
……
这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为 .

【借题发挥】
1.先观察下列算式，再根据规律填空：

通过观察，归纳用含有一个字母（表示正整数）的式子将各式反映的规律表示出来。

2．如图15－2所示，请说出第n个图形中笑脸的个数.

3．如图15-8所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图15-8（2），再分别连接图15-8（2）中间的小三角形三边的中点，得到图15-8（3），按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题.

（1）将下表填写完整；
图形编号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
三角形个数
1
5
9

（2）在第n个图形中有 个三角形.(用含n的式子表示)

4．如图所示，探求“△”叠加的层数与“△”的个数之间的关系.
(1)“△”叠加的层数为4时，“△”的个数是多少？（只考虑单个的“△”，由若干个“△”组成的三角形不计）
(2)“△”叠加的层数为n时，“△”的个数是多少？（只考虑单个的“△”，由若干个“△”组成的三角形不计）
(用含n的代数式表示)

5．如图15－1所示，用同样规格的黑、白两色的正方形瓷砖铺长方形地面，在第n个图形中，每一行有 块瓷砖，每一列有 块瓷砖，共有 块瓷砖，其中黑色瓷砖共 块，白色瓷砖共 块.

6．已知9×1+0=9，9×2+1=19，9×3+2=29，9×4+3=39，…，根据前面式子构成的规律，写出第6个式子是 .
7． 第个数应是 ;

8．有若干个数，第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3……第n个数记为an，若a1=-，从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数.试求a2，a3，a4的值，并推断a2003，a2004的值，写出推断过程.

9．找规律，按上面举例的方法写出第个数:
例:第个数应是;
(1)15,25,35,45,…, 第个数应是 ;
(2),…, 第个数应是 ;

10．如图15－10(1)所示，将一张长方形的纸对折，可得一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次的折痕与上次的折痕保持平行，得到3条折痕，如图15－10(2)所示，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n次，可以得到 条折痕.