整式的概念.doc

知识点1 字母表示数1.字母可以表示运算律、运算法则：如：加法交换律表示为：（、表示任意的有理数）；减法法则表示为：（、表示任意的有理数）.2.字母可表示计算公式：如圆的半径是，圆的面积是，那么.3.字母可以表示方程里的未知量：如：长方形的长比宽多12米，周长为96米，求它的长与宽.4.字母可表示可探索的数字规律.例1：下列叙述的事件中，字母各表示什么？（1）扇形的面积公式为； （2）每小时行驶100千米的汽车行驶了千米；（3）买4支钢笔用了元.解：（1）表示扇形圆心角的度数，表示扇形的半径； （2）表示汽车行驶的时间； （3）表示4支钢笔的平均单价.例2：设某数为，用表示下列各数：（1）某数的平方的相反数； （2）比某数的三倍大7；（3）7加上某数的和的三倍； （4）某数与5的和除以某数；（5）某数的倍减去2的差.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.例3：观察下列各式：第一式：；第二式：；第三式：； 第四式：；用含字母的式子表示第个式子.解：第个式子是：.练习：1.下列用字母表示的式子都有其特定的意义，请结合已学知识和经验对它们作出说明. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）、互为相反数； （2）、异号； （3）、中至少有一个为0； （4）、均不为0； （5）、互为倒数； （6）、互为负倒数.2.观察下列各式：，用含字母的式子表示第个式子.解：第个式子是：.3.电视剧飞天奖今年有部作品参赛比去年增加了40%还多2部.设去年参赛的作品有部，则是（ C ）. A. B. C. D.注意：书写规范的通常约定：（1）式中出现的乘号，通常乘号写作“”或省略不写.如通常写成或.（2）数字与字母相乘，将数字写在字母前面（1省略不写），如不写成.（3）数字与数字相乘，一般仍用”“号.（4）式中出现的除法运算，一般按照分数的写法书写.如：通常写成.（5）表示字母与分数的积时，分数是带分数要化成假分数.如：要写成，免得产生的误解. 知识点2 代数式1.代数式的含义：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.如：、等.2.列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来叫做列代数式.（2）列代数式的基本要领抓住关键性词语.如“大、小、多、少、和、差、积、商、倍、分”等理清运算顺序.对于一些数量关系的运算顺序，一般是先说的运算在前，后说的运算在后.正确使用括号.一般地，列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算，则必须使用括号.正确利用”的、与”划分句子层次.要慎重对待某些逆运算的关系.如设甲数为，甲乙两数的和为，用代数式表示乙数，不能表示成，而应表示为.例1：下列各式，哪些是代数式？（1）； （2）； （3） ； （4）； （5）0；（6）； （7）； （8）； （9）.解：（1）、（4）、（5）、（6）、（8）是代数式；（2）、（3）、（7）、（9）不是.例2：根据下列语句列代数式.（1）与的和的； （2）与的的和.解：（1）； （2）.例3：说出下列代数式的意义.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）的一半与5的差； （2）与5的差的一半； （3）除以与的和的商；（4）除以的商与的和； （5）与差的平方； （6）的平方与的平方的差练习：1.用代数式表示：（1）汽车每小时行驶60千米，小时行驶 千米；（2）哥哥今年岁，比妹妹大岁，妹妹今年 （） 岁；（3）行数一共有颗，平均每行树有 棵；（4）某件商品原价元，春节期间以8折出售，则打折后售价为 元；（5）与和的平方的倍表示为 .2.甲、乙两地之间公路全长为100千米，某人从甲地到乙地每小时走千米，用代数式表示：（1）某人从甲地到乙地需要走多少小时？ （2）若每小时减少2千米，需要多少小时？（3）减速后比原来慢多少小时？解：（1）要走小时； （2）需要小时； （3）比原来慢（）小时.3.一项工程，甲队单独完成需用天，乙队单独完成用天，若两队全做，完成这项工程共需多少天？ 解：共需天.4.某音像社对外出租光碟的收费方法是：每张光碟在租出后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5 元，那么一张光碟在租出的第天(是大于2的自然数)应收租金多少元？解：应收租金()元.注意：代数式的书写规范：（1）代数式中用到乘号，若是数字与数字相乘，“”号不能省略，若是数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常乘号写作“”或省略不写.如写成或.（2）数字与字母相乘时，将数字写在字母前面（1省略不写）.如一般不写成；写成.（3）表示字母与分数的积时，若分数是带分数要化成假分数.如一般写成.（4）代数式中出现的相除关系、比的关系，一般按照分数的写法来写.如写作.（5）表示几个字母相乘的积一般按26个字母顺序书写.如一般写成.（6）当用含字母的代数式表示一个有单位的结果时，单位名称只要写在答案中（列式时不必写出）， 当结果加减关系时，要用括号把整个式子括起来，若代数式中含有“、”运算符号，一般要将整个代数式括在括号里，再写上单位名称，并要注意单位写法的规范化.如人不能写成人.例题：下列式子中，符合代数式书写要求的有_、_.； 2； ； ； 千克； ； 60%.知识点3 代数式的值1.代数式的值的含义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫代数式的值.注意：（1）“用数值代替代数式里的字母”的含意，一般说来，一个代数式的值不是固定的数，它是随着代数式中字母取值的变化而变化.即同一个代数式在所含字母取不同值时的代数式的值是不相同的.（2）代数式里的字母可以取不同的值吗，但所取的值必须使代数式和它所表示的实际量有意义.（3）代数式中的字母各取一个确定的数时，代数式的值才随之确定.（4）给出一个含字母的代数式的值，求另一个代数式的值时，要先对给出的代数式或求值的代数式先进行适当变形.（5）同一个字母在不同的代数式中代表不同的含义，即使取值相同，也不一定能使代数式的值一样.2.求代数式的值求代数式值的一般步骤：（1）代入：代数式里有多个字母时，代入值时不要混淆，而且必须规范书写：写明字母的取值，即“当时” ；写明所要求值的代数式.这样写可完整体现代数式指明的运算顺序，也便于检查.（2）计算：运算时，要分清运算的种类，还要注意运算的顺序.注意：将数字代入字母过程中，有时要适当地加入运算符号或者括号，如数字间相乘要加入乘号，当幂的底数是分数、负数时，它的底数一定要加括号例1：根据下面的值，求代数式的值. （1）； （2）； （3）.解：（1）原式= 29； （2）原式= ； （3）原式= 14.例2：当，时，求下列各代数式的值： （1）；（2）；（3）.解：（1）原式= 25； （2）原式= 4； （3）原式= 4.例3：已知与互为相反数，求代数式的值.解：原式 = 180练习：1.某企业去年的产值是亿元，今年比去年增长了10，如果明年还能按这个速度增长，请你预测一下，该企业明年的年产值将能达到多少亿元？如果去年的产值是2亿元，那么明年的产值是多少亿元？解：（1）亿元； （2）2.42亿元.2.已知，求代数式的值.解：原式= 3.3.若代数式的值是8，那么代数式的值是（ B ）A.10 B.11 C.0 D.无法计算4.当时，代数式的值是2001，则当时，代数式的值为（ A ）A. 1999 B. 2000 C. 2001 D.19995.为了刺激消费，有关部门规定，私人购买耐用消费品，不超过其价格的50%的款项可以用抵押的方式向银行贷款，蒋老师欲购买一辆轿车.他现在的全部积蓄为元，只够购车款的60%，则应贷款多少元？若万元，则应贷多少钱？解：应贷款元； 当时，应贷4万元.知识点4 整式的概念1.单项式 （1）单项式的含义：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（单独的一个数字或者字母也叫做单项式）.如：代数式、，它们都是单项式.（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.注意：关于单项式的系数，要包括前面的符号；系数是1或1时，通常省略不写.关于单项式的次数，当字母的指数是1时，“1”通常省略不写；对于不含字母的非0数，如：，0.5，等，这些单项式叫做“零次单项式”.2.多项式 （1）多项式的含义：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式.（2）多项式的项与常数项：在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.如：多项式共有三项，分别是，；其中常数项是2.注意：在确定多项式的项时，要特别注意项的符号.（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数.注意：多项式的次数的概念要正确理解，是指最高次项的次数，而不是指多项式中所有字母指数的和，要与多项式的次数区分开.（4）多项式的降（升）幂排列：按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序来排列.（5）整式：单项式和多项式统称为整式.注意：单项式中不含加或减法运算；而多项式必须含有加或减法运算，但不能有以字母为除式的除法运算.例1：下列代数式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？，.解：单项式：，； 多项式：，.整式：，.例2：指出下列各单项式的系数和次数：， .解：系数，次数2；系数，次数3；系数1，次数1； 系数，次数7. 例3：多项式是几次几项式？并按字母的降幂排列和字母的升幂排列.解：五次五项式；按字母的降幂排列为：； 按字母的升幂排列为：.练习：1. 当时，多项式的值等于17，那么当时，多项式的值等于多少？解：= 32.2.若多项式是三次三项式，求代数式的值.3. 解：的值为0或4.4. 已知是七次单项式，求.5. 已知与都是五次单项式,求、的值巩固练习一填空题：1.多项式为 二 次 三 项式，其中的一次项是 - .2.多项式按字母升幂排列为 .3.一个两位数，个位数字是，十位数字是，那么这个两位数用代数式可表示为 .4.一个小数，十分位的数字是，百分位的数字是，那么这个小数用代数式可表示为 .5.水笔每支3元，钢笔每支5元，小杰买了支水笔，小明买钢笔，已知小明和小杰买笔花的钱相同，那么小明买了 支钢笔.6.植树活动中，有人植树2株，占参加植树活动全部人数的32%.参加这次植树活动的人数为 .7.一家电信公司有一种上网收费方式为：月基费20元，再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费，一用户上网分钟，需付费 （） 元.8.现有甲种糖果8千克，每千克元，乙种糖果3千克，每千克元，如果把两种糖果混合在一起销售，每千克的售价应定为 元.9.如图，点是线段的中点，点是线段的一个三等分点，记的长为，那么= .（用含字母的代数式表示）.10.汽车油箱内储油45升，行驶150千米后，油箱内余油30升，按这样的耗油，行驶千米后()，油箱内剩余油 （） 升.二选择题11.下列各式中，不是整式的是（ C ）A. B. C. D.12.在代数式，（为有理数）中，值一定为正数的代数式个数为（ C ）A.0 B.1 C.2 D.313.表示“的2倍与除以3的差”的式子是（ A ）A. B. C. D. 14.如果，那么一定是（ D ）A.正数 B.负数 C.正数或零 D.负数或零三、解答题15. 用语言表示下列代数式（1） 意义：立方的3倍与平方的2倍的和. （2） 意义：的与的的和的.（3） 意义：的倒数与的倒数的差的平方.（4） 意义：、两数的立方差除以的3倍与的倍的和所得的商.16.若,求代数式的值.解：当时，； 当时，.17.已知都是四次单项式，求的值.解：，所以原式=169.18.已知.求：（1）代数式的值；（2）代数式的值.解：（1）原式=3-5=-2；（2）原式=25-10=1519.（1）代数式有最大值或最小值吗？这个值是多少？ （2）当代数式取得最大值或最小值时，求代数式的值.解：(1)有最大值10；（2）15.20.小明家使用的分时电表平时段（6：0022：00）每度电收费0.61元，谷时段（22：00次日6：00）每度电收费0.3元.（1）若一个月中，平时段总用电度，谷时段总用电度，用、的代数式表示该月的总电费.（2）小明家上月平时段用电120度，谷时段用电80度，求小明家应付多少电费.解：（1）（）元；（2）97.2 元家庭作业一.判断题1.0是代数式 . （ ）2.是代数式. （ ）3.单项式的系数是1. （ ）4.多项式是三次三项式. （ ）5. 是整式. （ ）6.多项式是关于x的降幂排列. （ ）7. 的值一定大于的值. （ ）8.的5倍减去y的差的平方是. （ ）9.代数式表示的倒数与2的和. （ ）10.如果表示整数，那么可以表示任何一个奇数. （ ）二.填空题11.汽车每小时行驶50千米，那么小时行驶的路程是 千米.12.苹果的单价是每千克9.8元，千克苹果的总价是 元.13.用代数式表示：比的大的数是 .14.用代数式表示：与3的和的相反数是 .15.某件商品的售价是元，为了加快销售，降价打8折出售，现在的售价是 .16.某小区居民响应政府“节约用水”的号召，比上一年同期节约用水一成，设去年这个时期用水立方米，那么今年用水 立方米.17.一条弧所在圆的半径为，它所对的圆心角为，那么这条弧长为 （结果保留）.18.2004年雅典奥运会闭幕式上，中国表演队用了秒表演舞动北京、中华武术、少儿京剧等节目，这三个节目的表演时间之比为10：8：5，那么中华武术的表演时间为 秒（用含的整式表示）.19.当前银行一年定期存款的年利率是3.25，存款金额元，一年到期后的本息和是 元.20.某班女同学的人数占全班学生的，设女同学有人，那么该班男同学的人数 三.解答题21.求下列代数式的值（1）当时，求代数式的值.解：原式= -2（2）当时，求代数式的值解：原式= （3）当，时，求的值.解：原式= 22.小明设计了一个流程图：（1）如果输入的数是，输出的结果用的代数式表示. （2）如果输入的数是，输出的数是多少？解：（1） （2）23如图，图中的阴影部分是一张正方形纸片剪去一个扇形后剩余的部分，（1）用表示阴影部分的周长；（2）当时，求这个图形的周长（取3.14）.解：（1） （2）28.5624. 若，试求多项式的值解：易知：，所以.探索规律题1.某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽实验；第一组取3粒，第二组取5粒，第三组取7粒，即每组所取种子数目比该组的前一组增加2粒.按此规律，请你推测出第组应该有种子数（ ）A. B. C. D.2.（变式）某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽实验；第一组取7粒，第二组取10粒，第三组取13粒，即每组所取种子数目比该组的前一组增加3粒.按此规律，请你推测出第组应该有种子数（ ）A. B. C. D.3.结合例和例，你能归纳总结出此类问题的解决方法吗？4.已知一组数：则第个数为 .5.已知一组数，则第个数为 .6.（变式）已知一组数，则第个数为 .7.已知一组数：1，用代数式表示第n个数为 .8.已知一组数：-1，-，-，用代数式表示第n个数为 .9.下列一组按规律排列的数：1， 2，4，8，16，第2004个数是( )A.22004 B.22004-1 C.22003 D.以上答案均不对10.观察下列各等式：9-1=816-4=1225-9=1636-16=20这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为 .【借题发挥】1.先观察下列算式，再根据规律填空：通过观察，归纳用含有一个字母（表示正整数）的式子将各式反映的规律表示出来。2如图152所示，请说出第n个图形中笑脸的个数.3如图15-8所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图15-8（2），再分别连接图15-8（2）中间的小三角形三边的中点，得到图15-8（3），按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题.（1）将下表填写完整；图形编号（1）（2）（3）（4）（5）三角形个数159（2）在第n个图形中有 个三角形.(用含n的式子表示)4如图所示，探求“”叠加的层数与“”的个数之间的关系.(1)“”叠加的层数为4时，“”的个数是多少？（只考虑单个的“”，由若干个“”组成的三角形不计）(2)“”叠加的层数为n时，“”的个数是多少？（只考虑单个的“”，由若干个“”组成的三角形不计）(用含n的代数式表示)5如图151所示，用同样规格的黑、白两色的正方形瓷砖铺长方形地面，在第n个图形中，每一行有 块瓷砖，每一列有 块瓷砖，共有 块瓷砖，其中黑色瓷砖共 块，白色瓷砖共 块.6已知91+0=9，92+1=19，93+2=29，94+3=39，根据前面式子构成的规律，写出第6个式子是 .7 第个数应是 ;8有若干个数，第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3第n个数记为an，若a1=-，从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数.试求a2，a3，a4的值，并推断a2003，a2004的值，写出推断过程.9找规律，按上面举例的方法写出第个数: 例:第个数应是;(1)15,25,35,45, 第个数应是 ;(2), 第个数应是 ;10如图1510(1)所示，将一张长方形的纸对折，可得一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次的折痕与上次的折痕保持平行，得到3条折痕，如图1510(2)所示，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n次，可以得到 条折痕.