高中数学-解析几何培优资料-文-新人教版.doc

解析几何培优资料

1、已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将表示为m的函数，并求的最大值.
2、双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程
3、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．
（1）设P点的坐标为，证明：；
（2）求四边形ABCD的面积的最小值．

4、求F1、F2分别是横线的左、右焦点.
（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围
5、若抛物线上总存在关于直线对称的两点，求的范围
6、椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标
7、已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为
（I）判断直线与椭圆E交点的个数；
（II）直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。

8、在直角坐标系中，以O为圆心的圆与直线：相切
（1）求圆O的方程
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围
9、已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

练习：
1、设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。
（1）求C的圆心轨迹L的方程;
（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标．
2、设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）求四边形面积的最大值
3、在平面直角坐标系中，直线：与椭圆：相交于、两点，且．⑴求的取值范围；
⑵若以为直径的圆经过点，求直线的方程．
4、试确定的取值范围，使得椭圆上有不同两点关于直线对称
5、已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
6、平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；
（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎个，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

1、在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O)和一个定点F(F在圆外)．在圆上任取一点M，将纸片折叠使点M与点F重合，得到折痕CD.设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为(　　)
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
2、平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是(　　)
A．一条直线 B．一个圆
C．一个椭圆 D．双曲线的一支
3、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是(　　)

A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
4、如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是(　　)

A．a1－c1＝a2－c2 B．a1＋c1>a2＋c2
C．a1c2>a2c1 D．a1c2<a2c1
5、已知F1、F2为双曲线Cx2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2　　　　 B．4　　　　
C．6　　　　 D．8
6、过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM＝ME，则该双曲线的离心率为(　　)
A．3 B．2
C. D.
7、已知过双曲线－＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
8、若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．

9、若椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的连线的斜率为，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
10、双曲线－y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且满足：|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是(　　)
A．1 B. C．2 D．4

1、已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将表示为m的函数，并求的最大值.
解：（Ⅰ）由已知得所以
所以椭圆G的焦点坐标为离心率为
（Ⅱ）由题意知，.
当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时
当m=－1时，同理可得当时，设切线l的方程为
由
设A、B两点的坐标分别为，则

又由l与圆
所以
由于当时，所以.
因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
2、双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程
【解】：（1）设，，
由勾股定理可得：
得：，，
由倍角公式，解得则离心率．
（2）过直线方程为与双曲线方程联立
将，代入，化简有

将数值代入，有解得
最后求得双曲线方程为：
3、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．
（1）设P点的坐标为，证明：；
（2）求四边形ABCD的面积的最小值．
【解】：（1）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，
故，所以，．
（2）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．设，，则
，，
；
因为与相交于点，且的斜率为．
所以，．
四边形的面积．
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
4、求F1、F2分别是横线的左、右焦点.
（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角
（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围
【解】：（Ⅰ）易知，，．
∴，．设．则
，又，
联立，解得，．
（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立
∴，
由
，，得．①
又为锐角，
∴
又
∴

∴．② 综①②可知，∴的取值范围是
5、若抛物线上总存在关于直线对称的两点，求的范围
解法一 （对称曲线相交法）
曲线关于直线对称的曲线方程为
如果抛物线上总存在关于直线对称的两点，则两曲线
与必有不在直线上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由

∵　　
∴　
代入得　有两个不同的解，
∴　
解法二 （对称点法）
设抛物线上存在异于于直线的交点的点，且关于直线的对称点也在抛物线上
则
必有两组解
(1)-(2)得
必有两个不同解
∵，∴有解
从而有 有两个不等的实数解
即 有两个不等的实数解
∴ ∵ ，∴
解法二 （点差法）
设抛物线上以为端点的弦关于直线对称，且以为中点是抛物线（即）内的点 从而有　 由
(1)-(2)得 　∴　
由
从而有　

6、（12分）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【分析】（1）根据椭圆的方程和简单几何性质，使用待定系数法即可；（2）要证明直线系过定点，就要找到其中的参数之间的关系，把双参数化为但参数问题解决，这只要根据直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点即可，这个问题等价于椭圆的右顶点与的张角是直角。
【解析】（1）椭圆的标准方程为 （4分）
（2）设，得:
，,
（6分）
以为直径的圆过椭圆的右顶点，，
，
，，且均满足， （9分）
当时，的方程为，则直线过定点与已知矛盾
当时，的方程为，则直线过定点
直线过定点，定点坐标为 （12分）
【考点】圆锥曲线与方程。
【点评】直线系过定点时，必需是直线系中的参数为但参数，对于含有双参数的直线系，就要找到两个参数之间的关系把直线系方程化为单参数的方程，然后把当作参数的系数把这个方程进行整理，使这个方程关于参数无关的成立的条件就是一个关于的方程组，以这个方程的解为坐标的点就是直线系过的定点。
7、已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为
（I）判断直线与椭圆E交点的个数；
（II）直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒
过一定点G，求点G的坐标。

解：（1）由消去并整理得……2分
，
…………5分

故直线与椭圆只有一个交点…………7分
（2）直线的方程为
即………………9分
设关于直线的对称点的坐标为
则 解得……10分
直线的斜率为
从而直线的方程为

即
从而直线恒过定点…………14分
8、在直角坐标系中，以O为圆心的圆与直线：相切
（1）求圆O的方程
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，
求的取值范围
【解】：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得．
设，由成等比数列，得
，即 ．

由于点在圆内，故由此得．
所以的取值范围为

9、已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

解：（I）F（0，1），的方程为，代入并化简得
设则

由题意得所以点P的坐标为
经验证，点P的坐标为满足方程故点P在椭圆C上。
（II）由和题设知， PQ的垂直平分线的方程为
①
设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为
②
由①、②得的交点为。

故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，
所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，
由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 …………12分

练习：
1、设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。
（1）求C的圆心轨迹L的方程;
（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标．

（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知

化简得L的方程为

（2）解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得

解得
因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故
，若P不在直线MF上，在中有

故只在T1点取得最大值2。
2、设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）求四边形面积的最大值

【解】：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，
直线的方程分别为，． 2分
如图，设，其中，
D
F
B
y
x
A
O
E
且满足方程，
故．①
由知，得；
由在上知，得．
所以，
化简得，
解得或． 6分
（Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，
． 9分
又，所以四边形的面积为

，
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分
3、在平面直角坐标系中，直线：与椭圆：相交于、两点，且．⑴求的取值范围；
⑵若以为直径的圆经过点，求直线的方程．
⒙⑴解方程组……1分，得……2分
因为直线椭圆有两个交点，所以……4分，解得……5分，又因为，所以，，所以的取值范围是……6分．
⑵设、，由⑴得，……7分，
以为直径的圆经过点，所以……8分，……9分，由……10分，得
……12分，解得……13分，所以直线的方程是
或……14分．
4、试确定的取值范围，使得椭圆上有不同两点关于直线对称
解 设椭圆上以为端点的弦关于直线对称，且以为中点是椭圆内的点
从而有　
由
(1)-(2)得 　
∴　
由
由在直线上
从而有　
5、已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以
因为在椭圆上，
因此 ①
又因为
所以 ②
由①、②得
此时
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由题意知m，将其代入，得
，
其中
即 …………（*）
又
所以
因为点O到直线的距离为
所以

又
整理得且符合（*）式，
此时

综上所述，结论成立。
（II）解法一：
（1）当直线的斜率存在时，
由（I）知
因此
（2）当直线的斜率存在时，由（I）知

所以

所以，当且仅当时，等号成立.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二：
因为

所以
即当且仅当时等号成立。
因此 |OM|·|PQ|的最大值为
（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得
证明：假设存在，
由（I）得

因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与矛盾，
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.
6、平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；
（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎个，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分）
解：（I）设动点为M，其坐标为，
当时，由条件可得
即，
又的坐标满足
故依题意，曲线C的方程为
当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；
当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；
当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；
当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。
（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为
当时，
C2的两个焦点分别为
对于给定的，
C1上存在点使得的充要条件是
②
①

由①得由②得
当
或时，
存在点N，使S=|m|a2；
当
或时，
不存在满足条件的点N，
当时，
由，
可得
令，
则由，
从而，
于是由，
可得
综上可得：
当时，在C1上，存在点N，使得
当时，在C1上，存在点N，使得
当时，在C1上，不存在满足条件的点N。

22
用心 爱心 专心