反比例图像及性质.doc

反比例函数图象及性质
------------教学设计与思考
一、内容和内容解析
本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，进一步研究反比例函数的图象，并通过图象的研究和分析来确定反比例函数的性质。反比例函数是最基本的初等函数之一，是后续学习各类函数的基础。反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图象和性质。反比例函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系。反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想。首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体。通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法。这在学习数轴、平面直角坐标系时，学生已经接触过，结合本课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势。其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用。本节所体现的函数学习的一般规律和方法，也是继一次函数后，知识与方法上的一次拓展，理解与认识上的一次升华，也是思维上的一次飞跃。
二、教学目标和目标解析
教学目标
1知识技能：会用描点法画反比例函数的图象；理解和应用反比例函数的性质。
2、数学思考：通过观察反比例函数图象，分析、探究反比例函数的性质，培养学生的探究、归纳及概括能力。
3、情感态度与价值观：感知反比例函数的对称性。学会欣赏数学美的审美能力。
三、教学问题诊断分析
本节课，本人认为会遇到如下的问题
(1)“列表”时确定自变量x的取值缺乏代表性及忽略x≠0等现象.
(2)“连线”时，由于一次函数图象是一条直线，容易使学生产生知识上的负迁移，把双曲线画成折线. 
(3)对双曲线与x轴、y轴越来越靠近但不相交的趋势难以理解.
(4)特殊的反比例函数性质能否推广到一般情况.
(5) 在运用“类比”的方法研究反比例函数的过程中，是否关注反比例函数与一次函数之间的“差异性”
(6) 对函数的认识，完全等价于对其图形的认识.    教学时，应注意进行有针对性的引导，注意从解析式的分析入手，让学生先进行“数”（x≠0,y≠0,k≠o）、“式”（解析式中x、y的反比例关系）的分析，进而过渡到对“形”（图象）的认识。这种再强调，无疑会使学生对反比例函数图象和性质的认识更加科学精确。 
教与学互动设计
一、 复习回顾，导入新知：
问题1：你还记得正比例函数的图象与性质吗?完成下表

k>0

k<0

正比例函数y=kx(k≠0)

图象

经过的象限

增减性

图象

经过的象限

增减性

（学生讨论后，点名回答）
问题2：画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？
（学生讨论后，点名回答）
师生活动
师：我们知道，一次函数的图像是一条直线，那么我们上节课所学的反比例函数图象是不是直线呢，如果不是直线它是什么样子呢？
生：反比例函数的图象是断开的，因为x≠0。
生：反比例函数的图象是与x轴、y轴无交点。因为x≠0，y≠0。
师：反比例函数的图象到底如何呢？下面我们亲自动手操作就会发现反比例函数图象的特点。板书课题：反比例函数的图象与性质1）
(二)新知探究
活动一、画图象
例2． 画出反比例函数y= x(6)与y=x(-6)的图象。
（1） 列表  思考：描点法画函数y= x(6)与y=x(-6)的图象前，想一想，列表时如何合理取值？
师生活动：
教师启发反比例函数y= x(6)与y=x(-6)的自变量取x≠0的其它全部实数，因此，我们只能画出图象的一部分，要画出整个图象最具有代表性的一部分，才能更好的说明函数图象的特征和性质。这就要求在列表时先分析再取值，那么画反比例函数图象的一部分，应如何取点呢？（学生思考，学生代表发表看法。）
形成共识：如何取值是画好函数图象的关键，函数自变量的取值范围是正确取值的突破口。反比例函数自变量取x≠0的其它全部实数，而且当自变量取互为相反数的数时，对应的函数值也互为相反数。因此我们要在除原点以外，以原点为中心在它的左右均匀选取一些便于计算的x的值。师生活动：请一名学生代表填写表格

X

…

-3

-2

-1

1

2

3

…

y= x(6)

…

-2

-3

-6

6

3

2

…

y=x(-6)

…

2

3

6

-6

-3

-2

…
（2）描点
请同学们把表格中的点在坐标纸上画出来。
（3）连线
作图的最后一步是用平滑的曲线顺次连接各点。
注：有条件的学校，老师可通过多媒体展示图象的生成过程，在作图的准确性上起到示范作用。活动二、议一议
我们利用描点法，得到了y= x(6)与y=x(-6)的图象，那么
（1）它们有什么共同的特征？
（2）点A（4,2(3)）在函数y= x(6)的图象上，那么它关于原点O的对称点Aˊ的坐标为（   ，   ），点Aˊ在函数y= x(6)图象上吗？
（3）点B（-4，2(3)）在函数y=x(-6)的图象上，那么点C（4，- 2(3)），D（2(3)，-4），E（- 2(3)，4）是否也在它的图象上？这些点与点B有什么关系？你有什么看法？
 （4）它们图象之间有什么关系呢？
形成共识：
（1）它们都是由两条曲线组成，曲线都无限地接近x、y轴，但不会与x轴、y轴相交，也就是反比例函数的图象是双曲线。
（2）y= x(6)与y=x(-6)的图象都是轴对称图形，各有两条对称轴。它们都不会经过原点，但它们都是以原点为中心的中心对称图形。
活动三、模拟画图
请模拟例2，在同一平面直角坐标系中画出反比例函数y=与 y=的函数图像。(有条件的学校老师可以发坐标纸给学生，画好后投影展示)
1、 学生能否熟练地利用描点方法画出反比例函数图象。
2、 利用对称找出比较快捷的画图方法。
活动四、归纳新知
思考： 观察反比例函数y= x(6)与y=x(-6)以及y=与 y=的函数图像，回答
下列问题 1、你能发现它们的共同特征以及不同点吗？
2、你能把它们分成两类吗?说出你的分类标准。
3、每个函数的图象分别位于那几个象限？说出每个图象的增减性。
师生活动
学生分组针对上面3个问题结合画出的图象分类讨论，归纳总结反比例函数图象的特点和性质。教师参与到学生的讨论中去，积极引导。（1）函数y= x(k)的图象在哪些象限由什么因素来决定？
通过观察讨论得出：
①y= x(k)的图象在哪些象限，由k来决定。②当k>0时反比例函数的图象位于第一、第三象限；当k<0时，反比例函数的图象位于第二、第四象限。
（2）它们的图象在每个象限内，y随x的变化如何变化？
通过观察，小组讨论得出：
①y随x的变化情况也同k有关系。②当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
另外我们从解析式本身来理解，当k>o时，x,y的正负符号相同，以(x,y)为坐标的点位于第一或第三象限，且y随x的增大而减小；当k＜0时，x,y的正负符号相反，以(x,y)为坐标的点位于第二或第四象限，且y随x的增大而增大。
（3）为什么要强调在“每一个象限内”呢？
反比例函数的图象是“断开”的。所以，y随x的变化情况也是“断开”的，因此需在每一个象限内分别讨论。
活动五、 类比加深理解
请同学们现在来归纳反比例函数的性质并比较一下正比例函数与反比例函数在图像与性质的异同。

函数

k>0

k<0

图象

经过的象限

增减性

图象

经过的象限

增减性

正比例函数y=kx(k≠0)

反比例函数y= x(k)(k≠0)

形成共识：
不同点：1、正比例函数图象是一条经过原点的直线，连续的;反比例函数图象是两条曲线，断开的。（曲与直，间断与连续）
2、当k>0时，正比例函数y随x的增大而增大，反比例函数需强调在每个象限内y随x增大而减小；当k<0时，正比例函数y随x的增大而减小，反比例函数在每个象限内y随x增大而增大；（增减性不同）
相同点：1、当k>0时，函数图象都在第一、三象限；当k<0时，函数图象都在第二、四象限。
2、函数图象都是中心对称图形。
（三）随堂练习
1、基础训练（课本第43和44页练习）
2、补充 基础题
函数y=x(20)的图象在第_____象限,在每一象限内，y 随x 的增大而_____.函数 y=   ,当x>0时,图象在第____象限,y随x 的增大而_________.
3、变式练习
1、已知反比例函数 y=x(4-k)                              
(1) 若函数的图象位于第一、三象限，    则k______;
(2) 若在每一象限内，y随x增大而增大， 则k______.
2、反比例函数y=-（K为常数）图象位于（　　）
Ａ）第一、二象限 Ｂ）第一、三象限 Ｃ）第二、四象限 Ｄ）第三、四象限
4、综合题
1﹑已知k<0, 函数 y1=kx与 y2=x(-k)在同一坐标系中的图象大致是   (      )  

(A)               （B）            (C)             (D)
2、函数y=kx-k 与 y=x(k) 在同一条直角坐标系中的图象可能是      :
三、 师生共同小结
四、 布置作业
课本46页    习题17.1    第3、5、8题