数学竞赛专题讲座--十一、截面、射影、折叠及展开.doc

十一、截面、射影、折叠和展开

知识、方法、技能
截面、射影、折叠和展开是立体几何中的几个典型问题，体现空间问题和平面问题互相转化的数学思想方法―化归思想方法．
I．截面
1．截面
用一个平面去截几何体时，平面和几何体的交线围成的图形，叫做几何体的截面．
2．使面作法
（1）连线法； (2)平行线法； (3)相交线法．
3．截面面积的求法
(l)割补法：将截面割补成若干个三角形或特殊的多边形，然后求出这些面积的和或差；
(2)面积射影定理：，其中是截面与射影平面所成的二面角．
4．平行于锥体底面的截面
、为原锥体底面积、体积，是锥体的高，、、为截得的锥体底面积、孰高．
（1），（2）．
II．射影
1. 射影
由空间一点向平面（直线）引垂线段，把垂足点叫做这点在平面（直线）上的正射影，简称射影．空间图形中一切点在平面上射影的集合，叫做这个空间图形在这个平面上的射影．
2.面积射影定理
在二面角的一个半平面上的任意多边形的面积S与这个二面角的度数的余弦的乘积，等于这个多边形在二面角的另一半平面上射影多边形的面积，即．
III．折叠与展开
1．折叠
将一个平面图形沿着该平面内的某条直线折叠成一个空间图形，称为平面图形的折叠．
2．展开
一个几何体如果按照某种规则展开到一个平面，则称其几何体为可展几何体．
3．折叠与展开的方法
要准确画出原来的图形和折叠或展开后的图形，对照平面图形与立体图形元素的位置关系、大小、形状，确定哪些是不变量，哪些是变量．不变量是解题的基础．
赛题精讲
I.截面
例1. (1989年联赛题) 已知正三棱锥S-ABC的高，底面边长为6．过A点向它所对的侧面作垂线，垂足为，在上取点P，使．求经过点且平行于底面的截面的面积．
【解】如图，平面SAO交BC于D，则SO⊥AD，BC⊥平面ADS，所以AO′在平面ADS上．

设AO′∩SO=P′，∠SDA=α，
在△SOD中，tanα=SO/OD=，故α=60°．
又AP’=AO/sinα=4,AO’=ADsinα=9/2．
AP=8AO′/（8+1）=4=AP′
故P与P′重合，PO=APcosα=2．
设所求截面面积为S1，则
S1/S△ABC=（SP/SO）2=1/9．
．
例2.如图所示，三棱锥V—ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°.

(1)求证：V、A、B、C四点在同一球面上.
(2)过球心作一平面与底面内直线AB垂直.求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.
证明.(1)取VC的中点M，∵VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°，
∴BC⊥VB，在Rt△VBC中，M为斜边VC的中点.
∴MB＝MC＝MV，同理在Rt△VAC中，MA＝MV＝MC，
∴MV＝MC＝MA＝MB，∴V、A、B、C四点在同一圆面上，M是球心.
(2)取AC，AB，VB的中点分别为N、P、Q，连结NP、PQ、QM、MN.则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥V—ABC的截面，易证PQMN是平行四边形，又VA⊥BC，PQ∥VA，NP∥BC，∴QP⊥PN，故截面MNPQ是矩形.
例3.如图所示,在棱长为a的正方体AC1中求,

(1)过BD1所作的最小截面面积;
(2)过BD1所作截面周长最小时的截面面积.
分析.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,我们可对本题作简单分析:

证明：(1)设经过BD1的截面为BMD1N,因为正方体相对侧面平行,故BMD1N是平行四边形,这样S截=2S△BMD1显然欲使S截最小,只需S△BMD1最小,而BD1为定值,故只需M到BD1的距离最小,M可在AA1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线AA1与BD1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面间的距离(AA1与面BB1D1D间的距离)
(2)沿侧棱将侧面AD1与侧面AB1展开如图所示,D1M+MB的最小值就是侧面展开图中的D1B,设D1B与AA1交于M,由于侧面为全等的正方形，故M为AA1的中点,同理N为CC1的中点,此时MB∥ND1为所求截面.
II.射影
例4.如图1，一间民房的屋顶有三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法的屋顶面积分别为P1、P2、P3，若屋顶斜面与水平面所成的角都是,则（ ）
A． P3＞P2＞P1 B．P3＞P2＝P1 C．P3＝P2＞P1 D．P3＝P2＝P1
①
②
③

图1
分析：设这间民房的地面面积为S0，则有
，
所以 P3＝P2＝P1，故选D.
【评析】本题要从屋顶的实际情景中透过日常生活中常见的现象，抽象出斜面在水平面上的射影的本质特征，反映了数学来源于社会现实，又为社会实践服务的基本事实.
图2
例5.如图2，E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_________.
（要求：把可能的图的序号都填上）

　　分析 从俯视、正视和侧视三种方式观察平行四边形BFD1E在正方体各个面上的投影，可知图②③正确.
例6.正四面体ABCD的棱长为1，棱AB//平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是_________.
A
B
C
D

图3
分析 如图3，设正四面体ABCD在平面上的射影构成的图形面积为S，因为AB//平面，从运动的观点看，当CD//平面时，射影面积最大，此时射影图形为对角线长是1的正方形，面积最大值为；若CD或其延长线与平面相交时，则当CD⊥平面时，射影面积为最小，最小值为（证明略），所以.
A
B
G
B′
C
H
C′
A′
图4
D
M
例7．如图4，在一面南北方向的长方形墙ABHG上用AC=3m，BC=4m，AB=5m的角钢焊接成一个简易的遮阳棚（将AB放在墙上）。一般认为，从正西方向射出的太阳光线与地面成75°角时气温最高。要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，应将遮阳棚ABC面与水平面成多大角度？
分析 墙面ABHG在太阳光照射下的射影为 ，由题意可知光线与地面所成的角为750，设遮阳棚ABC面与地面所成的角为θ（00≤θ≤900），△ABC在地面上的射影为△，要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，即△的面积最大，在上取一点D，使//AC，则易证明面ABC//面，且△ABC≌△，在平面内作DM⊥，垂足为M，连C/M，
∵AB⊥CC/，∴⊥，∴C/M⊥，则平面与地面所成的二面角的大小为∠DMC/=θ,
又由已知条件可得△为直角三角形，DM=m，在△DMC/中，由正弦定理得MC/= ，
∴当=1，即θ=150时，MC/最大，∵为定值，所以此时△的面积最大．

例8. (1992年联赛题))设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=，BE=CF=，求l与m的距离．
【解】设LM为直线l与m的公垂线， L∈l , M∈m .
过m作平面 P 平行于直线 l ，过 A , B , C ，分别作平面P的垂线，AG,BH,CK, 垂足分别为G, H, K，则点G, H, K 落在与l平行的直线l '上，连GD，HE，KF.
∵AB=BC,AG||BH||CK,∴CH=HK.
又∵ AD⊥m,BE⊥m , CF⊥m ，由三垂线定理得CD⊥ m，HE⊥m，KF⊥m, 故GC|| HE||KF，且E, H分别为FD, KC 的中点．设l与m的距离为x，则 AC = BH = CK=LM=x .
∵.
又.
当点A , B , C 在点 L 的同一侧时，有2HE ＝KF+GD．
于是解此方程，得，舍去负根，求得直线 z 与 m 的距离为.
III.折叠与展开
例9.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C1C的交点为N．求
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2）PC和NC的长；
（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）．
解：①正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为
②如图1，将侧面BC1旋转使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线．
设PC＝，则P1C＝，
在
．
③连接PP1（如图2），则PP1就是NMP与平面ABC的交线，作NH于H，又CC1平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，．
所成二面角的平面角．
．
．
例10.（江苏卷）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）．将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
图1
图2
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）．

解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3．
（1）在图1中，取BE中点D，连结DF. AE：EB=CF：FA=1：2∴AF=AD=2．
而∠A=600 , ∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1, ∴EF⊥AD．
在图2中，A1E⊥EF, BE⊥EF, ∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE,
又，∴A1E⊥平面BEF,即 A1E⊥平面BEP．
（2）在图2中，A1E不垂直A1B, ∴A1E是平面A1BP的垂线，
又A1E⊥平面BEP，∴A1E⊥BE.
从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）．
设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.在△EBP中, BE=EP=2而∠EBP=600 , ∴△EBP是等边三角形.
又 A1E⊥平面BEP , ∴A1B=A1P, ∴Q为BP的中点,且,又 A1E=1,在Rt△A1EQ中，,∴∠EA1Q=60o, ∴直线A1E与平面A1BP所成的角为600．
在图3中，过F作FM⊥ A1P与M，连结QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=600,
∴△FCP是正三角形，∴PF=1.有∴PF=PQ①,
∵A1E⊥平面BEP, ∴A1E=A1Q,
∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②,
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,
∴∠QMP=∠FMP=90o,且MF=MQ,
从而∠FMQ为二面角B－A1P－F的平面角.
在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴.
∵ MQ⊥A1P∴∴在△FCQ中,FC=1,QC=2, ∠C=600,由余弦定理得．
在△FMQ中，．
∴二面角B－A1P－F的大小为．
解法二:（1）作面于,连、、,则四边形是正方形,且,以为原点,以为轴,为轴建立空间直角坐标系如图,
则

(2)设平面的法向量为则由知:;
同理由知:可取
同理,可求得平面的一个法向量为
由图可以看出,三面角的大小应等于<>
则<>,即所求二面角的大小是.
(3)设是线段上一点,则
平面的一个法向量为
要使与面成角,由图可知与的夹角为,
所以
则,解得,,则
故线段上存在点,且,时与面成角.
【解后反思】在立体几何学习中,我们要多培养空间想象能力, 对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形,利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形,坐标才会容易求得.
例11.（辽宁卷）已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.
(I) 证明平面;
(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.
A
A
C
B
D
E
F
B
C
D
E
F

【解析】(I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,
EB//FD,且EB=FD,四边形EBFD为平行四边形.BF//ED.
平面.
(II)解法1:如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.
ACD为正三角形,AC=ADCG=GD
G在CD的垂直平分线上,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即，设原正方体的边长为2a,连结AF.
在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形,
.
在RtADE中, ，.
解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.
ACD为正三角形,F为CD的中点, .
又因,所以.
.
又且.
为A在平面BCDE内的射影G.
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上.
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即，设原正方体的边长为2a,连结AF.
在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,
即AEF为直角三角形, .
在RtADE中, .
解法3: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.
ACD为正三角形,F为CD的中点, .
又因,
所以.
又，，
为A在平面BCDE内的射影G.
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即.
设原正方体的边长为2a,连结AF，在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,
即AEF为直角三角形, .
在RtADE中, ,.
【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.

8