一题多解、一题多变、多题归一（二）.doc

数学最重要的学习方法在这里，需要的家长、孩子看过来！——一题多解、一题多变、多题归一（二）

数学最重要的学习方法在这里，需要的家长、孩子看过来！——一题多解、一题多变、多题归一（二）
01
一题多解，培养思维的发散性
        一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。

 已知：点O是等边△ABC内一点, 
          OA=4，OB=5，OC=3
         求∠AOC的度数。

练习：把此题适当变式: 
变式 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°
        OA=4，OB=6，OC=2
     求∠AOC的度数。

变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°
试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.
(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?

02
一题多变，培养思维的灵活性
        一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。

例如：已知：C为AB上一点，△ACM和△CBN为等边三角形（如图所示）
求证：AN=BM

 （分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）
探索一：设CM、CN分别交AN、BM于P、Q，AN、BM交于点R。问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。
探索二：△ACM和△BCN如在AB两旁，其它条件不变，AN=BM成立吗？
探索三：△ACM和△BCN分别为以AC、BC为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM成立吗？
探索四：A、B、C三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM成立吗？
探索五：A、B、C三点不在一条直线上时，△ACM和△BCN分别变为正方形ACME和正方形BCNF，其它条件不变，AN=BM成立吗？
这样教学，不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维。

练习：（1）如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC边上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BD⊥AC于D     求证：BD=PE+PF

 变式1：△ABC 变为等边三角形

变式2：P在△ABC内     

  变式3：P在△ABC外

 （2）轴对称：已知直线l及同侧两点A、B，试在直线l上选一点C，使点C到点A、B的距离和最小。（将军饮马模型）

 变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由）
方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家；
方案2：小华由家先去姥姥家，再去河边；

 变式2：已知: AB、AC表示两条交叉的小河, P点是河水化验室, 现想从P点出发, 先到AB河取点水样, 然后再到AC河取点水样, 最后回到P处化验河水, 怎么走路程最短呢？实验员小王说:“我从P点笔直向A走, 同时取好两河水样再原路返回, 这样走, 路最近。”化验员小吴否定了小王的路线, 提出了自己的想法, 请同学们想一想, 小吴走怎样的路线？

变式3：

变式4：如图,在定直线XY外有一点P,试于XY上求两点A、B,使PA+PB为最短,而AB等于定长a.

变式5：如图，在河的两侧有A、B两个村庄，现要在河上修一座桥，规定桥必须与河岸垂直，要使A村到B村的路程最短，问桥应修在何处？(河宽为定长为m)（造桥选址模型）

 解:(1)过B作BC⊥a,且使BC = m;
(2)连接AC交b于P;
  (3)过点P作PQ⊥a,垂足为点Q,那么PQ就是桥的位置.

 （3）如图，公路MN和PQ在P点处交汇，且∠QPN=30°点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响，请说明理由，若影响，求出影响时间。（拖拉机的速度是12米/秒）

 变式1：如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方300千米处，以10千米/时的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域。
（1）问A城是否受到台风影响？为什么？
（2）若A城受到台风影响，那么A城受到台风影响的时间多长？

 变式2：据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风影响？请说明理由。（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力有几级？

03
 一题多思，培养思维的独创性
      牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。

例如：如图, 过线段AB的两个端点作射线AM、BN, 使AM∥BN, 请照图思考下列问题, 并证明你的猜想。
(1) ÐMAB, ÐABC的平分线AE、BE交于点E, 则ÐAEB是什么角, 并证之。     
(2)过E点任作一条直线交AM于D, 交BN于C, 请问线段DE, CE什么关系, 并证明。
(3)请证明: 无论DC的两个端点在AM、BN上如何移动, 只要DC过点E，AD + BC是个定值。

1、 题型有何特征，解法有何规律？
2、 题目有哪些证法，其中哪些方法最简便？
3、 题目的几种证法中，辅助线添置有何规律？
4、 在题目的解决过程中，解题的关键何在？涉及哪些基础知识？
5、 在题目的解决过程中，有哪些地方容易发生错误？应注意什么问题？

       通过一题多思，不但能开阔学生的解题思路，而且启发学生建立了课本例题，习题之间的联系，使学生在做题时做到“遇新题，忆旧题，多思考，善联想、多变换、找规律”。从而培养了学生的应变能力和创造性思维能力。
04
多题一法，培养思维的深刻性
       初中数学有很多问题，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同的，因而它们可用同一种方法去解答，让学生演作这样的题组并作比较，可使学生透表求里，自觉地从本质上看问题，从而培养思维的深刻性。
例如：（1）一个多边形除一个内角外，其余所有内角和等于2200°，则这个多边形的边数为_____。
（2）一个多边形所有内角与一个外角的和是2380°，则这个多边形的边数为___。
    以上两题表面上看不同，实际是同一道题，应注意引导学生进行对比、消化，促使学生对相通的知识归纳成体系。避免“只见树木不见森林”的现象。
练习： （1）如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,任意连接这些小正方形的顶点,可得到一些线段.

（2）勾股定理：
1、如图①，一架梯子长2.5米,顶端A靠在墙AC上,梯子下端B与墙角C相距1.5米.
(1) 这架梯子的顶端距地面多高?
(2)如果这架梯子滑动后停留在DE位置(如图②所示),测得BD长为0.5米,这时梯子顶端下落多少米?

 变式：梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C，使梯子底端C到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至D，那么BD（  ）
A、等于1米；B、大于1米；C、小于1米；D、以上结果都不对。
注：把问句略做一下变化，就综合了二次根式的比较大小的知识点。
2、小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm、40cm、50cm
的木箱中，他能放进去吗？答：_______________（填“能”、或“不能”）
3、有一个长、宽各2米，高3米且封闭的长方形纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（  ）米。
A、3；B、4；C、5；D、6。

变式1：一个圆柱的高为36，底面圆的半径为5，一只蚂蚁从上底面的点A处爬到与点A相对应的下底面点B处的最端路程是多少？Π值取3。

变式2：如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________.

 变式3：如图，沿OA将圆锥侧面剪开，展开成平面图形是扇形OAB.
(1) 扇形的弧AB的长与圆锥底面圆周的长是怎样的关系？点A和点B在圆锥的侧面上是怎样的位置关系？
(2) 若角∠AOB=90°,则圆锥底面圆半径r与扇形OAB的半径R之间有怎样的关系？
(3) 若点A在圆锥侧面上运动一圈后又回到原位，则点A运动的最短路程应该怎样设计？若,且∠AOB=90°,求点A运动的最短路程。

05
 设计猜想，培养思维的创造性
       衡量学生思维水平的最终要素是思维的创造性，即善于探索、突破、创新，能够发现和解决自己或别人所未发现或未解决的问题，要培养这种可贵的品质，学生必须占有可供发现的有价值的材料，但教材在这方面往往存在着缺欠，因为在阐述数学原理和规律时，一般都把数学家们当初的真实发现过程给抽掉了，这就需要教师弥补这个不足。为此，我们可以利用研究对象的变式，设计出现隐藏着规律的材料，去引导学生发现。

例如：昨天在10中听张老师教学矩形的判定定理1和判定定理2一节，深有感触，现时很“流行”的做法是把性质定理和判定定理的互逆关系作为重点和切入点，往往都是先复习性质定理，然后考虑其逆定理，让学生猜想其正确性，从而归纳出判定定理。但张老师从另一个角度入手，先给出:
引例1：如图，在四边形ABCD中，∠A =∠B =∠C = 90°
求证：四边形ABCD是矩形。

 引例2：如图，在平行四边形ABCD中，AC=BD
求证：平行四边形ABCD是矩形。

 通过让学生实际推证，从而得出结论，在总结归纳为判定定理，以这样的方式让学生经理了知识的发生发展过程。这种方法，是让学生对教师提供的材料，利用自己已有的知识去探索、猜想，从而有所发现。这是培养学生思维创造性的一种有效途径。