清华大学断裂力学讲义-Griffith断裂理论优秀PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章：,Griffith,理论,热力学（回顾）,Griffith,理论,能量释放率,G,G,的实验测量,柔度标定,Griffith,理论在非理想脆性材料中的修正,一些讨论,1,热 力 学,热力学第一定律：,系统又有往能量极小演化的趋势,似乎有矛盾，怎么回事？,热力学第零定律：,若两个热力学系统均与第三个系统处于热平衡状态，此两个系统也必互相处于热平衡。,对于非孤立系统，系统的总能量始终是守恒的。,热平衡的标志为系统的各个部分,温度相等,U,是状态量，,Q,、,W,mech,、,W,extra,是过程量（路径依赖）,2,热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况下的发展方向,热能区别于其他能量形式,很多能量都最终耗散转化为热能,事实上系统演化是一个熵增的过程,热力学第二定律：,不可能把热量从低温物体传递到高温物体而不产生其他影响。,Clausius,不可能从单一热源吸收能量，使之完全变为有用功而不产生其他影响。,Kelvin-Planck,引入,S,熵,3,封闭系统,：,系统与环境之间,只有能量交换,，,没有物质交换,。,对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小，当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。,能量最小原理：,达到平衡状态,能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述,。,内能,焓,Helmholtz,自由能,Gibbs,自由能,4,Legendre,变换,Adrien-Marie Legendre,Louis Legendre,200 year p,ortrait debacle,在热力学里，使用,Legendre,变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。,Legendre,变换可以用来在各种热力势（,thermodynamic potential,）之间作转换。,Legendre,变换,5,Griffith,理论,Alan Arnold Griffith(1893-1963).,He was born in London,o,n 13 June 1893.He earned his B.Eng.in mechanical engineering in 1914,M.Eng.in 1917,and D.Eng.in 1921,all from the University of Liverpool.In 1915,he entered the Royal Aircraft Factory(later known as the Royal Aircraft Establishment),and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in,1920.In 1917,together with,G.I.Taylor,he published a pioneering paper on the use of soap films in solving torsion problems,and in 1920 he published his famous paper on,the theory of brittle fracture,.He then worked on the design theory of gas turbines.Griffith was Head of the Engine Department of the Royal Aircraft Establishment in 1938 and joined,Rolls Royce,as research engineer in 1939.He worked first on conceptual design of turbojet engines and later on vertical takeoff aircraft design.He retired in 1960 but continued working as a consultant for Rolls Royce.He died on 13 October 1963.,Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society,Vol.10,(Nov.,1964),pp.117-136,www.jstor.org/stable/769315,6,Griffith,理论,椭圆孔的应力分布（弹性力学解）,Charles Inglis,1913,C,.E.,Inglis,Stress in a plate due to the presence of cracks and sharp corners,1913,.,尖锐的裂纹,7,Griffith,理论,A.A.Griffith,Phenomena of rupture and flow in solids,Philosophical Transactions of the Royal Society of London,A221,163-198(1921).,Energy balance concept,Difference in elastic energy between the cracked sheet and the uncracked sheet,Cracked sheet has the,free,surface,Plane strain,Total energy,g,Surface energy,Homework,（作业题）,Equilibrium condition,?,Crack growth will be unstable!,随后深入讨论稳定性！,8,作 业 题,1.,阅读,Griffith,的论文。根据如下两个公式回答,Inglis,的解与,Griffith,理论之间的关系，并说明哪个解更复合实际情况，为什么？同时给出在什么情况下两者是基本一致的？,Inglis,的解,Griffith,的解,9,作 业 题,2.,如下图所示，在楔形处插入高,h,的方形木块，楔形的杨氏模量为,E,，表面能为,g,，求解裂纹起裂时的临界条件，即,c,(,E,h,d,g,),，并判断裂纹扩展是否稳定，同时用图示说明？（注：考虑单位厚度的能量即可，计算能量时不需考虑力,F,的做功，仅需将悬臂段考虑成梁，计算其弯曲能即可）,10,封闭系统,：,系统与环境之间,只有能量交换,，,没有物质交换,。,对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小，当达到,平衡状态,时，总的内能达到极小值。,能量最小原理：,达到平衡状态,能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述,。,内能,焓,Helmholtz,自由能,Gibbs,自由能,熵不变,Legendre,变换,状态函数,11,Legendre,变换,Adrien-Marie Legendre,Louis Legendre,200 year p,ortrait debacle,在热力学里，使用,Legendre,变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。,Legendre,变换可以用来在各种热力势（,thermodynamic potential,）之间作转换。,Legendre,变换,12,断裂过程中的能量平衡及转化,考察一个断裂过程中的能量平衡,外界对系统做的功,系统的弹性应变能增加,系统新增表面能,断裂过程中系统产生的热,系统内部热能增加,传出系统的热量,热力学第二定律要求,由,(*),式得,B,:,试件厚度,(*),断裂的驱动力,断裂阻力,13,断裂是一个材料生成新表面的过程,!,阻力：表面能,驱动力,单位面积表面能，或表面张力,G,裂纹前进单位面积的机械能量减少,称为,能量释放率,。,Irwin G.R.Onset of fast crack propagation in high strength steel and aluminum alloys.,Sagamore Research Conference Proceeding,s,Vol.2,1956,pp.289-305.,George Rankine Irwin,14,下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外界功的交换，即,上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及判断准则。,15,一个典型例子：,Griffith,脆断理论,问题：多长的裂纹会自动扩展？,表面能,外界对系统做功,位移固定边界,单位面积表面能,如何计算弹性应变能的改变,dU,e,？,16,计算弹性应变能,U,e,（有限板情形），采用叠加原理,为什么可以用叠加原理,?,上下的叠加哪个正确,?,为什么,?,(a),(b),(c),(a),(b),(c),宏微观断裂力学,17,其实只要边界和外载处满足叠加条件即可，为什么？,若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理,?,(a),(b),(c),如何检查叠加是否正确？,线性系统（线弹性、小变形、小转动）,检查以下等式是否都满足,18,假设,(b),为应变能零状态,要求解,(a),状态能量,先转换成求,(c),状态能量，及裂纹张开所需的应变能。,对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？,若不能,为什么这里可以？,(a),(b),(c),计算弹性应变能,U,e,（有限板情形），采用叠加原理,对于无限大板（,La,），参见随后的作业题,3,19,(a),(b),(c),计算弹性应变能,U,e,（有限板情形），采用叠加原理,通过计算做功来计算能量差异,状态（,a,）和（,b,）之间的差异（让裂纹闭合所做的功）,状态（,b,）和（,c,）之间的差异,20,(a),(b),(c),计算弹性应变能,U,e,（有限板情形），采用叠加原理,上面是位移边界,作业题,4.,如果采用力边界，如何采用叠加原理计算带有中心裂纹板的能量？仿照课程讲义关于位移边界的情况，讨论有限板和无限大板的情况。,21,最一般形式,对于位移固定加载的系统,临界裂纹长度,临界应力,裂纹扩展的临界状态对应于,考虑,Griffith,裂纹（如右图）的情况,结合作业题，简单讨论尺度效应,22,最一般形式,对于位移固定加载的系统,裂纹扩展的临界状态对应于,对于位移固定加载的系统，,可以用,总能量表面能弹性应变能,作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演化。,裂纹扩展需满足,23,位移固定边界,下裂纹扩展的临界状态,裂纹扩展的驱动力裂纹扩展的阻力,随裂纹扩展释放的应变能生成新表面需要能量,A,代表面积，,G,量纲为,J/m,2,(N/m),，代表,广义能量力,A,是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半,固定力加载时，是否有对应的状态函数来确定演化方向？如何确定,G,？,能量释放率：,注意到,24,位移固定,载荷固定（力固定）,D,临界状态,25,位移固定,载荷固定（力固定）,图示能量改变,26,基于,Legendre,变换的理解,将,U,e,转换为另外一个函数以,P,为自变量,将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此,新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数,；将,旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数,。,27,能量释放率,材料对裂纹临界扩展的抗力,理想脆断,G,c,随,a,的变化称为材料的,断裂阻力曲线,Griffith,起裂准则,不起裂,临界状态,对于平衡态静止裂纹,裂纹扩展的稳定性条件,稳定裂纹,随遇裂纹,失稳扩展,更准确的应该是？,28,断裂阻力曲线,G,c,=Const,G,c,=R(a),外加载荷,s,1,s,2,s,3,当裂纹足够小时，裂纹扩展总是不稳定。对长裂纹而言，裂纹扩展初期是稳定的，但随着载荷的增大，将变得不稳定。,长,/,短裂纹的扩展稳定性？,示 例,G,c,一般情形,29,考虑更一般的情况，包含试验机和试件两个系统。下面的例子,试件子系统与外界会有功,的交换，但是若将试验机和试件视为一个总系统，首先仍研究没有功交换的情形。,与裂纹有关的试件柔度,试验机柔度,整个加载系统的总弹性能为,能量释放率,能量释放率与加载方式无关！,G,的实验测量,柔度标定,30,为什么,?,裂纹扩展的稳定性讨论,裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！,C,M,值越大，越容易实现裂纹失稳扩展,刚度无穷大，刚性加载，控制位移加载,控制载荷加载,理解,31,Griffith,理论在非理想脆性材料中的修正,Irwin,（,1948,，,1957,）和,Orowan,（,1948,）,每单位裂纹长度扩展时在断裂过程区内消耗的塑性变形功,塑性变形仅局限于裂纹尖端（即塑性区尺寸远小裂纹长度或其他特征长度尺寸）,裂纹扩展所释放的机械能大部分消耗于裂纹尖端的塑性变形功,塑性功的大小足以表征材料的断裂性能,材料常数？,Egon Orowan,32,一 些 讨 论,什么是表面能？,裂纹长度,a,是,否,单调增的？,如何,理解能量释放率,G,与加载方式无关（广义构型力,、,能量平衡）,？,Legendre,变换和状态函数的选择,？,是否,存在一个特征尺度,（,尺寸效应,）？,33,什么是表面能,(Surface energy),？,在,Griffith,理论里有一个,表面能,的概念。其解释是,生成单位面积新表面所需要的能量,。主要以下几个问题：,1,、表面能跟什么有关？,可以肯定的是跟材料性质有关，如铝、铁应该有不同的表面能。还有其他因素吗？跟材料的杨氏模量会不会有关系？,2,、怎么能得到一种材料的表面能？,如果要通过实验得到材料的表面能，能否通过断裂力学的方法得到？除了这个还有其他方法吗？,3,、如果一个材料是各向异性的，比如杨氏模量有,E,1,、,E,2,。那么如果利用,Griffith,理论，是不是应该得到具有方向性的表面能？,34,什么是表面能,(Surface energy),？,Surface energy VS.Surface tension,Surface tension,form force:,The force,F,involved in stretching a film is F=,g,L,This means,g,=F/L i.e.force/unit length;Units:N/m or mN/m,Surface energy,from work:,The work,dW,involved in increasing the surface by a length dx is,dW=dG=,g,L dx=,g,dA,This means,g,=dG/dA i.e.free energy/unit area;Units:J/m2=N/m,Surface tension and surface energy are interchangeable definitions with the same units.,35,什么是表面能,(Surface energy),？,Experimental measurement for Solid,The surface energy of a solid is usually measured at high temperatures.At such temperatures the solid,creeps,and even though the surface area changes,the volume remains approximately constant.If,g,is the surface energy density of a cylindrical rod of radius,r,and length,l,at high temperature and a constant uniaxial tension,P,then at equilibrium,thevariationof the totalGibbs free energyvanishes,so,variation of area,variation of volume,Surface energy,Only for isotropic solids,In the case of,single-crystal materials,anisotropy in the surface energy leads to,faceting,.The shape of the crystal(assuming equilibrium growth conditions)is related to the surface energy by,Wulff construction,.,36,什么是表面能,(Surface energy),？,Calculations,During the deformation of solids,surface energy can be treated as the“energy required to create one unit of surface area”,and is a function of the difference between the total energies of the system before and after the deformation,so,In the ab initio calculations,formation energy of the crystalline solid can be calculated by,E,slab,is the total energy of a symmetric slab(i.e.one with inversion symmetry,and where both sides of the slab have been relaxed),E,bulk,is the total energy of a bulk unit cell,N,slab,is the number of atoms in the slab,and,N,bulk,is the number of atoms in the bulk unit cell.,37,断裂力学中的尺度效应,载荷与裂纹几何参数组合,VS,纯粹的材料参数组合,载荷参数,VS,纯粹的材料参数组合,相似性？,存在一个材料内禀的特征尺度！,38,断裂力学中的尺度效应,Gao and Ji,内禀特征长度,缺陷不敏感性,/,容忍性,Flaw Insensitivity/Tolerance,39,Griffith,律,从,Griffth,断裂到材料的理论强度的转变,裂纹初始扩展,Buehler M.,IWNM,2004,当,hh,cr,，材料呈现为缺陷不敏感性，在缺陷附件没有明显的应力集中。材料断裂时，裂尖应力均匀，达到理论强度。断裂强度不依赖结构尺寸。,缺陷不敏感性,/,容忍性,40,Qin Z,and Buehler M.,ACS Nano,5:3034(2011).,Ackbarow T,Sen D,Christian Thaulow C,and Buehler M.,Plos One,4:e6015,(2009).,蛋白质折叠、,a,-,b,转变或滑移,a,螺旋的蛋白质网络的断裂应变对于结构缺陷不敏感。,生物材料中缺陷不敏感性,/,容忍性,41,机制：裂纹的扩展被内在的缺陷所抑制或阻止,缺陷尺寸,Bennison SJ,Padture NP,Runyan JL,and Lawn BR.,Phil.Mag.Lett.,64:191,(1991).,利用压痕引入缺陷,陶瓷中缺陷不敏感性,42,Kumar S,Haque A,and Gao H.,APL,94:253104,(2009).,试样：,长,100,m,m,，宽,3.5-5,m,m,，厚,80-125 nm,，平均晶粒尺寸,50 nm,缺陷：,U,型，半径,50 nm,大多数试样从远离缺陷的地方发生断裂。,纳晶薄膜中缺陷不敏感性,43,小 结,在一个断裂过程中，外界做的功一部分用于改变系统的应变能，一部分用于生成新表面的,表面能,，剩下的就是最终变成热。,能量释放率,，裂纹扩展单位面积时势能的减少。,能量释放率与加载方式无关,，但裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！,G,的实验测量,柔度标定,。,Griffith,理论在非理想脆性材料中的,修正,。,内能,、,总势能,、,Legendre,变换，以及如何判断一般情形下的演化过程,。,44,作 业 题,3.,如下图，一无限大板（平面应变情况）含有一中心裂纹，长为,2,a,，当承受均匀拉伸载荷,s,0,，求解板中的弹性应变能。注：,Sneddon,曾给出在任意拉伸载荷,s,(,x,),作用下的裂纹张开位移（见如下积分表达）。请利用如下公式推导板的弹性应变能。,x,y,s,0,s,0,45,作 业 题,4.,如果采用力边界，如何采用叠加原理计算带有中心裂纹板（如下图）的能量？仿照课程讲义关于位移边界的情况，讨论有限板和无限大板的情况。,x,y,46,作 业 题,5.,如图（,a,）所示，有一双悬臂梁断裂试件，杨氏模量为,E,，截面惯性矩为,I,，试验机刚度为,k,M,。,（,1,）求试件的柔度,C,；,（,2,）求裂纹扩展的能量释放率,G,;,（,3,）如果试件的,G,c,为常数，给出裂纹扩展的稳定性和失稳的条件,;,（,4,）如果试件的断裂阻力如图（,b,）所示，并且裂纹初始长度为,a,0,，讨论试验机刚度在不同区间对于裂纹扩展稳定性的影响，请绘图说明，并给出一定的数学推导；,（,5,）,*,以上推导都是针对线弹性情况的，即柔度,C,只是裂纹长度,a,的函数，若对于非线性弹性，则可以假设切线柔度与载荷有关，如果我们已知 和 ，在这里为了简化，不妨设,C,M,=0,，求,G,。,P,（,a,）,（,b,）,47,作 业 题,6.,如下图所示，有一双悬臂梁断裂试件，杨氏模量为,E,，截面厚度为,B,。,（,1,）画出裂纹张开的形状；,（,2,）求裂纹扩展的能量释放率,G,。,裂纹,48,作 业 题,7.,下图给出了四点弯曲试验的示意图，加载一断裂试件，杨氏模量为,E,，截面厚度为,B,，其它参数如图所示。求裂纹扩展的能量释放率,G,。注：,M,为给定的加载在试件上的弯矩。,49,作 业 题,8.,如下图所示，一个弹性纤维直径为,d,，杨氏模量为,E,，嵌入在三维半空间基体中，有一裂纹长度为,a,。如果用定常的力,P,拔这根纤维，求裂纹扩展的能量释放率,G,。注：假设基体的变形并不依赖裂纹长度,a,。,50,