2025年量子力学题库.doc

《量子力学》题库
一、 简答题
1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义
答：微观粒子的能量和动量分别表达为：

其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联络起来。等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。
2 简述玻恩有关波函数的记录解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？
答：波函数的记录解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。
3 根据量子力学中波函数的几率解释，阐明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其他波动过程的波函数的区别。
答：根据量子力学中波函数的几率解释，由于粒子必然要在空间某一点出现，因此粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一种常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。
4 设描写粒子状态的函数可以写成，其中和为复数，和为粒子的分别属于能量和的构成完备系的能量本征态。试阐明式子的含义，并指出在状态中测量体系的能量的也许值及其几率。
答：的含义是：当粒子处在和的线性叠加态时，粒子是既处在态，又处在态。或者说，当和是体系也许的状态时，它们的线性叠加态也是体系一种也许的状态；或者说，当体系处在态时，体系部分地处在态、中。
在状态中测量体系的能量的也许值为和，各自出现的几率为和。
5 什么是定态？定态有什么性质？
答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。
6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？
答：全同性原理是指由全同粒子构成的体系中，两全同粒子互相代换不引起物理状态的变化。
泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处在同一状态。
两者的关系是由全同性原理出发，推论出全同粒子体系的波函数有确定的互换对称性，将这一性质应用到费米子构成的全同粒子体系，必然推出费米不相容原理。
7 试简述波函数的原则条件。
答：波函数在变量变化的所有区域内应满足三个条件：有限性、持续性和单值性。
8 为何表达力学量的算符必须是厄米算符？
答：由于所有力学量的数值都是实数。而表达力学量的算符的本征值是这个力学量的也许值，因此表达力学量的算符的本征值必须是实数。厄米算符的本征值必然是实数。因此表达力学量的算符必须是厄米算符。
9 请写出微扰理论合用条件的体现式。
答：，
10 试简述微扰论的基本思想。
答：复杂的体系的哈密顿量 提成 与 两部分。 是可求出精确解的，而 可当作对 的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐层迭代，逐层迫近，就可得到靠近问题真实的近似解。
11 简述费米子的自旋值及其全同粒子体系波函数的特点，这种粒子所遵照的记录规律是什么？
答：由电子、质子、中子这些自旋为的粒子以及自旋为的奇数倍的粒子构成的全同粒子体系的波函数是反对称的，此类粒子服从费米(Fermi) －狄拉克 (Dirac) 记录，称为费米子。
12 一般状况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为何态？一般状况下，这种态所属的能级有什么特点？
答：束缚态，能级是分立的。
13 简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例阐明（规定写出本征函数系）。在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值与否可以同步确定？
答：两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是这两个算符对易。例如，，这两个算符有共同的完备本征函数系。
14 若两个力学量的算符不对易，对这两个力学量同步进行测量时，一般地它们与否可以同步具有确定值？它们的均方偏差之间有什么样的关系？
答：不也许同步具有确定值。它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。
15 请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。
答：

16 指出下列算符哪个是线性的，阐明其理由。
① ； ② ； ③
解：①是线性算符

②不是线性算符

③是线性算符

17 指出下列算符哪个是厄米算符，阐明其理由。

18 下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？
①， ② ， ③，　④，　⑤
解：①
∴ 不是的本征函数。
②
∴ 不是的本征函数，其对应的本征值为1。
③
∴ 可见，是的本征函数，其对应的本征值为－1。
④
∴ 是的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤
∴ 是的本征函数，其对应的本征值为－1。

19 问下列算符与否是厄米算符：
① ②
解：①

由于
∴ 不是厄米算符。
②

∴ 是厄米算符。
20 全同粒子体系的波函数应满足什么条件？
答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间变化。
二、 证明题
1 已知粒子在中心力场中运动，试证明（角动量在方向的分量）是守恒量。
证：由于粒子在势函数为的中心力场中运动时，哈密顿算答是

由于与、有关而与无关，且
因此，
2 试证：对于一维运动，设有两个波函数及是对应于同一级量E的解，则常数。其中，“’”是对x的微商。
证：由于，因此

凑全微分得：
积分得： 常数
3 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。
证明：设和是对应于同一能级E的不一样本征态，则常数。
在特例下，令0，即

由此得：
因此和描述同一种态。
4 试在一维状况下证明哈密顿算符是厄米算符。
证明：考虑一维状况

为厄密算符, 为厄密算符, 为实数

为厄密算符         为厄密算符
5 已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 ,取 试证明:   也是 和 共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
 证
。
    是 的对应本征值为   的本征函数

                是 的对应本征值为  的本征函数
6 .证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令

可见无关。
7 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
①
将式中的代换，得
　　②
运用，得
③
比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一种状态，因此之间只能相差一种常数。方程①、③可互相进行空间反演 而得其对方，由①经反演，可得③，
④
由③再经反演，可得①，反演环节与上完全相似，即是完全等价的。
　　　　　　　　 ⑤
④乘 ⑤，得

可见，

当时，，具有偶宇称，
当时，，具有奇宇称，
当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
8 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是

证：电子的电流密度为

在球极坐标中为

式中为单位矢量

中的和部分是实数。
∴
可见，

9 假如算符满足关系式，求证
①
　　　②
证： ①

②

10 证明：
证：由对易关系 及对易关系 ， 得

上式两边乘，得
∵
∴
11 证明和构成的正交归一系。
证：

= 1

= 0

= 0
同理可证其他的正交归一关系。

12 对于无限深势阱中运动的粒子（如图所示）证明

并证明当时上述成果与经典结论一致。
[解]写出归一化波函数：
（1）
先计算坐标平均值：

运用公式：
（2）
得 （3）

计算均方根值用以知，可计算

运用公式 （5）

（6）
在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相似，由于总几率是1，几率密度。

故当时两者相一致。
13 设是的可微函数，证明下述各式：[一维算符]
（1）
（证明）根据题给的对易式及

（2）
（证明）同前一论题

（3）
[证明]同前一题论据：

（4）
[证明]根据题给对易式外，此外应用对易式

（5）
（证明）论据同（4）：

（6）
（证明）论据同（4）：

14 设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。证明

(甲法）递推法，对第一公式左方，先将本来两项设法分裂成四项，分解出一种因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，环节如下：

按题目假设

反复运算n-1次后来，得

15 证明 是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后鉴定其性质

是厄密算符，因此本来算符也是厄密的。
另一措施是根据厄密算符的定义：

用于积分最终一式：
前式=

阐明题给的算符满足厄密算符定义。
16 定义（反对易式）证明：

其中，与，对易。
（证明）第一式等号右方

　　　　　　　　　　　＝第一式等号左方
　　　　第二式等号右方

因，与，对易，，
　　　　前式
17 证明力学量（不显含）的平均值对时间的二次微商为：
　　　　　　　　　　（是哈密顿量）
（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量 不显含，有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）
将前式对时间求导，将等号右方当作为另一力学量的平均值，则有：
　　　　　（２）
此式遍乘即得待证式。
18 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。
证明：设和是对应于同一能级E的不一样本征态，则常数。在特例下，令0，即

由此得：
因此和描述同一种态。
19 证明泡利矩阵满足关系。
【证】.    

20 试在一维状况下证明哈密顿算符是厄米算符。
证明：考虑一维状况

为厄密算符, 为厄密算符, 为实数

为厄密算符         为厄密算符
21 已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 ,取 试证明:   也是 和 共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
 证
。
    是 的对应本征值为   的本征函数

                是 的对应本征值为  的本征函数
22
22 证明：描写全同粒子体系的波函数的对称性不随时间变化
证明：设时刻波函数是对称的，用表达，
由于是对称的，因此在时刻也是对称的，
由

知，在时刻也是对称的，故在下一时刻的态函数：
也是对称的
以此类推，波函数在后来任意时刻都是对称的。
同理可证，若某一时刻波函数反对称，则后来任一时刻的波函数都是反对称的。

三、 计算题
1 由下列定态波函数计算几率流密度：

从所得成果阐明表达向外传播的球面波，表达向内(即向原点) 传播的球面波。
解：
在球坐标中

同向。表达向外传播的球面波。

可见，反向。表达向内(即向原点) 传播的球面波。
2 一粒子在一维势场

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：无关，是定态问题。其定态S—方程

在各区域的详细形式为
Ⅰ：①
Ⅱ：②
Ⅲ：③
由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须

即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为

令，得

其解为 ④
根据波函数的原则条件确定系数A，B，由持续性条件，得
⑤
　　⑥　　　　
⑤　
⑥　

∴
由归一化条件

得
由

可见E是量子化的。
对应于的归一化的定态波函数为

3 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：

令，得

由的体现式可知，时，。显然不是最大几率的位置。

可见是所求几率最大的位置。
4 一维谐振子处在基态，求：
(1)势能的平均值；
(2)动能的平均值；
(3)动量的几率分布函数。
解：(1) 

(2)

或
(3)

动量几率分布函数为

5 氢原子处在基态，求：
(1)r的平均值；
(2)势能的平均值；
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。
解：(1)

(3)电子出目前r+dr球壳内出现的几率为

令
当为几率最小位置

∴ 是最可几半径。
(4)

(5)

动量几率分布函数

6 设t=0时，粒子的状态为

求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：

可见，动量的也许值为
动能的也许值为
对应的几率应为

上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得

∴
∴ 动量的平均值为

7 设氢原子处在状态

求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的也许值，这些也许值出现的几率和这些力学量的平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值

角动量平方有确定值为

角动量Z分量的也许值为

其对应的几率分别为
，
其平均值为

8 试求算符的本征函数。
解：的本征方程为

（的本征值）
9 设波函数，求
解：

10 证明：假如算符和都是厄米的，那么
(+)也是厄米的
证：

∴ +也是厄米的。
11 求

解：

= 0

12 求
解：

= 0

13 求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。
解：

14 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
解：基矢：
能量：
对角元：

当时，

15 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
解：

16 求持续性方程的矩阵表达
解：持续性方程为

∴
而

∴

写成矩阵形式为

17 设一体系未受微扰作用时有两个能级：，目前受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。
解：由微扰公式得

得

∴ 能量的二级修正值为

18 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。
解：
由选择定则，知是禁戒的
故只需计算的几率

而
2p有三个状态，即
(1)先计算z的矩阵元

(2)计算x的矩阵元

(3)计算的矩阵元

(4)计算

19 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则
解：

由

时，
即选择定则为
20 一维无限深势阱中的粒子受到微扰

作用，试求基态能级的一级修正。
解：基态波函数（零级近似）为

∴能量一级修正为

21 求在自旋态中，和的测不准关系：

解：在表象中、、的矩阵表达分别为

∴ 在态中

讨论：由、的对易关系
[，]
规定①

在态中，
∴
可见①式符合上式的规定。
22 求的本征值和所属的本征函数。
解：的久期方程为

∴ 的本征值为。
设对应于本征值的本征函数为
由本征方程 ，得

由归一化条件 ，得

即 ∴
对应于本征值的本征函数为
设对应于本征值的本征函数为
由本征方程

由归一化条件，得

即 ∴
对应于本征值的本征函数为
同理可求得的本征值为。其对应的本征函数分别为

23 求自旋角动量方向的投影

本征值和所属的本征函数。
在这些本征态中，测量有哪些也许值？这些也许值各以多大的几率出现？的平均值是多少？
解：在 表象，的矩阵元为

其对应的久期方程为

即：

因此的本征值为。
设对应于的本征函数的矩阵表达为，则

由归一化条件，得

取 ，得

可见， 的也许值为
对应的几率为

同理可求得 对应于的本征函数为

在此态中，的也许值为
对应的几率为

24 设氢的状态是
①求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；
②求总磁矩
的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表达）。
解：①ψ可改写成

从ψ的体现式中可看出的也许值为 0
对应的几率为

的也许值为
对应的几率为

②

25 一体系由三个全同的玻色子构成，玻色子之间无互相作用。玻色子只有两个也许的单粒子态。问体系也许的状态有几种？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
解：体系也许的状态有4个。设两个单粒子态为，，则体系也许的状态为

26 设体系处在态，求
（1）的也许测值及其平均值。
（2）的也许测值及对应的几率。
（3），的也许测值。
（解）（1）按照习惯的表达法表达角量子数为，磁量子数m的，的共同本征函数，题材给的状态是一种的非本征态，在此态中去测量都只有不确定，下面假定
从
看出，当体系处在态时，的测值，处在态时，的测值为零。
在态中的平均值

（2）又从波函数看出，也可以有两种值，体系处态中时测值为

当体系处在态时的测值为

对应的几率即表达该态的展开式项系数的复平方：，
的并态中的平均值

(3)有关在态中，的也许测值可以从对称性考虑来确定，当使用直角坐标表达算符时，，，有轮换对称性，由于在态中可有二种量子数因此将轮换的成果，懂得的也许测值只能是
，，0，，
同理，的也许测值也是这此值
，，0，，
27 设粒子处在宽度为的无限深势阱中，求能量表象中粒子坐标和动量的矩阵表达。
[解]一维无限深方势阱的归一化波函数是：

这波函数是能量本征函数，任何力学量的矩阵元是：

此公式用于坐标矩阵：

此式不合用于对角矩阵元，后者另行推导。当m=n时，得对角矩阵元：
⑵
动量矩阵元（非对角的）

⑶
⑷
28 粒子在二维无限深势阱中运动，已知写出第一激发态的能级；问第一激发态的能级与否简度，若是简并，是几重简并？

如下的线不知怎样去掉？

解：（1）二维无限深势阱中运动的粒子，其能级为
，
因此其基态能级为，而第一激发态能级为，

（2）粒子的波函数为

因此，第一激发态是二重简并的。
29 求一维谐振子的坐标及Hamilton量在能量表象中的矩阵表达。提醒：可运用公式：

及

解：线性谐振子的能级为      
对应的能量本征函数 ，  
  运用公式

(1)  

（2）

30 质量为的粒子在一维势场中运动。设状态由波函数

描述。求（1）粒子能量的也许值及对应的几率；（2）粒子的平均能量；（3）写出状态在能量表象中的波函数。
（1）

而一维无限深势场中的能量本征函数为，对应的本征值为
因此本题中，粒子的能量的也许值是，，出现的几率均为1/2。
（2）（也可由求出）
（3）由（1）得，

因此，在能量表象中，

31 设在 （无微扰时的哈密顿算符）表象中， 的矩阵表达为

其中 ,  试用微扰论求能级二级修正。
解：在 表象中，

32 求在状态
中算符的本征值。
解：

因此，算符的本征值为
33 已知厄密算符和是二行二列矩阵，且    ，   （1） 求算符 的本征值，（2）在A 表象下求算符 的矩阵表达。
解：（1）      设 的本征值为 ,本征函数为 ,
             则          
             又             
                           同理算符 的本征值也为 .
（2）  在A表象，算符 的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即
                   设
运用   

          B为厄密算符
即              

又              

     取：       

34 （1）粒子在二维无限深方势阱，请写出能级和能量本征函数；（2）加上微扰，求最低能级的一级微扰修正。
解：  （1）无微扰时，

（2）最低能级为基态能级。基态非简并，因此

35 试在为对角的表象中，（1）求的本征值和所属的本征函数；（2）在的本征值为的本征态中，求的平均值；（3）在的本征值为的本征态中，测的也许值及对应的几率。
解：（1）设的本征态及所属的本征值为和，则

由此可得：，
由 得：
当 时，，
当 时，，
（2） 的本征值为的本征态为
因此，
（3）将的本征值的本征态展开为：

两边相等，得

因此，当时几率
当时几率
36 (1)证明  是的一种本征函数并求出对应的本征值；(2)求x在 态中的平均值。
解：         

即              
是 的本征函数。本征值

37 一维谐振子在 时的归一化波函数为

所描写的态中式中， 是谐振子的能量本征函数，求（1） 的数值；（2）在 态中能量的也许值，对应的概率及平均值；（3） 时系统的波函数 。
[解](1)  ,   归一化， ，
，
（2） ，
， ；                   ， ；
， ；   

（3） 时，
   因此：
38 已知体系的能量算符为 , 其中 , 为轨道的角动量算符。视 项为微扰项，求能级至二级近似值。