课堂授课专题3特殊函数的可视化公开课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学物理建模与计算机辅助设计,专题,3,：特殊函数可视化,第1页,Page,2,本专题重要内容与参照资料,重要内容,MATLAB包括特殊函数,函数(Gamma函数),勒让德(Legendre)函数,球函数,贝塞尔函数,参照资料,杨华军,数学物理措施,电子工业出版社,彭芳麟,数学物理方程MATLAB解法与可视化,清华大学出版社,第2页,Page,3,MATLAB,包括特殊函数,查看措施-MATLAB中特殊函数调用,在命令窗口输入 help matlabspecfun,airy-Airy functions.爱里函数,besselj -1st kind Bessel function.第一类贝塞尔函数,bessely -2nd kind Bessel function.第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）,besselh -3rd kind Bessel functions.第三类贝塞尔函数（汉开尔函数）,besseli -1st kind modified Bessel function.第一类虚宗量贝塞尔函数,besselk -2nd kind Modified Bessel function.第二类虚宗量贝塞尔函数,beta-Beta function.Beta函数,betainc -In plete beta function.不完全Beta函数,betaln -Logarithm of beta function.Beta函数对数,ellipj-Jacobi elliptic functions.雅可比椭圆函数,ellipke -Complete elliptic integral.完全椭圆积分,第3页,Page,4,MATLAB,包括特殊函数,erf -Error function.误差函数,erfc -Complementary error function.余误差函数,erfcx -Scaled plementary error function.标度余误差函数,erfinv -Inverse error function.逆误差函数,expint -Exponential integral function.指数积分函数,gamma -Gamma function.函数,gammainc -In plete gamma function.不完全函数,gammaln -Logarithm of gamma function.函数对数,psi -Psi(polygamma)function.双(多值)函数,legendre -Associated Legendre function.连带勒让德函数,第4页,Page,5,函数,(,Gamma,函数,),函数,定义,函数,性质：,（3）(z)在整个复平面上除去z=0,z=-1,z=-2,之外到处解析。,（,1,）,（,2,）,（,4,）,(z),在全平面内无零点，即 。,第5页,Page,6,函数,(,Gamma,函数,),函数,图形绘制,x=-3:0.01:3;,y=,gamma,(x);,plot(x,y,linewidth,4);,grid on,axis(-3 3-5 5),(x),奇点,分布：,z=0,z=-1,x=-2,第6页,Page,7,函数,(,Gamma,函数,),怎样绘制复变量,(z),函数图形,?,z=5*cplxgrid(30);,f=mfun(gamma,z);,cplxmap(z,f);,view(60,30),axis(-5 5-5 5-10 10),%,mfun,是数学软件,MAPLE,中函数，,是对经典特殊函数求值,第7页,勒让德,(Legendre),函数,问题来由：,球域内,Laplace,方程边值问题：,第8页,分解为两个,常微分方程,:,(1),(2),球函数方程,方程（2）深入分离变量将得到有关本征值方程（3）和有关连带勒让德方程（4）：,变 量 分 离,R(r),：,第9页,满足泛定方程、周期边界条件和球内约束条件变量分离解,:,：,：,第10页,(cos,-1,x,)=,y,(,x,),：即：,x,=cos,l,阶连带勒让德方程,连带勒让德多项式,勒让德,(Legendre),函数,第11页,Page,12,勒让德,(Legendre),函数,勒让德,(Legendre),函数：,连带勒让德,(Legendre),函数：,第12页,Page,13,勒让德,(Legendre),函数,求勒让德(Legendre)函数Matlab函数,legendre(N,x),求所有N阶连带勒让德函数值,legendre(2,0.0:0.1:0.2),ans=-0.5000 -0.4850 -0.4400,0 -0.2985 -0.5879,3.0000 2.9700 2.8800,第13页,Page,14,勒让德,(Legendre),函数,绘制前,6,个勒让德,(Legendre),函数图形,%P20_1.m,x=0:0.01:1;,y1=legendre(1,x);,y2=legendre(2,x);,y3=legendre(3,x);,y4=legendre(4,x);,y5=legendre(5,x);,y6=legendre(6,x);,plot(x,y,1,(,1,:),x,y,2,(,1,:),x,y,3,(,1,:),x,y,4,(,1,:),x,y,5,(,1,:),x,y,6,(,1,:);,legend(P_10,P_20,P_30,P_40,P_50,P_60);,title(,勒让德多项式,),(m=0,l,=1,2,6),第14页,Page,15,勒让德,(Legendre),函数,前,6,个勒让德,(Legendre),函数图形,第15页,Page,16,勒让德,(Legendre),函数,绘制以俯仰角,为变量勒让德函数,%P22_1.m,t=0:0.1:2*pi;,rho1=legendre(,1,cos(t);rho2=legendre(,2,cos(t);rho3=legendre(,3,cos(t);,subplot(3,4,1);polar(t,rho,1,(,1,:);subplot(3,4,2);polar(t,rho,1,(,2,:);,subplot(3,4,5);polar(t,rho,2,(,1,:);subplot(3,4,6);,polar(t,rho,2,(,2,:);subplot(3,4,7);polar(t,rho,2,(,3,:);,subplot(3,4,9);polar(t,rho,3,(,1,:);subplot(3,4,10);polar(t,rho,3(2,:);,subplot(3,4,11);polar(t,rho,3,(,3,:);subplot(3,4,12);polar(t,rho,3,(,4,:);,第16页,Page,17,勒让德,(Legendre),函数,以俯仰角,为变量勒让德函数图形,第17页,Page,18,球函数,问题来由：求解球谐方程：,球函数：,归一化系数：,第18页,球函数,归一化球函数：,前四个球函数：,Page,19,第19页,Page,20,球函数,球函数表达式和特点,复数形式球函数表达式：,球函数特点：,球函数是在球面上二元函数,球函数图形是空间图形，必须指定球半径,依据欧拉公式：,线性独立,l,阶球函数共有,2,l,+1,个，,m=0,，,P,l,(cos,),；,m=1,2,l,各有两个球函数 和,第20页,Page,21,球函数,球函数图形,绘制措施：对复数形式球函数，必须对其实部和虚部分别作图,x,y,z,第21页,Page,22,球函数,%P81_1.m,l=3;m=2;R=4;A=3;delta=pi/40;theta0=0:delta:pi;phi=0:2*delta:2*pi;,phi,theta=meshgrid(phi,theta0),;,%,构建,数据网路,Ymn=legendre(l,cos(theta0),;,%,计算了勒让德多项式值,Ymn=Ymn(m+1,:);,L=size(theta,1);yy=repmat(Ymn,1,L);,Reyy,=yy.*cos(m*phi);%,实球谐函数,Imyy,=yy.*sin(m*phi);%,虚球谐函数,ReM=max(max(abs(Reyy);Rerho=R+A*Reyy/ReM;,Rer=Rerho.*sin(theta);Rex=Rer.*cos(phi);Rey=Rer.*sin(phi);Rez=Rerho.*cos(theta);,%,球坐标系,subplot(1,2,1);,surf(Rex,Rey,Rez),;%,绘制实球谐函数三维图像,light;lighting phong;,axis(square);axis(-5 5-5 5-5 5);axis(off);view(40,30),title(,实球谐函数,);,第22页,Page,23,球函数,ImM=max(max(abs(Imyy);,Imrho=R+A*Imyy/(ImM+eps*(ImM=0);,Imr=Imrho.*sin(theta);Imx=Imr.*cos(phi);Imy=Imr.*sin(phi);Imz=Imrho.*cos(theta);,subplot(1,2,2);surf(Imx,Imy,Imz);light;lighting phong;,axis(square);axis(-5 5-5 5-5 5);axis(off);view(40,30),title(,虚球谐函数,);,第23页,球函数,Page,24,实球谐函数和虚球谐函数仿真图形,第24页,Page,25,球函数,第25页,球函数,Page,26,可以绘制一种球面，球面上颜色来表达对应方向上数值,第26页,Page,27,贝塞尔方程解,-,贝塞尔函数,经典实例：求解固定边界圆膜,二维,振动,:,v,阶贝塞尔方程,二维极坐标系下分离变量,变量代换,第27页,贝塞尔方程解,-,贝塞尔函数,v阶贝塞尔方程通解一般有如下3种形式：,Page,28,J,v,(,x,),、,N,v,(,x,),、,H,v,(,x,),分别为,为,v,阶,第一类、第二类、第三类、贝塞尔,(,柱,),函数。,第28页,Page,29,贝塞尔方程解,-,贝塞尔函数,J,v,(,x,),为,v,阶,第一类贝塞尔,(,柱,),函数,（简称,贝塞尔函数,）,N,v,(,x,),为,v,阶,第二类,贝塞尔,(,柱,),函数,（,又称,诺依曼函数,）,（,1,）当,(,整数,),时，贝塞尔方程通解为：,（,A,和,B,为任意常数）,*当,v=n,(,整数,),时,J,-n,(,x,)=(-1),n,J,n,(,x,),J,-n,(,x,),与,J,n,(,x,),线性相关。所以必有 。,（,2,）当 取任意值时，贝塞尔方程通解为：,*当 v与否为整数，上式都成立。,第29页,Page,30,贝塞尔方程解,-,贝塞尔函数,（,3,）当 取任意值时，由第一类和第二类还能够组成线性,独立,第三类贝塞尔,(,柱,),函数,H,v,(,x,),，,(,又称,汉克尔函数,),和 分别称为,第一个,和,第二种,汉克尔函数。,于是贝塞尔方程通解又可以表达为：,第30页,Page,31,贝塞尔函数,贝塞尔函数表达式,第一类贝塞尔函数：,第二类贝塞尔函数：,虚宗量贝塞尔方程,将贝塞尔方程宗量x变换为虚数ix，于是得到虚宗量贝塞方程：,第31页,Page,32,贝塞尔函数,特殊贝塞尔函数：,虚宗量贝塞尔函数,I,v,(,x,),为,v,阶,第一类虚宗量贝塞尔函数,（,第一类修正贝塞尔函数,）,（,1,）当,(,整数,),时，,虚宗量贝塞方程,通解为：,（,C,和,D,为任意常数）,（,2,）当 取任意值时，定义：,K,v,(,x,),为,v,阶,第二类虚宗量贝塞尔函数,（或,麦克唐纳函数,，或,第二类修正贝塞尔函数,）,第32页,Page,33,贝塞尔函数,当,v,取任意值时，,虚宗量贝塞方程,通解为：,贝塞尔函数计算和图形绘制,j=Besselj(nu,z),nu,为阶，,z,为贝塞尔函数常点,（或复数变量）,Besselj,第一类贝塞尔函数，简称贝塞尔函数,Bessely,第二类贝塞尔函数，又称诺依曼函数,Besselh,第三类贝塞尔函数，又称汉克尔函数,Besseli,第一类虚宗量贝塞尔函数，又称虚宗量贝塞尔函数,Besselk,第二类虚宗量贝塞尔函数，又称虚宗量汉克尔函数,第33页,Page,34,贝塞尔函数图形,绘制贝塞尔函数图形,y=besselj(,0:3,(0:0.2:10);,figure(1),plot(0:0.2:10),y),legend(J_0,J_1,J_2,J_3),第34页,Page,35,贝塞尔函数,寻找贝塞尔函数零点,%措施I(插值法),x=0:0.05:50;,y=besselj(0,x);,LD=;,for k=1:length(y)-1,if y(k)*y(k+1)0),j=j+1;,end,q=fzero(y,j);,%查找一元持续函数零点,j=j+1;,LD=LD,q;,k=k+1;,end,第35页,Page,36,贝塞尔函数,贝塞尔函数及其零点,LD=2.4049 5.5201 8.6537 11.7915 14.9309 18.0711 21.2116 24.3525 27.4935 30.6346 33.7758 36.9171 40.0584 43.1998 46.3412 49.4826,第36页,Page,37,贝塞尔函数,绘制诺依曼函数图形,y=,bessely,(0:1,(0:0.02:10);,plot(0:0.02:10),y),legend(N_0,N_1),axis(0 10-3.5 1),grid on,第37页,Page,38,贝塞尔函数,绘制虚宗量贝塞尔函数图形,I=,besseli,(0:1,(0.1:0.3:3);,plot(0.1:0.3:3),I),legend(I_0,I_1),axis(0 3 0 5),第38页,Page,39,贝塞尔函数,绘制虚宗量汉克尔函数图形,K=,besselk,(0:1,(0.1:0.1:3);,plot(0.1:0.1:3),K),legend(K_0,K_1),axis(0 3 0 10),第39页,问题由来：与时间有关三维方程变量分离,分解为两个,常微分方程：,亥姆霍兹方程,球贝塞尔方程及其解,第40页,2.,三维,热传导,(,输运,),方程,分离变量：,分解为两个,常微分方程,亥姆霍兹方程,:,球贝塞尔方程及其解,第41页,亥姆霍兹方程在球坐标系中变量分离,分离变量形式解：,球贝塞尔方程及其解,第42页,分解为两个,常微分方程,:,(10.4.23),(10.4.24),球函数方程,球贝塞尔方程及其解,l,阶,球贝塞尔,方程,第43页,阶,贝塞尔方程,。球贝塞尔方程解称为球,贝塞尔函数,。,球贝塞尔方程及其解,第44页,Page,45,球贝塞尔函数,第一类球贝塞尔函数,：,第二类球贝塞尔函数,（,球诺依曼函数,）：,第二类球贝塞尔函数,（,球汉克尔函数,）：,球贝塞尔方程,通解,为：,球贝塞尔方程,通解,为：,第45页,Page,46,球贝塞尔函数,绘制球贝塞尔函数图形,x=eps:0.2:15;,y1=sqrt(pi/2./x).*,besselj,(1/2,x);,y2=sqrt(pi/2./x).*,besselj,(3/2,x);,y3=sqrt(pi/2./x).*,besselj,(5/2,x);,y4=sqrt(pi/2./x).*,besselj,(7/2,x);,plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4),legend(j_0,j_1,j_3,j_4),第46页,Page,47,球贝塞尔函数,绘制球贝塞尔函数图形,x=0.8:0.2:15;,y1=sqrt(pi/2./x).*bessely(1/2,x);,y2=sqrt(pi/2./x).*bessely(3/2,x);,y3=sqrt(pi/2./x).*bessely(5/2,x);,y4=sqrt(pi/2./x).*bessely(7/2,x);,plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4),axis(1 10-0.5 0.4),legend(N_0,N_1,N_3,N_4),grid on,第47页,Page,48,本专题小结,MATLAB,包括特殊函数,函数,(Gamma,函数,),勒让德,(Legendre),函数,球函数,贝塞尔函数,虚宗量贝塞尔函数,球贝塞尔函数,第48页,