神奇的直角.doc

神奇的直角
江苏省兴化市戴泽初级中学 王华明 225721 邮箱：xhdzwhm@ 手机：[phone]
A
C
B
D
在证明三角形相似或全等的题目中，我们发现有了直角这个条件，就可以利用“同角的余角相等”证明角相等，从而能轻易地解决问题。来看看下面几种不同的类型：
例1、 已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，
AC=4，CD⊥AB，垂足为D,求BD的长。
解：∵∠ACB=90°∴AB= =5
∵CD⊥AB ∴∠BDC=90°
∵∠ACB=90°∴∠BDC=∠ACB
又∵∠B=∠B ∴△BDC∽△BCA
∴ = ∴5BD=BC²=9 ∴BD=

实际上，同理也可证得△ADC∽△ACB △ADC∽△CDB 从而可以发现直角三角形被斜边上的高分得的两个直角三角形和原来的直角三角形两两相似，这可以作为证明相似的一个基本图形。
N
M
C
E
B
F
O
A
D
例2、 如图，O为矩形ABCD的中心，M为边BC上一点，
N为DC边上一点，ON⊥OM。若AB=6，AD=4，设OM=x，
ON=y,求y与x的函数关系。
解：过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F
∵O为矩形ABCD的中心 ∴OE= AB=3 OF= AD=2
∵ON⊥OM OE⊥BC OF⊥CD
∴∠MON=90°∠MEO=∠CEO =90°∠NFO=90°
又∵∠C=90°∴∠EOF=90°
∴∠EON+∠NOF=∠MOE+∠EON=90°
∴∠NOF=∠MOE又 ∵∠NFO=∠MEO
∴△OFN∽△OEM ∴ =
A
F
E
C
D
B
M
∴ = ∴y= x
例3、 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，
AD=5，BC=9,以A为中心将腰AB顺时针旋转90°至
AE，连接DE，求△ADE的面积。
解：过点A作AM⊥BC于M，EF⊥AD交DA的延长线于F。
∵AM⊥BC ∴∠AMB=∠AMC=90°
∵AD∥BC，∠C=90°∴∠ADC=90°∴四边形ADCM是矩形
∴∠MAF=90°MC=AD=5 ∴BM=4
∵∠MAF=∠BAE=90°∴∠MAB+∠BAF=∠BAF+∠EAF=90°
∴∠MAB=∠EAF 又∵∠AMB=∠AFE AB=AF
∴△AMB≌△AFE ∴BM=EF=4
∴S△ADE= AD·EF= ×5×4=10
小结：上述两题都有直角这个条件，共同的方法都是从直角顶点分别作两条垂线，证明所构造的两个直角三角形全等或相似，从而轻松地解决问题。
A
B
C
E
D
例4、 如图点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BC于点B，
ED⊥CD于点D，AC⊥CE于点C，已知AB=3，CD=6，DE=8，求AC。
解：∵ED⊥CD ∴∠CDE=90°∴CE= =10
∵AC⊥CE∴∠ACE=90°∴∠ACB+∠ECD=90°
∵AB⊥BC∴∠ABC=90°∴∠ACB+∠BAC=90°
∴∠BAC=∠ECD 又∵∠ABC=∠CDE
∴△ABC∽△CDE ∴=
S1
S2
S3
B
C
E
A
D
∴=∴AC=5
例5、三个正方形按如图方式放置，其中点B、
C、E在同一条直线上，S1=4，S2=6，求S3。
解：∵三个四边形是正方形
∴∠ACD=∠ABC=∠DEC=90°AC=CD
∴∠ACB+∠ECD=90°∠ACB+∠CAB=90°
∴∠CAB=∠ECD
又∵∠ABC=∠DEC AC=CD
∴△ABC≌△CED ∴BC=ED
∴S3=AC2=AB2+BC2= AB2+ ED2= S1+ S2=4+6=10
小结：上述两题，我们发现两图有一个共同的特征就是存在一个只有顶点在直线上的直角，如果在直角两边上任取一点，分别作直线的垂线，构造的两个直角三角形必然相似，当斜边相等时两个三角形必然全等。如：
1如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线L1、L2、L3上，且L1、L2之间的距离为1，L2、L3之间的距离为2，求AC的长。
A
B
C
D
E
L1
L2
L3
分析：图中存在一个只有顶点在直线上的直角，只要分别过点A和
点C作L1垂线，构造上述基本图形，就可轻松求出。
解：分别过点A和点C作L1垂线，垂足为D、E
则∠ADE=∠BEC=90°∴∠ABD+∠DAB=90°
∵∠ABC=90°∴∠ABD+∠CBE=90°
∴∠CBE=∠DAB 又∵AB=BC ∴△ADB≌△BEC
∴AD=BE=1
∴BC2= BE2+EC2=1+32=10
∴AC===2
2如图，A，C与B，D分别是函数y=- (x<0)，y= (k>0,x>0)图象上的点，且AB∥x轴，P是x轴上任意一点，设△PAB的面积为S。若S=4，CO⊥DO，求∠CDO的度数。
分析：求角的度数可以转化为求它的三角函数值，题目中存在一个只有顶点在直线上的直角，因此可以过点C点D作x轴的垂线，构造直角三角形，证明相似，从而求出∠CDO的正切。
y
A
N
M
P
O
D
C
B
x
解：分别过点C点D作x轴的垂线，垂足为M、N
设点A的坐标为（a, -）
∵AB∥x轴∴点B的纵坐标为-∴-=
∴点B的横坐标x=-
S=（-- a）（-）=4∴k=6
∵点C在函数y=-上∴S△CMO=×2=1
∵点D在函数y=上∴S△DNO=×6=3
∵CO⊥DO ∴∠COD=90°∴∠COM+∠DON=90°
∵CM⊥x轴 DN⊥x轴 ∴∠CMO=∠DNO=90°∠COM+∠OCM=90°
∴∠DON=∠OCM ∴△CMO∽△OND ∴==
A
G
B
C
E
D
F
∴= 即tan∠CDO= ∴∠CDO=30°
再如：矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成
的L形模版如图放置，求矩形ABCD的周长。
解：∵矩形ABCD ∴∠B=∠C=∠D =90°∴∠BAE+∠BEA=90°
∵∠AEF=90°∴∠FEC+∠BEA=90° ∴∠BAE=∠FEC
又∵AE=EF=4∴△ABE≌△ECF ∴ AB=EC BE=CF
设AB=EC=b BE=CF= a
∵∠C=90°∴EC²+FC²=EF² 即b²+ a²=16
∵∠C=∠EFG =90°∴∠FEC+∠EFC=90°∠DFG+∠EFC=90°
∴∠FEC=∠DFG ∵∠C=∠D =90°∴△FEC∽△GFD

∴ = 即 = ∴b=2 a ∴（2 a）²+a² =16

∴a= ∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=2(b+ a+ b)=2×5 a=
在遇到直角这个条件，我们往往过直角顶点作两次垂直或过角两边上的点作两次垂直，构造两个直角三角形证明相似或全等，从而轻松解决问题。总而言之题目多如牛毛，我们不可能做完，但如果能做有心人，做题善于总结，抓住题目的本质特征，巧用题目的条件，这样就能举一反三，触类旁通，做到事半功倍。