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第二篇 函数
第五讲：幂函数与二次函数
基础梳理（研读必修①第77页---78页，完成下列知识点的梳理）
一、幂函数
1、一般地，形如 （R）的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数。
2、幂函数随着的取值不同，他们的定义域、性质和图像也不尽相同。
（1） 所有的幂函数在 上都有定义，并且图像都通过点 ；
（2）如果>0，则幂函数的图像通过 ，并且在区间[0，+)上是 ；
（3）如果<0，则幂函数在区间（0，+）上是 。在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近 轴，当x趋于+时，图像在x轴上方无限地逼近 轴。
（4）如果幂函数图像过第三象限，则一定过点 。
二、二次函数的性质与图像
1、定义：形如 的函数称为二次函数，定义域为；
2、图像与性质
（1）二次函数的图像是 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ；
（2）若 ，当 时，函数有最小值 ，此时函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（3）若 ，当 时，函数有最大值 ，此时函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（4）当 时，函数在（-，+）上是偶函数。
3、二次函数的三种解析式：
（1）一般式 ；
（2）顶点式 ；
（3）零点式 ；
4、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系：
（1）a>0

Δ=b2-4ac<0
Δ=0
Δ>0
ax2+bx+c=0
没有实数解
有两个相等的实数解x1=x2=
有两个不相等的实数解x1 ，x2 （x1<x2）=

y=ax2+bx+c
的图像

ax2+bx+c>0的解集
R
｛x|xR且x｝
｛x|x<x1或x>x2｝
ax2+bx+c<0的解集

｛x|x1<x<x2｝

（2）将a<0的情形仿照上表列出来。

双基自测
1、 在函数y=‚y=2x3ƒy=x2-x④y=1⑤y=x0中，哪几个函数是幂函数？
2、 已知幂函数的图像过点（4，），那么这个函数的解析式是 。
3、 比较下列各组数的大小： ；- -；
4、函数y=x2-4x+3的对称轴 ，顶点坐标是 ，与x轴的交点是 ，有最 值，最 值为 。
5、已知函数f(x)= 4x2- k x+3在(1,+)上是增函数，则实数k的值为 。
6、已知二次函数的图像以点（1，2）为顶点且过点（2，4），求这个函数的解析式。

7、求下列函数的定义域和值域：（1）y=（2）y=x-5（3）y=（4）y=

典型例题
例1：已知函数f(x)=(m2+2m)，m为何值时，f(x)是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数。
变式1：如果幂函数y=(m2-3m+3)的图像不过原点，则m的取值是 。
例2：已知函数f(x)=x2+（x0，常数）。（1）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f(x)在x[2,+)上为增函数，求的取值范围。
例3：已知二次函数y=f1(x)的图像以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2(x)的图像与直线y=x的两个交点间距离为8，f(x)=f1(x)+f2(x)。（1）求函数f(x)的表达式；（2）证明：当a>3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解。

能力提升（试做高考题，相信你能行）
1、[2012·山东卷] 设函数，.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是（ ）
(A)　　　　(B)
(C)　　　　(D)
2、[2012·北京卷] 函数的零点个数为（ ）
（A）0 （B）1（C）2 （D）3
3、[2012·重庆卷] 函数 为偶函数，则实数
4、[2012·北京卷] 已知，，若，或，则m的取值范围是_________。
5、[2012·江苏卷] 如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由．