九上江苏王华明同是截长补短-各有巧妙不同.doc

同是截长补短，各有巧妙不同
江苏省兴化市戴泽初级中学 王华明 225721
我们在解题中经常会碰到要我们证明形如AB=CD+EF这样的问题，或者在题目中出现这样的条件，求其他问题。无论在哪儿出现，我们解题时都会运用截长补短的方法，但如何“截长”，怎样“补短”，需要找到合适的辅助线方法，否则只能“望题兴叹”！下面来看看一些常见的辅助线作法。
一、截长
已知：在ΔABC中，∠C=90°，CA=CB，∠BAC的平分线交BC于点D。
求证：AB=AC+CD
分析：直接将较长的线段进行截取，分成两个部分，体现截长的意图。
A
E
C

B
D

证明：在AB上截取AE=AC
在ΔAED和ΔACD中
∵AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD
∴ΔAED≌ΔACD
∴DE=DC ∠AED=∠C=90°
∵∠C=90°CA=CB
∴∠B=∠BAC=45°
∴∠B=∠BDE=45°
∴BE=DE
又∵DE=DC ∴BE=DC
∵AB=AE+BE
∴AB=AC+DC
二、补短
分析：仍然以上题为例，可以将两个较短的线段补在一起，变成一个长线段，
A
B
D
C
E
体现补短的意图。
证明：延长AC到点E,使CE=CD
∵∠ACB=90°CA=CB
∴∠B=∠BAC=45°
∵CE=CD ∴∠E=∠CDE=45°
∴∠E=∠B
在ΔABD和ΔAED中
∵∠B=∠E ∠BAD=∠EAD AD=AD
∴ΔABD≌ΔAED ∴AB=AE
∵AE=AC+CE ∴AE=AC+CD ∴AB=AC+CD
三、作垂直
例 已知：如图，在ΔABC中，AB=AC，CD⊥AB,交BA的延长线于点D。P是BC上的任意一点，PE⊥AC交CA的延长线于点E，PF⊥AB,垂足为F。
求证：PE+PF=CD
分析：题中有三个垂直的条件，可以过点C作FP延长线的垂线，构造矩形
A
B
C
P
E
D
M
F
体现补短的意图，也可过点p作CD的垂线，体现截长的意图。
证明：过点C做FP延长线的垂线，垂足为M.。
∵CD⊥AB PF⊥AB CM⊥FM
∴∠D=∠MFD=∠M=90°
∴四边形FMCD是矩形
∴FD∥MC FM=CD 即FP+PM=CD
∴∠B=∠BCM
∵AB=AC ∴∠B=∠BCA
∴∠BCA=∠BCM 又∵PM⊥CM PE⊥AC
∴PM=PE
∵FP+PM=CD ∴PF+PE=CD
四、延长
已知：在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE。
求证：AF=BC+FC
分析：本题可以在AF上截取AH=BC,再分别连接EH、EF证得，
体现截长的意图；也可以延长DC，延长AE交与点G，体现
A
B
C
D
F
E
G
A
补短的意图。
证明：延长DC，延长AE交于点G
∵E是BC的中点∴BE=CE
∵正方形ABCD
∴∠B=∠ECD=90°AB=BC
在ΔABE和ΔGCE中
∵∠B=∠ECD BE=CE ∠BEA=∠CEG
∴ΔABE≌ΔGCE
∴AB=CG ∠G=∠BAE
∴CG=BC
∵∠FAE=∠BAE ∴∠FAE=∠G
∴AF=FG
∵FG=FC+CG
∴FG=FC+BC
∴AF=FC+BC
五、取中点
在梯形ABCE中，AD∥BC，AB=AD+BC，M为CD中点。求证：AM⊥BM
分析：本题可以延长AM,延长BC交与点G证得，体现补短
的意图，也可以根据条件M为CD中点，联想到取AB的中点N，
A
B
C
D
M
N
体现截长的意图。
证明：取AB的中点N，连接MN
∵梯形ABCE 中,M为CD中点, N为AB的中点
∴MN= (AD+BC) AN=BN= AB
∵AB=AD+BC
∴MN=AN=BN
∴∠NAM=∠NMA ∠NBM=∠NMB
在ΔABM中
∠NAM+∠NMA+∠NBM+∠NMB=180°
即2∠NMA+2∠NMB=180°
∴∠NMA+∠NMB=90°
即∠AMB=90°
∴AM⊥BM
六、作角平分线
在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM。求证：AE=BC+CE
A
B
C
D
M
E
G
F
分析：本题可以抓住∠BAE=2∠DAM的条件，作∠BAE的角平分线AF，
作FG⊥AE于点G，连接CG，体现截长的意图
证明：作∠BAE的角平分线AF，连接FG、GC
∵∠BAE的角平分线AF
∴∠BAF=∠GAF ∠BAE=2∠BAF
∵∠BAE=2∠DAM ∴∠BAF=∠DAM
∵正方形ABCD
∴AB=AD=BC=DC ∠B=∠D=∠BCD=90°
∵FG⊥AE ∴∠AGF=∠FGE =90°
在ΔABF和ΔAGF中
∠B=∠AGF ∠BAF=∠GAF AF=AF
∴ΔABF≌ΔAGF
∴AB=AG=BC BF=GF
在ΔABF和ΔADM中
∵∠B=∠D AB=AD ∠BAF=∠DAM
∴ΔABF≌ΔADM ∴BF=DM
∵M是CD的中点
∴DC=2DM=2BF
∴BC=2BF ∴FC=BF=GF
∴∠FGC=∠FCG
∵∠FGE=∠FCE=90°∴FGE-∠FGC =∠FCE-∠FCG
即∠EGC=∠ECG ∴GE=CE
∴AE=AG+GE=BC+CE
七、作平行
已知：等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，P为BC上任意一点，PE∥AC交AB于点E，PF∥BD交CD于点F。求证：PE+PF=BD
分析：根据题中的已知条件，联想到过点P作CD的平行线，交BD于点M，将BD分成BM，DM,体现截长的意图，也可过点B作CD的平行线交FP的延长线于点N，体现补短的意图。
E
B
A
C

P
D
M
F
1过点P作PM∥CD交BD于点M
∵PM∥DF PF∥BD
∴四边形MPFD是平行四边形
∴DF=PM
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠ABC=∠DCB
又∵AB=CD BC=BC
∴ΔABC≌ΔDCB ∴∠ACB=∠DBC
∵PE∥AC
∴∠EPB=∠ACB ∴∠DBC=∠EPB
∵PM∥DF ∴∠MPB=∠DCB
∵∠ABC=∠DCB ∴∠ABC=∠MPB
∵BP=PB ∴ΔEBP≌ΔMPB ∴PE=BM
∵BD=BM+DM PF=DM
∴C
E
A
D
B
P
N
F
BD=PE+PF
2过点B作BN∥DC交FP延长线于点N
∵BD∥PF BN∥DC
∴四边形BNFD是平行四边形
∴BD=NF
∵BN∥DC ∴∠PBN=∠DCB
∵∠ABC=∠DCB ∴∠ABC=∠PBN
由上题可证ΔABC≌ΔDCB，得∠ACB=∠DBC
∵BD∥PF ∴∠DBC=∠BPN
∵PE∥AC ∴ ∠BPE=∠ACB ∴∠BPN=∠BPE
∵∠ABC=∠PBN BP=BP ∴ΔEBP≌ΔNBP ∴PN=PE
∵NF=NP+PF ∴ NF=PE+PF ∵NF=BD ∴BD=PE+PF
八、旋转
A
B
C
E
F
D
G
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF
分析：根据题中的已知条件，通过将ΔADF绕点
A顺时针90°，将DF和BE连接起来，体现补短的
意图。
证明：将ΔADF绕点A顺时针90°旋转得到ΔABG
∵旋转
∴AF=AG DF=GB ∠GAB=∠FAD ∠ABG=∠ADF=90°
∴∠ABG+∠ABC=180° ∴点G、B、E在一直线上
∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BAD=90°
∵∠EAF=45° ∴∠BAE+∠FAD=45°
∴∠BAE+∠GAB=45° ∴∠GAE=∠FAE
在ΔAEG和ΔAEF中，
∵AE=AE ∠GAE=∠FAE AG=AF
∴ΔAEG≌ΔAEF ∴GE=FE ∴GB+BE=FE ∵DF=GB ∴DF+BE=FE

反思：在解题时怎样截长补短，应该根据具体条件，选择恰当的辅助线作法，体现截长或补短的意图，这样题目就会迎刃而解。
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