离心率及最值问题.doc

圆锥曲线的离心率及最值问题
一、离心率
1、在中，，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率为

2、已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线，则该椭圆的离心率为
3、已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆C于点D，且,则椭圆的离心率为
4、过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若, 则该椭圆的离心率为
5、设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则该双曲线的离心率为
6、过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,若,则该双曲线的离心率为
7、双曲线的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若轴，则该双曲线的离心率为
二、最值问题
1、 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求均可用此法．
解：由已知：，．所以，右准线．
过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以．
说明：本题关键在于未知式中的“2”的处理．事实上，如图，，即是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值．
2、 求椭圆上的点到直线的距离的最小值．
分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为
．
当时，．
说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
3、已知点，，在双曲线上求一点，使的值最小．
解：∵，，∴，∴，设点到与焦点相应准线的距离为则
∴，∴，
至此，将问题转化成在双曲线上求一点，使到定点的距离与到准线距离和最小．
即到定点的距离与准线距离和最小为直线垂直于准线时，解之得，点．

4、已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
5、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4

6、过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（ ） （A） （B） （C） （D）