《数学教学》问题1106的简证及拓展.pdf

9422023年第9期数学教学数学教学问题110 6 的简证及拓展付宏祥（甘肃省定西市安定区东方红中学，甘肃定西743000)1问题呈现本刊2 0 2 0 年第12 期问题110 6 11为：如图1,在平面直角坐标系xOy中，M是椭圆+=1(b0)上异于长轴端点的2262a动点,FI、F2 分别是椭圆的左右焦点,A1、A,分别是椭圆的左右顶点，E是线段A,M的中点，直线OE交椭圆的左准线l:x=-（其中=CV-b）于点P,过点0 作A,M的平行线交l于点Q.求证：ZOPF,=ZOQFfMAFA2P图1该问题简洁明了，证明思路清晰，有利于培养学生的思维品质及运算能力.下面笔者将给出简明证明，并将问题作适当拓展2问题简证我们将上述问题分两部分加以证明，即求证：(1)PF,1OQ,QF,1OP;(2)OPF,=ZOQF1.证明：（1）依题意，设M(xo，y o)（0+ayoa),则E22Y因为kop，所以直线OE的方程为：xo+ayoa?yo2ax，即pP，故有Xo+ac(x+a)C2kipF,=bb(xo+a)yo又OQ/A,M,所以koo=kA,E，则直ayo线OQ的方程为：y=aa?yoayo22),故有 hor,B(xo-a)c(x-a),22V由点M在椭圆=1上,得622a6(a2-)2Yo三2a因为ayo2krr koo=b(xo+a)ab(?-x)2a2a=-1,b(x-a)b2(x-a2)ayo2kor,kopp=b(x0-a)x+a2.2ayb2(x-a)所以,PF,1 OQ,QF,1OP.（2）如图2,延长直线PF交OQ于点C，延长直线QF，交OP于点D，则由（1）知ZOCP=ZODQ=90QMEAF2DP么图2OSFOPFSO F2,则有ZPOFLSOF2,得POF证明：由OP=OS,4392023年第9 期数学教学在RtPO C 和RtQ O D 中,因为ZPOC=ZQOD,所以 POC Q O D.所以ZOPF,=ZOQFr.评注：从几何作图过程中意识到PF1工OQ，Q F1工OP并得到证明，是利用几何法证明ZOPF,=LOQF,的关键.3问题拓展3.1椭圆中拓展结论1如图3，在平面直角坐标系x0y中,M是椭圆+=1(b 0)上异于长62a轴端点的动点，F1、F2 分别是椭圆的左右焦点aA1、A z 分别是椭圆的左右顶点,l1、l 2:x=C（其中c=V-b）分别是椭圆的左右准线,E是线段A,M的中点，直线OE交椭圆的右准线l2于点S,过点O作A,M的平行线交椭圆的左准线1于点Q.则ZOQF,=ZOSF2.QMSAoFJA2121图3该结论可仿照上述问题的证明过程加以证明，详细证明过程这里不再述，利用椭圆的对称性质容易得到如下结论：结论2如图4，在平面直角坐标系x0y2X中,M是椭圆B=1(ab0)上异于长+a轴端点的动点,F1、F2 分别是椭圆的左右焦点，A1、A 2 分别是椭圆的左右顶点,l1、l 2:x=（其中c=/-b）分别是椭圆的左右准C线，E是线段A,M的中点，直线OE分别交椭圆QMSA2XA2P图4的左右准线1、l2于点P、S,过点0 作A,M的平行线分别交椭圆的左右准线11、l2于点Q、T.则ZOPF、ZO Q F、ZO SF2、ZO T F,四角相等.同理可得，OQF,=LOTF2由问题及结论1知LOPF,=ZOQFi，ZOQF,=ZOSF2，所以LOPFI、LO Q FI、ZOSF2、ZO T F2 四角相等.3.2双曲线中拓展我们将上述结论拓展到双曲线中，得到如下结论：结论33如图5，在平面直角坐标系x0y2中,M是双曲线a异于实轴端点的动点,F1、F2 分别是双曲线的左右焦点,A1、A 2 分别是双曲线的左右顶点,E是线段A,M的中点，直线OE交双曲线的左准线l1:x=-=(其中c=/+b）于点P,过点C0作A,M的平行线交l于点Q.则（1)PF，工OQ,QF1OP;(2)ZOPF,+ZOQF,=T.EAPAF22图5证明：（1）依题意，设M(xo，y o）（x+aa),则E22因为kop，所以直线OE的方程为：+aayo2ayx，即P），故有xo+ac(x。+a)Cayo2kipF,b(xo+a)又OQ/A,M,所以koo=kA,E，则直a线OQ的方程为：y=x，即Q(-%a9-442023年第9 期数学教学ayoayo2b2(xo-a)22由点M在双曲线=1上,得%=622ab(x-),所以kpr,hoo=-1,hor,hop=2a-1,故有PF1OQ,QF,1,OP.22Y（2）当点M在双曲线=1的右支2a时，如图6,延长直线F,P交OQ于点C,延长直线OP交F,Q于点D.MEA42CQ图6由(1)知 ZPCQ=ZPDQ=90,所以P、D、Q、C 四点共圆.所以，LOPF,+LOQF,=CPD+ZCQD=T.22y当点M在双曲线1的左支时，证262a法同上.（上接第9一4页）我们也可以看到=3与+b=7独立.但1是=3与+b=8不独立,因为P（=3)=-65P(a+b=8)而P(la=3)nia+b=361158/)X实际上a=3与a+b=366369，10，11，12 都不独立.两个不相互独立的事件也叫做相依的事件.如果E、F相互独立，那么P(EIF)=P(F)-P(EnF)=(1-P(E)P(F)=P(E)P(F),也就是说E与F也独立.综上可得，ZOPF,+ZOQF,=T.结论4如图7,在平面直角坐标系x0y2=1(a 0,b 0)上2中,M是双曲线2a6异于实轴端点的动点,F1、F2 分别是双曲线的左右焦点,A,、A 2 分别是双曲线的左右顶点，l、l 2:x=（其中c=/a+b）分别是双曲C线的左右准线，E是线段A,M的中点，直线OE交双曲线的左右准线l1、l 2 于点P、S,过点0 作A,M的平行线交双曲线的左右准线l1、l 2 于点Q、T.则ZOSF,+ZOTF,=T，O PF,+LOTF,=T,ZOSF,+ZOQF,=T.E4FF2图7该结论可仿照得到证明，详细证明过程不再赞述.参考文献1刘才华.2 0 2 0 年第12 期问题110 6J.数学教学,2 0 2 0，6 0(12：42.给定事件E，如果事件F、G 关于条件概率P（IE)独立，我们称F、G 在概率P下关于给定的E条件独立.写出来的话，关于E条件独立就是P(FnGIE)=P(FIE)P(GIE),根据条件概率的定义，我们有P(FnGnE)P(FnGIE)P(E)P(GnE)P(FnGnE)P(E)P(GnE)=P(GIE)P(FIGnE),所以F、G 关于E条件独立等价于P（FI G nE)=P(FI E).（未完待续）