抓住本质探究滚动问题.doc

抓住本质探究滚动问题 圆的滚动问题，在新老教材中都出现过。近年更是作为竞赛题出现。由于解决此问题，需要较强的空间想象能力，因此对于所有学生，甚至是老师都是难点。笔者结合自己在教学中的反思，发现抓准了问题的本质，找到解决问题的一般方法，便能帮助学生灵活应对这类题目的变式。1、 由简入手：圆在直线上滚动探究一：若半径为r的圆沿直线滚动一周，圆心经过的距离是多少？图1分析：如图1，圆滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长2r，即AB=2r ,则圆心经过的路程OO =2r。圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。因此可以作出一个大胆猜想：圆沿线（包括直线、曲线、折线）滚动时，圆自身转动一圈，圆心经过的路程为一个圆周长；反之，圆心经过的路程为一个圆周长，圆自身转动了一圈。对这个猜想的补充说明：要正确理解这个猜测，必须分清两个概念，即“滚动、转动”。转动的定义：物体的各部分都绕着同一条轴线做圆周运动，这样的运动叫做转动。那么圆自身的转动指的就是：圆上各点绕着圆心做圆周运动，其所研究的对象是圆自身。而滚动的主体要有两个图形，两个图形保持时刻接触。2、 拓广范围：圆在多边形内、外滚动探究二：如图，沿着的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来位置。已知的周长是周长的倍，问自身转动了几圈？分析： 而按照本文前面的猜想，只要算出圆心经过的路程，根据：转动的圈数=，即可得到结果。图2解：如图2，虚线为滚动过程中圆心的轨迹，圆心经过的路程等于三条线段长加上三条弧长。其中三条线段长：=的周长；图中三段弧所在圆的半径即为的半径，而它们的度数和，等于以A、B、C为顶点的三个周角，减去六个直角，再减去的内角和的差，即。所以三段弧长和为的周长。圆心经过的路程=的周长+的周长转动的圈数=（圈）小结：圆在n边形外侧滚动一周，圆心经过的路程等于n边形的周长加上n段弧长，而这些弧所在圆的半径即为圆的半径，圆心角和为：发现即是n边形的外角和，这样n段弧长和为圆周长。转动的圈数= = = 在一些出版的论文中，曾看到公式。虽然，两个公式有相似之处，但笔者认为，研究圆心经过的路程，是这类问题的本质。如在以下的探究中，更能灵活应对。探究三：如图，已知Rt中B=60，C=30，AB=4，的半径r=1。若沿着Rt的内侧作无滑动的滚动一周回到原来位置。问自身转动了几圈？分析：如图3，圆心经过的路程为O1O2O3的周长。略解：如图3，圆与三角形三边相切，切点分别为D、E、F、G、H、M，连结圆心和各切点，延长HO2交BC边于点N，由已知易得在RtO2NG中，可得O2N=，则HN=在RtHNC中，可得HC=O1O2O3的周长=ABC的周长-2AD-2BE-2HC=转动的圈数=6/2(圈)图3小结：抓住本质，则圆在多边形上滚动，内外无别。3、 曲直无别，圆在另一圆的内、外滚动探究四：M和N为等圆，半径为r.若N沿M外侧无滑动滚动一周，则N自身转动几圈?分析：如图4，N的圆心经过的路程为，以点M为圆心，2r为半径的圆的周长N转动的圈数=4r/2r=2(圈)学生对这道题，直观上难以想象。认为N滚动一周，圆上每个点依次与M上每个点重合一次，因此N只转动了一圈。这暴露出学生对本文中提到的转动一圈的概念不清。可向学生讲清概念的同时，利用图4，让学生直观感受。如图4，当N的圆心，由N1的位置移到N2的位置时，圆上点A、B的位置也相应转动到点A、B的位置，我们发现N刚滚动了四分之一周时，自身已经转动了半圈；而当N滚动了二分之一周时，自身已经转动了一整圈。图4小结：圆的滚动问题，只要找准圆心经过的路程，不但内外无别，曲直亦无别！以下是两道变式题，读者可自行解决。1、A的半径为1，B的半径为4。若A沿B内侧无滑动滚动一周，则A自身转动几圈?略解：如图5，A的圆心在以点B为圆心，半径为3的圆上，圆心经过的路程为6，则自身转动的圈数=6/2=3（圈）。图6图5 2、半径为1的小圆从点O到点O，沿曲线AB作无滑动的滚动，已知半圆AC、半圆BC所在圆的半径分别为4、2。则小圆自身转动了几圈？略解：如图6，小圆的圆心在以3为半径的圆上，圆心经过的路程为6，则自身转动的圈数=6/2=3（圈）。学习数学，能让学生学会透过想象，认识事物的本质。在无滑动的滚动过程中，圆只有通过自身的转动，才能使得圆心产生位移。相信通过这样的探究，学生不只是能应对各式各样的变式题，更能运用这种探究思维，去观察错综复杂的世间万物。参考书目：中小学数学教师版2005年1-2期“转圈几何”的探究钱卫娣2005年第9期“内外”确实有别刘少伟2007年第5期有趣的滚动刘向平内容摘要：圆的滚动问题中，圆不管是沿曲线或直线滚动，还是沿多边形的内或外滚动，其自身转动的圈数，都与其圆心经过的路程有关。即：转动的圈数=。