2017年高考全国卷2.doc

一、选择题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体
的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体
的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．设，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．若双曲线（，）的一条渐近线被圆
所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
10．已知直三棱柱中，，，
，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．若是函数的极值点，则的极小值为（ ）
A. B. C. D.1
12．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.

二、填空题
13．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ．
14．函数（）的最大值是 ．
15．等差数列的前项和为，，，则 ．
16．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．

三、解答题
17．（12分）
的内角的对边分别为 ,已知．
(1)求
(2)若 , 面积为2,求

18．（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

19．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点.

（1）证明：直线 平面PAB
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，
求二面角M-AB-D的余弦值

20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

21．（12分）
已知函数且.
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知，证明：
（1）；
（2）．

参考答案
1．D【解析】，故选D。
2．C【解析】由得，所以，，故选C。
3．B【解析】塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由可得，故选B。
4．B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B.
5．A【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小值 ，故选A.

6．D【解析】 ,故选D。
7．D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D。
8．B【解析】 ,故选B.
9．A【解析】圆心到渐近线 距离为 ，
所以，故选A.
10．C【解析】补成四棱柱 ,则所求角为
因此 ，故选C.
11．A【解析】由题可得
因为，所以，，故
令，解得或，所以在单调递增，在单调递减，所以极小值，故选A。
12．B【解析】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标，则，，，设，所以，，，所以，

当时，所求的最小值为，故选B。
13．1.96【解析】，所以.
14．1【解析】
，，那么，当时，函数取得最大值1.
15．【解析】设等差数列的首项为，公差为，所以 ，解得 ，所以，那么 ，那么 .
16．6【解析】设，，那么 ，点在抛物线上，所以 ，所以，那么.
17．（1）（2）
【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合求出；利用（1）中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出．
试题解析：（1）由题设及，故
上式两边平方，整理得 解得
（2）由，故又
由余弦定理及得

所以b=2
【点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．
18．（1）；（2）详见解析；（3）
【解析】（1）记事件“旧养殖法的箱产量低于”为事件
记事件“新养殖法的箱产量不低于”为事件，则

（2）

旧养殖法

新养殖法

；
有的把握认为箱产量与养殖方法有关。
（3）第50个网箱落入“”这组；取平均值即为中位数的估计值。
19．（1）详见解析
（2）
【解析】（1）取中点，连接、、
∵、分别为、中点
∴，又∵
∴，∴四边形为平行四边形
∴平面

（2）取中点，连，由于为正三角形
∴
又∵平面平面，平面平面
∴平面，连，四边形为正方形。
∵平面，∴平面平面
而平面平面
过作，垂足为，∴平面
∴为与平面所成角，
∴
在中，，∴，
设，，，
∴，∴
在中，，∴
∴，，
以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，，，，
，
设平面的法向量为，，∴
∴，而平面的法向量为
设二面角的大角为（为锐角）
∴。
20．⑴点的轨迹方程。
⑵详见解析
【解析】（1）设，，
，，即
代入椭圆方程，得到
∴点的轨迹方程。
（2）设，，椭圆的左焦点为
，
；；
，即 ①
： ∴过与直线垂直的直线为：
当时，
①代入得 ∴过且垂直于的直线过的左焦点。
21．⑴ a=1
⑵ 详见解析
【解析】（1）的定义域为
设，则等价于
因为
若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故
综上，a=1
（2）由（1）知
设
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增
又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.
因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点
由
由得
因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得

所以
22．⑴的直角坐标方程为
⑵△OAB面积的最大值为
【解析】（1）设P的极坐标为，M的极坐标为，由题设知

由得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为
（2）设点B的极坐标为,由题设知
,于是△OAB面积

当时，S取得最大值
所以△OAB面积的最大值为
23．⑴详见解析
⑵详见解析
【解析】（1）

（2）因为

所以，因此a+b≤2.