从勾股定理到图形面积教学案例.doc

从勾股定理到图形面积教学案例
——吕山中学 钱凤杰
本节课的主题是从勾股定理到图形面积的拓展研究。勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，是几何学的瑰宝，充满魅力，在世纪数学史上具有独特的贡献。人们对勾股定理有着浓厚兴趣更在于它可以作推广。欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形的斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上与其相似的直边形的面积之和”。相信学生会对这一推广产生兴趣，所以有了本节课。
我把这节课的目标定为：1.探究勾股定理与相似图形面积之间的关系；2.探究勾股定理的逆定理与相似图形面积之间的关系；3.了解“数形结合”的思想；4.通过拓展探究培养学生的推理能力。
这节课从勾股定理的知识回顾开始，我提问：“在直角三角形ABC中，已知两直角边的长分别为3和4，斜边的长为多少？”有一学生回答：斜边长为5。学生的回答是正确的，我又提问：是根据什么原理得到的答案，学生齐答：勾股定理。之后，我要求学生求出直角三角形的面积。这一环节在告诉我们，勾股定理不仅可以用来求三角形的边长，也可以用来求三角形的面积。
接下来是引导学生发现、探索并验证“在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积都等于在两直角边上所画的与其相似的图形面积之和”。我给出了一幅图，让学生观察图形并思考：勾股定理还有没有其他的应用。
像图1（课件），我以直角三角形的三边a、b、c为边向外作正方形，面积分别用，，来表示。要求学生先试求出三个正方形的面积。学生经过思考、计算很快得出答案。学生的回答是正确的。接下来我要求学生来观察他们所得到的这三个正方形的面积，探索，，三者的关系。学生很快回答：。给出了正确回答，完成了我们的第一步探索。
图2中，我将正方形变为正三角形，同样让学生探索，，之间的关系。在学生探索、思考5分钟后，大部分学生已经有了答案，为了给学生充分展示自己的机会，我让学生将自己的验证过程投影展示给大家看。学生在讲台上一边将自己的成果展示，一边叙述自己的思考过程，与同学们分享。生答：∵，，，∴ ∵ ∴
学生回答的非常好，思路清晰，条理清楚，书写规范。我在下面巡视一圈，其他的同学也做得非常好。
前面是我给出了图形，现在要求学生自己思考，在我课前准备好下发的纸上作图，以直角三角形的三边为边向外作图形，让这三个图形的面积满足，并给出验证过程。可以小组讨论，看看那个小组想出的图案更多。
学生的兴趣都很高涨，立即动手操作起来，我在部分学生说再给一点时间后，就放开课堂，给学生充足的时间，直到大部分学生完成。然后我组织学生开始小组交流，展示自己小组的成果。
有一学生回答：我们第一个分别以a、b、c为直径向外作了半圆，满足；我们第二个图是以a、b、c为直角边向外做直角三角形。但是其他同学对这个构想表示反对。有一学生回答：如果a、b是较短边，c为较长边，那么面积就不满足了，而且长度关系不知道，无法得知三个三角形的面积。其他同学在思考后也纷纷表示赞同，我马上对他的想法表示鼓励，并追问，那怎样作直角三角形可以满足。该生答：可以以a、b、c为较长边向外作含30°角的直角三角形；或者以a、b、c为较短直角边或斜边都是可以的。对该生的回答予以肯定的回答，追问：你是怎么想的？生：运用分类讨论的思想做的，也验证过了。学生做的非常不错。我又找了其他小组展示他们的成果。另一学生回答：我们小组作的第一个图形是以直角三角形的三边为直角边向外作等腰直角三角形，这样三个三角形的面积满足。第二个是以直角三角形的三边为长方形的长，满足长宽比例为2:1，也能满足。马上有同学提出：是不是满足长宽之间的比例相同就可以了？其他同学马上开始验证，发现的确是如此。
第三组学生开始补充：我们以直角三角形的三边为底作平行四边形，对应的高等于底长，也能满足。其他小组在听完他们的验证之后发现确实，但也有学生提出，对应高一定要等于底长才可以满足？这个问题让其他学生都陷入了沉默，仅一会儿同学们就开始了热烈的验证，在验证之后他们发现不一定的，这几个图形只要满足高和对应底的比值一致就可以了。我们不禁对他的想法给予热烈鼓掌。
接下来又不断有学生展示自己小组所作的图形，将自己的想法分享给同学们。
在学生展示完所作图形之后，我问道：我们作了这么多图形，那同学们你能针对我们做的这些图形然后说一说所做图形满足什么规律会满足上述结论？有一学生自信满满的说到：不管所作的图形是怎样的，只要满足他们形状一样就可以了。其他同学纷纷表示赞同。这时教师简单的向学生介绍一下相似三角形：向同学们所说的，我们所做的图形只要满足形状一致即可。我们在前面的学习中知道，如果两个图形形状和大小都一样，那我们称他们是全等图形；现在我们做的图形只需满足形状一样，那我们把形状一样而大小不一样的图形称为相似图形。等我们到了初三的时候，老师再跟同学们一起来探索相似三角形。
最后，我与学生一起对本节课做了小结：以直角三角形斜边为边向外作任意图形的面积都等于以两直角边为边向外作的与其相似的图形的面积之和。
上完这节课，我有一个疑问：是不是我平时上课的方式有问题呢？是不是应该像今天一样放手让学生去做，独立的思考、探索。今天的学生给我一种不一样的感觉，可见学生的潜力是无穷的，我应该在课上让学生去发挥，开发学生，也拓展自己。