2022年新高考Ⅰ卷函数与导数解答题的解法探究与推广.pdf

2023 年第 9 期(下)中学数学研究312022 年新高考 I 卷函数与导数解答题的解法探究与推广*佛山科学技术学院(528000)洪锐敏摘要 在对 2022 年新高考 I 卷第 22 题进行解法探究的基础上,对该问题作进一步的探究与推广,研究直线与已知的两条曲线有 4 个不同交点情况下的横坐标和差间的等量关系和以 4 个交点为端点的各线段长度间的关系,得到 4 个结论并给出证明过程,为试题的命制和变式提供参考.关键词 GeoGebra;函数与导数;新高考;教学建议1 问题的提出普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)提出把握数学本质,启发思考,改进教学的课程基本理念,即以发展学生数学学科核心素养为导向,引导学生把握数学内容的本质,激发学习数学的兴趣,注重信息技术与数学课程的深度融合,提高教学的实效性1.因此,本文以 2022 年新高考I 卷第 22 题为例,基于 GeoGebra 对该问题进行探究与推广,并给出严格的逻辑推理证明,将信息技术与高考数学试题的变式研究结合起来,这不仅可以为试题的命制和变式提供参考,而且更有助于引导学生把握数学概念和原理的本质.2 原题呈现与解法探究原题呈现(2022 年新高考 I 卷第 22 题)已知函数f(x)=ex ax 和 g(x)=ax lnx 有相同的最小值(1)求 a;(2)证明:存在直线 y=b,其与两条曲线 y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列解法探究本题以极值点偏移为背景,既是近几年高考的热点2,也是二轮复习时的综合内容,涉及多方面的知识点3.第(1)问是根据函数f(x)=exax和g(x)=axlnx的导数研究 f(x)和 g(x)单调性的常规问题,考查学生的顺向思维能力.根据两个函数有相同的最小值这一条件求 a 的值,通过分类讨论,分别确定 f(x)和 g(x)的最小值 f(x)min和 g(x)min,令 f(x)min=g(x)min,解关于 a 的方程,即可得到 a 的值.第(2)问中,不妨设从左到右的三个交点分别为 A,B,C,横坐标分别为 x1,x2,x3,即要证明x1+x3=2x2,实质是讨论方程 exx=b(2.1)与方程xlnx=b(2.2)根的和差间的等量关系.由于方程(2.1)和(2.2)是包含指数和对数的方程,学生不借助信息技术的前提下无法直接求出方程根的准确值,故需将求方程根的问题转化归结为求函数的零点问题,利用函数的单调性和零点存在定理探究根的个数和根的和差间的等量关系.由(1)知f(x)在(,0)单调递减,在(0,+)单调递增;g(x)在(0,1)单调递减,在(1,+)单调递增,f(x)min=g(x)min=1,故若存在直线 y=b 与曲线 y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点,则须 b 1,且 B 点为曲线 y=f(x)、y=g(x)和直线y=b的公共交点,x1 0 x2 1 x3,方程exx=b有两个不同的根 x1,x2,x lnx=b 有两个不同的根 x2,x3,即 ex1x1=b,ex2x2=b,x2lnx2=b,x3lnx3=b.由 ex1x1=b 可整理得(x1+b)ln(x1+b)=b,故 x1+b为方程 x lnx=b 的根,同理由 ex2 x2=b 可证 x2+b也为方程 x lnx=b 的根;由 x2 lnx2=b 可整理得ex2b(x2 b)=b,故 x2b 为方程 exx=b 的根,同理由 x3 lnx3=b 可证 x3 b 也为方程 ex x=b 的根.因此,x2,x3=x1+b,x2+b,结合 x1 0 x2 1 x3可得x2=x1+b,x3=x2+b.即 x1+x3=2x2.因此,存在直线 y=b,其与两条曲线 y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.本题是以极值点偏移为背景的压轴题,考查了函数的单调性与最值、导数运算、指数与对数的互化、等差数列的概念等知识点,解题过程体现出对转化与化归、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想和分析法的综合考核,要求学生有较强的逻辑推理素养和逆向思维能力.往年较为常见的以极值点偏移为背景的试题以对不等式证明的考查为主4,解题过程需要结合题意构造出新的函数5,本题的不同之处在于不设置证明不等式的题目,而是要求证明直线与曲线交点横坐标和差间的等量关系(x1+x3=2x2或x2 x1=x3 x2),且解题过程不需要构造新的函数,这是函数与导数板块以极值点偏移为背景命制试题的第一个创新点.其次,这是自 2014 年新高考政策在浙江省和上海市试点实施以来,全国 I 卷首次将函数与导数的解答题与数列结合起来进行考查,也是本试题在考查函数与导数板块的第二*基金项目:本文系佛山科学技术学院学生学术基金资助项目(编号:xsjj202304zsb03)的阶段性研究成果.32中学数学研究2023 年第 9 期(下)个创新点,从命题的形式上看比较新颖,既遵循了 普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)提出的引导学生把握数学内容的本质的课程基本理念,也是新高考试题命制的灵活性和敢于突破常规的体现,对后续高考试题中函数与导数解答题的命制和一线教师的教学有一定的借鉴意义,下文笔者将借助 GeoGebra 继续对该解答题进行探究与推广.3 探究思路和过程图 1 1 c b 时直线 y=c 与曲线 y=f(x)和 y=g(x)的图象2022 年新高考 I 卷第 22 题第(2)问是证明存在直线y=b,其与两条曲线 y=f(x)和 y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列,得到 x1+x3=2x2,即 x2 x1=x3 x2=b,线段 AB=BC=b.下面笔者借助 GeoGebra 探究直线y=c(c 1,c=b)与两条曲线 y=f(x)和 y=g(x)有四个不同的交点的情况,如图 1 和图 2,先绘制出直线 y=c与两条曲线 y=f(x)=ex x 和 y=g(x)=x lnx的图象,作出直线 y=c(c 1,c=b)动态变化的效果6.设从左到右的四个交点分别为 A,B,C,D,横坐标分别为x1,x2,x3,x4,探究 x1,x2,x3,x4的和差间的等量关系,以及以 A,B,C,D 四点为端点的各线段长度与之间存在的等量关系.通过 GeoGebra 对相关线段的长度关系进行动态追踪和探究,分别得到下列 4 个结论,然后通过逻辑推理证明结论的严谨性,为试题的命制和变式提供参考.4 结论与证明结论 1直线 y=c(c 1,c=b)与两条曲线 y=f(x)和 y=g(x)共有从左到右的四个不同的交点,设交点坐标分别为 A(x1,c),B(x2,c),C(x3,c),D(x4,c),则总有线段AB=CD 恒成立.结论 1 的评析与证明思路结论 1 要证明总有线段AB=CD 恒成立,实质上是证明 x2 x1=x4 x3恒成立(类似于原题第(2)问的结论 x2 x1=x3 x2).1当 1 c b 时,点 A(x1,c)与点 B(x2,c)是直线y=c 与曲线 y=f(x)的交点,点 C(x3,c)与点 D(x4,c)是直线 y=c 与曲线 y=g(x)的交点,且 x1 x2x3 x4,将点 A,B,C,D 的坐标分别代入函数解析式可得:ex1 x1=c(4.1)ex2 x2=c(4.2)和x3 lnx3=c(4.3),x4 lnx4=c(4.4),由(4.1)整理得:(x1+c)ln(x1+c)=c,即 x1+c 是方程 x lnx=c 的根,同理(4.2)可证 x2+c 是方程x lnx=c 的根.由(4.3)整理得:ex3c(x3 c)=c,即 x3 c 是方程 ex x=c 的根,同理(4.4)可证 x4 c是方程 ex x=c 的根.结合 x1 x2 x3 x4可知x3=x1+cx4=x2+c即x3 x1=c,x4 x2=c,故 x2x1=x4x3,因此,当 1 c b 时,点 A(x1,c)与点 C(x3,c)是直线 y=c与曲线 y=f(x)的交点,点 B(x2,c)与点 D(x4,c)是直线 y=c 与曲线 y=g(x)的交点,且 x1 x2x3 x4,将点 A,B,C,D 的坐标分别代入函数解析式可得:ex1 x1=c(4.5)ex3 x3=c(4.6)和x2 lnx2=c(4.7)x4 lnx4=c(4.8)由(4.5)整理得:(x1+c)ln(x1+c)=c,即 x1+c 是方程xlnx=c 的根,同理(4.6)可证 x3+c 是方程 xlnx=c的根.由(4.7)整理得:ex2c(x2 c)=c,即 x2 c 是方程 exx=c 的根,同理(4.8)可证 x4c 是方程 exx=c的根.结合 x1 x2 x3 b 时,线段 AB=CD 恒成立得证.综上所述,结论 1 得证.下面继续研究以 A,B,C,D 四点为端点的各线段长度与 c 之间存在的等量关系.结论 2直线 y=c(1 c b)与两条曲线 y=f(x)和 y=g(x)共有从左到右的四个不同的交点,设交点坐标分别为 A(x1,c),B(x2,c),C(x3,c),D(x4,c),则总有线段AC=BD=c 恒成立.结论 2 的评析与证明思路由结论 1 的评析与证明思路可知,当 1 c b 时,可证明x3=x1+c,x4=x2+c,故2023 年第 9 期(下)中学数学研究33AC=x3 x1=c,BD=x4 x2=c,因此,当 1 c b)与两条曲线 y=f(x)和 y=g(x)共有从左到右的四个不同的交点,设交点坐标分别为 A(x1,c),B(x2,c),C(x3,c),D(x4,c),则总有线段AB=CD=c 恒成立.结论 3 的评析与证明思路由结论 1 的评析与证明 思 路 可 知,当 c b 时,可 证 明x2=x1+cx4=x3+c即AB=x2 x1=c,CD=x4 x3=c,因此,当 c b时,总有线段 AB=CD=c 恒成立,结论 3 得证.结论 4直线 y=c(1 c b)与两条曲线 y=f(x)和 y=g(x)共有从左到右的四个不同的交点,设交点坐标分别为 A(x1,c),B(x2,c),C(x3,c),D(x4,c),存在常数c(1 c b 2),使得线段 AB=BC=CD=c2成立.结论 4 的评析与证明思路由结论 1 和结论 2 可知,当 1 c b 时,总有线段 AB=CD,AC=BD=c恒成立.要证明存在常数 c(1 c b 2),使得线段 AB=BC=CD=c2成立,只需证明存在常数c(1 c b 2)使得 x2 x1=c2(4-9)成立即可,其中x1 0 x2,将(4-9)代入(4-2)可得 ex1+c2(x1+c2)=c,联立(4-1)并整理得 ex1+c2 ex1c2=0(4-10),问题转化为证明方程(4-10)有解即可.设 h(x)=ex+c2 exc2,h(x)=ex(ec2 1),问题转化为证明函数 h(x)在(,0)上存在零点,由 1 c b 2 可知12c2 0,h(x)0,h(x)在 R 上单调递增.h(0)=ec2 1 c2,令t(c)=ec2 1 c2(1 c 0,t(1)=e 32 0,故 t(c)t(1)0,即 h(0)0.又 h(2)=e2+c2 e2c2,由 1 c2 12,32 2+c2 1,e2 0,可知 h(2)1e12 0,由零点存在定理可知存在 x (2,0),使得函数 h(x)=0成立,即方程(4-10)有解,故存在常数 c(1 c b 2),使得线段 AB=BC=CD=c2成立,结论 4 得证.5 教学建议本文在对 2022 年新高考 I 卷第 22 题解题探究的基础上,借助 GeoGebra 探究直线与曲线交点横坐标和差间的等量关系和以交点为端点的线段长度与之间存在的等量关系,通过图象和数据直观发现以上 4 个结论并给出证明过程,是函数与导数板块与解析几何板块知识点的结合,根据以上探究过程,笔者给出以下四点教学建议:5.1 注重信息技术在课堂教学中的应用,培养学生的直观想象素养以 GeoGebra、几何画板等软件为代表的信息技术工具是数学教师设计并实施数学实验的良好载体,是落实引导学生把握数学内容的本质,注重信息技术与数学课程的深度融合的课程基本理念,培养学生的直观想象素养的有效途径.教师在日常教学过程中应注重信息技术在课堂教学中的应用,这不仅能将数学问题从抽象转化为具体,有助于学生对问题情境的理解,而且有利于培养学生的直观想象素养.5.2 注重加强数学运算和逻辑推理能力以极值点偏移为背景的问题是函数与导数板块的高频考点,要求学生在熟练掌握函数与导数基础知识的前提下对知识进行运用、分析并解决实际问题,属于“多想多算”,且注重对分析法的考核,因此,学生必须在平时的练习过程中加强数学运算和逻辑推理能力,函数与导数板块在数学运算上容易出错的知识点包括幂、指数、对数的互化,含有指数、对数的不等式求解,复合函数的求导等.逻辑推理不仅体现在函数与导数试题的解题过程对分析法的运用上,还渗透在学生能够有逻辑地思考问题,形成重依据、有条理、合乎逻辑的思维品质上.5.3 重视引导学生建立多知识点或不同知识板块间的联系,深化转化与化归思想由于 2022 年全国新高考 I 卷第 22 题将函数与导数和数列结合起来进行考查,本文探究发现并证明的 4 个扩展结论涉及函数与导数和解析几何板块知识点的结合,因此,教师在日常教学过程中应重视引导学生建立多知识点或不同知识板块间的联系,深化转化与化归思想,鼓励学生将难题转化和归结为已习得的知识进行求解.例如,把对方程根的个数的求解转化为对应函数零点的个数,将二次项系数为负数的一元二次不等式化归为二次项系数为正数的一元二次不等式进行求解等.5.4 夯实变式训练,培养学生的创新意识和问题解决能力将函数与导数与数列结合起来进行考查是 2022 年全国新高考 I 卷第 22 题试题命制的创新点,以证明直线与题干所给的两条曲线从左到右的三个交点的横坐标成等差数列设问,是发挥高考对人才选拔功能的体现,因此,教师在设计题目时,要注意深挖试题内涵,从试题测评的层面检验学生是否真正认识到数学知识的本质,突出教育评价的指挥棒作用,并对试题进行变式和创新,使学生能从不同的角度或难度层次上进行解题训练,进而培养学生的创新意识和问题解决能力.34中学数学研究2023 年第 9 期(下)构建一题一课,彰显几何直观 记“线段垂直平分线的性质”的教学与反思广东省东莞市可园中学(523000)李伟尚摘要“一题一课”能将知识与数学问题有机结合,是变式教学的体现,展示了知识的发展和数学问题的演变过程.在几何教学活动构建“一题一课”,有利于发展学生逻辑思维,培养学生数学品质.教师要从教学分析、教学内容设计等方面进行探究与优化,彰显几何直观,落实“双减”政策的同时,提高学生数学核心素养.关键词 一题一课;变式教学;几何直观;核心素养“一题一课”就是指一节课只用一道习题,教师围绕一道习题来展开整节课的教学.它通过题目的变式,向学生展示数学问题的演变,引导学生总结解题规律和方法,培养学生的知识迁移和发散的能力,让不同层次的学生各有所得,收到举一反三的效果,提高学生的应变能力和核心素养.笔者结合自己近期的教学实践,以“线段垂直平分线的性质”为例,在此谈谈对本节内容“一题一课”教学方式的构建和教学反思.1 教材分析与教学目标本节课选自人教版八年级上册第十三章第一节 线段的垂直平分线的性质.在此之前,学生已经学习了全等三角形,并对轴对称的性质有了深刻的认识,这为本节课打下了学习基础;线段垂直平分线的性质为证明线段相等和直线互相垂直提供了方向,因此,它在教材中起着承上启下的作用.综上所述,笔者确定本节课的教学目标为:(1)知识与技能:理解并掌握线段垂直平分线的性质;能灵活运用线段的垂直平分线的性质解题.(2)过程与方法:经历线段的垂直平分线的性质探索和证明的过程,提高学生逻辑推理能力.(3)情感态度和价值观:通过教师引导和学生自主探究,增强学生对数学学习的兴趣,提升数学核心素养.2 教学实践2.1 复习回顾,理清概念 从数学内容结构上看,“概念、性质、判定、应用”是探究平面图形的四个方面,概念是整个探究的始端,也是基础,更是探究图形性质、判定的“基石”1.我们立足学情,从学生的认知水平出发,采用“抢答”的形式,回顾线段垂直平分线的概念.问题 1 线段的垂直平分线的定义经 过 线 段并 且于这条线段的,叫做这条线段的垂直平分线.问题 2如图 1,直线 l是线段 AB 的垂直平分线,则=,.图 12.2 新知探究,类比学习数学新课程标准中明确提出:教师要有意识地培养学生的问题思维,学生只知道结果,不求过程的错误思想应该完全摒弃2.因此,笔者在新知探究中采取“明确探究要素 度量长度,发现结论 提出猜想 证明猜想”的方式.在“明确探究要素”这一环节中,笔者先给学生抛出以下几个问题:1探究线段垂直平分线的性质是探究什么?2探究线段垂直平分线的性质的起点在哪里?3如何证明线段垂直平分线的性质?参考文献1 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017 年版 2020年修订)M.北京:人民教育出版社,2020.1-3.2 邓启龙.几种典型函数的极值点偏移模型 J.中学数学研究,2022(06):50-52.3 王永生.极值点偏移问题的主题教学实践 J.数学通讯,2021(06):20-25.4 曾雪萍.利用对数平均不等式解决极值点偏移问题 J.数学学习与研究,2020(09):157.5 宗欣妍.极值点偏移问题的常见解法以 2021 年高考数学新高考I 卷第 22 题为例 J.中学数学月刊,2022(05):64-66.6 李现勇.基于 GeoGebra 的高中数学建模案例研究 J.中学数学杂志,2022(09):12-16.