椭圆解题方法及技巧.doc

椭圆的解题方法和技巧
安徽省宿州市褚兰中学 海平
一、 椭圆的定义的应用
椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。
 例1  的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。求顶点的轨迹。
 分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。
 解析：∵、、成等差数列，∴，即，
 又，∴。
 根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。
 又∵，∴，即，
 ∴，∴。
 故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。
 ∴点的轨迹方程为。
评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。
 例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判断的形状。
 分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。
 解析：由，解得。
 又，故满足。
  ∴为直角三角形。
 评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。
二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。
例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,,求椭圆的方程.
【解析】设椭圆方程为（m＞0,n＞0且m≠n）.
∵椭圆经过，点，∴，点坐标适合椭圆方程，
则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m= , n= .
∴所求椭圆方程为
 评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0,m≠n），由题目所给条件求出m，n即可.
三、 利用向量解决椭圆问题
几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．

 评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系．
例5、参数范围问题

．
 评注：解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值范围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围．