2019三模理数试卷+答案.doc

2019年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测
理科数学试题
本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A．
【命题意图】本题考查复数的运算和几何意义，难度：简单题．
2．已知集合，，则集合的子集个数为
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】B．
【命题意图】本题考查集合和子集的概念，难度：简单题．
3．某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新、旧培育方法的产量进行对比，抽取100个相同规模的大棚，统计各大棚的产量(单位：百千克)，其频率分布直方图如下图，据此以下判断错误的选项是
第3题图
旧培育法
新培育法
产量/百千克
产量/百千克

A．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化
B．采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高
C．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了
D．新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大
【答案】D．
【命题意图】本题考查频率分布直方图，难度：简单题．
4．若满足约束条件，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B．
【命题意图】本题考查线性规划，难度：简单题．
5．下列命题中正确的是
A．若“且”为假命题，则，均为假命题
B．命题“若，则”的逆否命题为“若，则或”
C．命题为“存在，使得”，则为“任意，都有”
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】D．
【命题意图】本题考查简易逻辑，难度：简单题．
6．已知函数（，）在内仅有两个零点和，则
A．， B．， C．， D． ，
【答案】D．
【命题意图】本题考查三角函数的图像和性质，难度：中等题．
7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C．
【命题意图】本题考查程序框图，难度：中等题．
8．已知在中，为线段的中点，点在边上且，与交于，则
A． B． C． D．
【答案】A
【命题意图】考查平面向量的线性运算与基本定理，中等题．
9．如图，有一块正方形菜地，在一条河边，在处有一座桥通向对岸，在点和河对岸的点，各一个蔬菜运送点，收获的蔬菜可送到两个蔬菜运送点运走．菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜经过点送到蔬菜运送点较近，中的蔬菜送到蔬菜运送点较近，和的分界线上的蔬菜，送到两个蔬菜运送点的距离相等．则分界线是下列哪种曲线的一部分
A．圆 B．椭圆
第8题图
C．双曲线 D．抛物线
【答案】C．
【命题意图】本题考查圆锥曲线概念的运用，难度：中等题．
10．已知的内角，，所对的边分别为，，.若，且的面积为，则=
A． B． C． D．
【答案】A．
【命题意图】本题考查解三角形与向量的数量积运算，难度：中等题．
11．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则
A． B．
C． D．
【答案】C．
【命题意图】本题考查函数的基本性质，难度：中等题．
12．已知为长方体，在空间内到平面，平面，平面，平面距离相等的点的个数为
A．1 B．4 C．5 D．无穷多
第13题图
【答案】C．
【命题意图】本题考查空间点线面位置关系，难度：较难题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面中，直角三角形的个数为 ▲ ．
【答案】3．
【命题意图】本题考查三视图，难度：简单题．
14．甲、乙、丙、丁四人被派往三个单位实习，每个单位至少去一人，其中甲和乙不能去同一单位，则不同的分派方案种数为 ▲ ．
【答案】．
【命题意图】考查排列组合知识，中等题．
15．已知椭圆的内接矩形面积的最大值为(为椭圆的半焦距长)，则椭圆的离心率为 ▲ ．
【答案】．
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和离心率，难度：中等题．
16．函数在上的最大值为 ▲ ．
【答案】．
【命题意图】本题考查导数的应用与三角恒等变形，难度：较难题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，是的前项和，求使成立的最大的正整数．
【命题意图】本题考查等差数列和等比数列以及数列求和，难度：简单题．
【解析】（1）设公差为.由已知
即，解得或（舍）
． （6分）
（2）因为
所以
由解得，所以使成立的最大的正整数． （12分）
18．（12分）
在三棱台中，，，，面，．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．
【命题意图】本题考查空间线、面位置关系，空间角的计算．难度：中等题．
【解析】（1）证明：在直角梯形中，，
则．
又，所以面，则． （3分）
因为面，所以，故面．
所以． （6分）
（2）解：由条件及（1），可建立空间直角坐标系如图所示．
则，，，．
，，．
设面的法向量为，
则由得
令，解得，所以．
所以， （10分）
设直线与平面所成角为，则，． （12分）
注：其他方法请酌情给分．

19．（12分）
已知点是抛物线上一点，为焦点，．
（1）求抛物线的方程；
（2）若斜率为1的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，抛物线在，两点的切线交于点．求证：线段的中点在抛物线上．
【命题意图】本题考查抛物线的标准方程和性质，运算求解能力的培养．难度：中等题．
【解析】（1）由条件知，所以．
故所求抛物线方程为． （5分）
（2）设直线的方程为，，．
将与联立得，则，．
，于是的中点为．
设抛物线在处的切线为，与联立得，令得，则抛物线在处的切线为，同理，处的切线为．
联立两条切线方程解得交点．于是，的中点为，
因为，所以，易知在抛物线上． （12分）

20．（12分）
二项分布与正态分布是概率统计中两大非常重要的分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从这两大分布，例如检查产品的不合格品数，射击比赛中射中目标的次数等近似服从二项分布；长度的测量误差，零件的尺寸，电子管的使用寿命等服从或近似服从正态分布．并且这两大分布的关系非常密切，经研究表明，如果一个随机变量服从二项分布，当且时，二项分布就可以用正态分布近似替代，即，其中随机变量．
（1）如果某射手每次射击击中目标的概率为，每次射击的结果相互独立．
（i）计算他在连续三次射击中恰连续两次命中目标的概率；
（ii）他在10次射击中，击中目标几次的概率最大？并说明理由．
（2）如果某射手每次射击击中目标的概率为，每次射击的结果相互独立，在100次的射击中，记击中目标的次数为，计算．
参考数据:，，
．
【命题意图】本题考查二项分布与正态分布，中档题．
解：（1）（i）记事件：“连续三次射击中连续两次命中目标”
（3分）
（ii）设该射手在10次射击中，击中目标的次数为，则，则
（5分）
从而
（或也可）
当时，；当时，
因此，他在10次射击中，击中目标6次的概率最大. （8分）
（2）根据题意，如果一个随机变量，当，且时，二项分布就可以用正态分布近似替代，即，其中随机变量．
，设，
（12分）

21．（12分）
已知函数．
（1）若为函数的一个极值点，求实数的值；
（2）若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【命题意图】本题考查导数的计算的导数性质的运用，运算求解能力的培养．难度：中等题．
【解析】（1）设，则
，
由题，，即，
又函数在上是增函数，且，∴．
经检验，此时为函数的极小值点，故． （5分）
（2）方法1：等价于，
记，则函数在区间上有且只有一个零点，
，
① ，即时，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
又，，，
此时在上有唯一零点，在上无零点，符合题意；
② ，即时，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又，，，
此时在上有唯一零点，在上无零点，符合题意；
③ ，即时，
，在上单调递增，又，，
此时在上有唯一零点，符合题意；
④ ，即时，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又，，
此时在上有唯一零点，在上无零点，符合题意；
⑤ 时，，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故，
此时在上有唯一零点，符合题意；
⑥ 时，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又，，故在上有唯一零点，
由题可知在上无零点，需，解得．
综上，． （12分）
方法2：显然不是的零点，所以，
令（），则．
有一个零点的图像有一个公共点．
令，则，由得．
易得时，，时，．所以．
所以，时，，时，．
所以，在和上单调递增；在上单调递减．
又趋向于时，令，相当于趋向于时，趋向于，从而趋向于；趋向于时，趋向于无穷大；，．
结合图像可知，符合题意．

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，且单位长度相同．直线的极坐标方程为，曲线(为参数）．
（1）试写出直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）若为曲线上的动点，求点到直线的距离的取取值范围．
【命题意图】本题主要考查曲线方程的变换，直线的参数方程与极坐标方程，圆的方程，考查运算求解能力．
【解】（1），，
故直线的直角坐标方程为，
曲线，(为参数），消去参数得，
所以曲线的普通方程为． （5分）
（2）由（1）知曲线：表示圆心为，半径为的圆．
圆心到直线的距离．
所以若到直线的距离最小值为，最大值为．
所以若到直线的距离的取值范围是．（10分）
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知函数
（1）求函数的值域；
（2）当时，证明：．
【命题意图】本题考查绝对值不等式的性质．难度：中等题．
【解】
（1），根据函数的单调性知，的最小值为2，无最大值，所以的值域：
（2）要证，只要证：，只要证：
，只要证：，又，有：，
所以：成立．
所以．