有限元法理论及应用参考答案.doc

有限元法理论及应用大作业
1、 试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些？
答：有限元分析的主要步骤主要有：
（1）结构的离散化，即单元的划分；
（2）单元分析，包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理 建立节点力与节点位移的关系，最后得到单元刚度方程；
（3）等效节点载荷计算；
（4）整体分析，建立整体刚度方程；
（5）引入约束，求解整体平衡方程。
2、有限元网格划分的基本原则是什么？指出图示网格划分中不合理的地方。

题2图
答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况，尽可能少一些单元。
有限元划分网格的基本原则:
1. 拓扑正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接
2. 几何保持原则。即网络划分后，单元的集合为原结构近似
3. 特性一致原则。即材料相同，厚度相同
4. 单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小
5. 密度可控原则。即在保证一定精度的前提下，网格尽可能的稀疏一些。
（a）(b)中节点没有有效的连接，且（b）中单元边差相差很大。
（c）中没有考虑对称性，单元边差很大。
3、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？

题3图
答：（a）划分为杆单元， 8个节点，12个自由度。
（b）划分为平面梁单元，8个节点，15个自由度。
（c）平面四节点四边形单元，8个节点，13个自由度。
（d）平面三角形单元，29个节点，38个自由度。
4、什么是等参数单元？。
答：如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。
5、在平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式，为什么？
(1). (2).
答：（1）不能，因为位移函数要满足几何各向同性，即单元的位移分布不应与人为选取的 坐标方位有关，即位移函数中的坐标x,y应该是能够互换的。所以位移多项式应按巴斯卡三角形来选择。
（2）不能，位移函数应该包括常数项和一次项。

6、设位移为线性变化，将图示各单元边上的载荷等效到相应的节点上去。
（1）集中力F平行于x轴，e点到i、j点的距离分别为ｌie，ｌje；
（2）边长为ｌij的ij边上有线性分布载荷，最大值为q。

题6图
答：（1）
（2）i,j两节点受到的力分别为，

7、图示三角形ijm为等边三角形单元，边长为ｌ，单位面积材料密度位ρ，集中力F垂直作用于mj边的中点，集度为q的均布载荷垂直作用于im边。写出三角形单元的节点载荷向量。

题7图 题8图
答：将q移置到m,i节点：
将F移置到m,j两节点：
将重力移置到i,j,m点：
叠加后得：

8、如图所示为线性位移函数的三角形单元，若已知i、j两个节点的位移为零，试证明ij边上任意一点的位移都为零。
证：设ij边上任一点坐标为x,y，则其位移为：

∵i、j点位移为0
∴所以ui,vi,uj,vj均为0
要证 {δ}=0，只需证 Nm=0
∵Nm=(am+bm x +cmy)/2A ，am=xiyj-xjyi ，bm=yi-yj ，cm=xj-xi
∴Nm= [xiyj-xjyi+(yi-yj)x+(xj-xi)y]/2A=[xyi-yxi]/2A
∵该点为ij边上任一点
∴yi/xi=y/x
∴Nm = 0
9、已知图示的三角形单元，其jm边和mi边边长均为a，单元厚度为t，弹性模量为E，泊松比为μ＝0，试求：
（1）行函数矩阵N；
（2）应变矩阵B；
（3）应力矩阵S；
（4）单元刚度矩阵K。
解：令m点为坐标原点，则m点坐标为（0,0），j点坐标为（0,a），i点坐标为（a,0）
，，
，，;
，，.

,,

题9图 题10图
10、如图所示，设桁架杆的长度为ｌ，截面积为A，材料弹性模量为E，单元的位移函数为u(x)=α1＋α2x，导出其单元刚度矩阵。
答：：1点： x=0 u=u1
2点： x=l u=u2

[K] e=∫∫V[B]T[D][B]dv
[D] -----为弹性矩阵(对于一维问题,为E)

11、如图为一悬臂梁，其厚度为1m，长度为2 m，高度为1 m，弹性模量为E，泊松比为μ＝1/3，在自由端面上作用有均匀载荷，合力为F，若用图示两个三角形单元进行有限元分析，试计算各个节点的位移；若将悬臂梁离散为四个平面三角形单元，令μ＝0，试求整体刚度矩阵。
解：离散为两个单元求各节点位移,假设t很小,则该问题为平面应力问题：
一、单元编号、节点坐标

单元号
节点号
①

②

i
1
2
j
2
3
m
4
4
各节点的坐标为：1(0,0),2(2,0),3(2,1),4(0,1)
面积A=1;
二、求单元刚度矩阵
（１）对单元① (i=1,j=2,m=4)
由ai=xjym-xmyj bi=yi-ym ci=xm-xj 得
b1= -1 c1=-2 b2=1 c2=0 b4=0 c4=2
由 r,s = i,j,m
令 得:

（１）、对单元② (i=2,j=3,m=4)
同理求得：b2 = 0 c2 = -2 b3 = 1 c3 = 2 b4 = -1 c4=0
求得：

可得单元②的单元刚度矩阵：

三、整理刚度矩阵
将两个单元刚度矩阵的子矩阵对号入座，组成整体刚度矩阵

四、单元等效节点力和整体等效节点载荷
∵单元①不受分布力作用
∴{R} ① = 0
单元②有分布力F/t作用，利用

∵ij边上 Lm = 0
∴

由 得

将两个单元的等效节点力以对号入座的方式迭加，再加上节点1和4 上的未知集中力，得整体等效节点载荷为

五、求解整体平衡方程
整体平衡方程：

约束边界条件为： u1 = v1 = u4 = v4 = 0
将这四个零位移的行划去，剩下方程为：

得整体节点位移列阵：

题11图
12、利用对称性或反对称性等原理建立图示结构的有限元计算模型。

题12图 题13图
答： 1.定义工作文件名和工作标题
(1) 定义工作文件名：执行Utility Menu>File>Change Jobname命令，在弹出的<Change Jobname>对话框中输入“Plate”。选择<New log and error files>复选框，单击按钮。
(2) 定义工作标题：执行Utility Menu>File>Change Title命令，在弹出的<Change Title>对话框中输入“The Analysis of Plate Stress with small cube”，单击按钮。
(3) 重新显示：执行Utility Menu>Plot>Replot命令。
(4) 关闭三角坐标符号：执行Utility Menu>PlotCtrls>Window Controls>Window Options命令，弹出<Window Options>对话框。在<Location of triad>下拉列表框中选择“Not Shown”选项，单击按钮。
2.定义单元类型和材料属性
(1) 选择单元类型：执行Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete命令，弹出<Element Type>对话框。单击按钮，弹出如图所示的<Library of Element Type>对话框。选择“Structural Solid”和“Quad 4node 42”选项，单击按钮，Options…>select K3: Plane Strain >OK>然后单击按钮。

(2) 设置材料属性：执行Main Menu>Preprocessor>Material　Props>Material Models 命令， Material Models命令，弹出<Define Material Models Behavior>窗口。双击<Material Model Available>列表框中的“Structural\Linear\Elastic\Isotropic”选项，弹出<Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1>对话框。在<EX>和<PRXY>文本框中分别输入“2ell”及“0.3”。单击按钮，然后执行Material>Exit命令，完成材料属性的设置。
(3)保存数据：单击ANSYS Tools中的按钮。
3.创建几何模型
(1)生成一个矩形面：执行Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Are-
As>Rectangle>By Dimensions命令，弹出<Create Rectangle by Dimension
s 对话框>。如图所示输入数据，单击按钮，在<Output Window>窗口中显示一个矩形。

(2)和上面步骤一样,只是数据改变。

(3)执行面相操作：执行Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Bool-
Leans>Subtract>Areas命令，弹出一个拾取框。拾取编号为A1的面，单击按钮。然后拾取编号为A2的圆面，单击按钮。生成结果如图所示。

(4)保存几何模型：单击Ansys Toolbar中的按钮。
4.生成有限元网格
(1)设置网格尺寸的大小：执行Main Menu>Preprocessor>Meshing>Size Cn-
trls>MaualSize >Global>Size命令，弹出如图所示的<Global Element Si-
zes>对话框。在<Element edge length>文本框中输入“0.5”，单击按钮。

(2) 采用自由网格划分单元：执行Main Menu>Preprocessor>Mesh>Areas>
Free命令，弹出一个拾取框。拾取编号为A3的面，单击按钮，生成的网格如图所示。
(3)保存结果：单击工具栏中的按钮。

5.施加载荷并求解
(1)施加约束条件：执行Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Struct-
rual>Displacement>on Lines命令。弹出一个拾取框。拾取编号为L10和L9的线，单击按钮，弹出如图所示的<Apply U,ROT on Lines>对话框。选择“UX”选项，单击按钮。

(2)施加载荷：执行Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structrual>
Pressure>On Lines命令，弹出一个拾取框。拾取编号为L2的线，还有上下两条线。单击按钮，弹出如图所示的<Apply PRES on Lines>对话框。在<Load PRES value>文本框中输入“-1000”单击按钮，生成结果如图所示。
(3) 求解：执行Main Menu>Solution>Solve>Current LS命令，弹出一个提示框。浏览后执行File>Close命令，单击按钮开始求解运算。当出现一个<Solution is done>对话框时，单击按钮，完成求解运算。
(4)保存分析结果：执行Utility Menu>File>Save as命令，弹出<Save as>对话框。输入“Plate RESU”，单击按钮。

13、分析图示带方孔、对角受压的正方形薄板的变形，试建立其有限元计算模型。
答：该题为对称结构受对称载荷作用，可作如下简化，即取原薄板的1/4，x轴上各点的垂直位移为0，y轴上各点的水平位移为0。集中力作用于顶部节点，但大小减半。
（1）建立有限元模型；
（2）用通用有限元软件进行计算。
答：1.定义工作文件名和工作标题
(1) 定义工作文件名：执行Utility Menu>File>Change Jobname命令，在弹出的<Change Jobname>对话框中输入“Plate”。选择<New log and error files>复选框，单击按钮。
(2) 定义工作标题：执行Utility Menu>File>Change Title命令，在弹出的<Change Title>对话框中输入“The Analysis of Plate Stress with small cube”，单击按钮。
(3) 重新显示：执行Utility Menu>Plot>Replot命令。
(4) 关闭三角坐标符号：执行Utility Menu>PlotCtrls>Window Controls>Window Options命令，弹出<Window Options>对话框。在<Location of triad>下拉列表框中选择“Not Shown”选项，单击按钮。
2.定义单元类型和材料属性
(1) 选择单元类型：执行Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete命令，弹出<Element Type>对话框。单击按钮，弹出如图所示的<Library of Element Type>对话框。选择“Structural Solid”和“Quad 4node 42”选项，单击按钮，Options…>select K3: Plane Strain >OK>然后单击按钮。

(2) 设置材料属性：执行Main Menu>Preprocessor>Material　Props>Material Models 命令， Material Models命令，弹出<Define Material Models Behavior>窗口。双击<Material Model Available>列表框中的“Structural\Linear\Elastic\Isotropic”选项，弹出<Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1>对话框。在<EX>和<PRXY>文本框中分别输入“2ell”及“0.3”。单击按钮，然后执行Material>Exit命令，完成材料属性的设置。
(3)保存数据：单击ANSYS Tools中的按钮。
3.创建几何模型
（1）特征点
ANSYS Main Menu: Preprocessor> Modeling> Create> Keypoints> In Active CS 依次输入四个点的坐标：input:1(-10，0),2(10，0),3(0，-10),4(0，10) >OK

（1）生成矩形面
ANSYS Main Menu: Preprocessor> Modeling> Create> Areas> Arbitrary> Through KPS 依次连接四个特征点，1(10,0),2(-10,0),3(0,-10),4(0,10) →OK

（2）重复上面的步骤，只是输入的关键点的位置有所不同，再在这个大的方形中再建一个小方形。

（3）执行面相操作：执行Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Bool-
Leans>Subtract>Areas命令，弹出一个拾取框。拾取编号为A1的面，单击按钮。然后拾取编号为A2的圆面，单击按钮。生成结果如图所示。

4.生成有限元网格
和上题是一样的。

5.施加载荷并求解
和上题不同是施加约束条件要建立关键点10（0，0），对其进行全方位约束。
施加载荷的时候是集中载荷，执行Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structrual> Force/Moment> On Keypoints

14、图示为一带圆孔的正方形平板，在x方向作用均布压力0.25Mpa，板厚1m，具体尺寸如图，试完成：
（1）建立有限元模型；
（2）用通用有限元软件进行计算。

题14图
解：根据对称性，取原结构的1/4划分单元，如图：单元形式为四节点四边形单元，在靠近开孔的部分单元划分应较密，在远离开孔的部分单元划分较疏。

单元划分整体结构图

小孔附近单元放大图
采用ansys软件分析取1/4分析
因为板厚1m故可以简化为平面应力问题
选择材料系数
选择plane82单元
单元性质： 2 维 8 节点结构实体单元
plane82 单元说明
  plane82是 2 维 4 节点单元 (PLANE42) 的高阶版本。对于四边形和三角形混合网格，它有较高的结果精度；可以适应不规则形状而较少损失精度。本 8 节点单元具有一致位移形状函数，能很好地适应曲线边界。
本单元有8个节点，每个节点有 2 个自由度，分别为 x 和 y 方向的平移，既可用作平面单元，也可以用作轴对称单元。本单元具有塑性、蠕变、辐射膨胀、应力刚度、大变形以及大应变的能力。

划分网格
线段L4施加竖直y方向约束
线段L5施加水平x方向约束

线段L2施加水平向左均布压力0.25MPa

结果如下：

X方向应力：

全图

Y方向应力分布：

全图

在y轴上：σx=-0.634856MPa
在x轴上: σy=0.171986MPa,
与精确结果相比, σx有很大误差,结果不在误差范围内
但σy误差很小。但是也不是很精确弹塑性力学理论计算应该为q=0.25Mpa

15、设厚壁圆筒的内径为10厘米，外径为20厘米，承受内压为1.2*108Pa,材料的弹性模量为2*1011N/M2，泊桑比为0.3，试完成：
（1）建立有限元模型；
（2）用通用有限元软件进行计算。
将计算结果和弹性力学精确解进行比较。
解：根据对称性，取原结构的1/4划分单元，如图：单元形式为四节点四边形单元。通过对2段前后圆弧来控制划分网格情况。 而外大气压为1.01*105Pa相对内压1.2*108Pa为几个数量级，故可以忽略不计。

在有限元软件ansys进行分析选择Plane82为单元类型兵在下面选中平面应力选项

定义材料性能参数

划分有限元网格并施加水平和垂直方向的约束。

对线段L3施加P=1.2*108Pa压力

求解有误，尝试好多次都是这样，所以模型不宜采用1/4模型分析采用整体分析。

划分有限元网格

添加约束和压力载荷

X方向应力分布

Y方向应力分布

基于miss屈服准则的等效应力
通过弹塑性力学平面问题极坐标解答计算

当R=a时

通过ansys软件计算比理论计算结果偏大。