人口指数增长模型.doc

Malthus人口指数增长模型的检验和改进
姓名：陈明富 学号：20071060005 学院：信息 专业：计科

Malthus人口指数增长模型的假设：
1、人口的增长率为常数，记为
2、记时刻的人口为，初始时刻的人口为
模型建立：
微分方程为：

两端积分，并结合初值条件得：
模型检验：
从1790─1980年间美国每隔10年的人口记录如下表：
年 份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
人口(106)
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
年 份
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
人口(106)
31.4
38.6
50.2
62.9
76.0
92.0
106.5
年 份
1930
1940
1950
1960
1970
1980

人口(106)
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5

根据上表：当时对应的1790年，对应的是1800年，十年的增长率为 ，，则
将表中的数据代入后发现，当人口较少时模型的预测结构与实际情况相差不大。但人口多时模型的预测与实际相差比较大，同时根据所列的方程发现，这不合常理。在讨论模型的合理性时发现人口的增长率是随人口的增长而呈下降趋势的。
模型改进：
随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口的增长开始起阻滞的作用，人口的增长率也会随之逐渐下降。
模型假设：
1、人口增长率是当时人口数的递减函数
2、表示资源资源和环境条件下的最大人口容量
3、表示固有增长率，即人口很少时，
模型建立：
设，显然时，.由假设时，
应，即
，
用代替Malthus人口指数增长模型中的：

求方程的解为：

所求出的方程解为下图所示：

模型讨论：
该模型相对于Malthus人口指数增长模型来说更合理，克服了人口指数增长模型的不足，对于人口的增长起到了一定参考作用。