几何画板双曲线作法.doc

几何画板简明教程 甘肃省环县第一中学刘金堂
第十课 双曲线的画法的画法和性质
一．双曲线的定义：
1．在平面内，到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2．双曲线的标准方程：
设M(x, y)是双曲线是上任意一点，双曲线的焦距为2c (c>0)，则如图建立直角坐标系，又F1、F2的坐标分别是F1(－c, 0), F2(c, 0)，若M点与F1、F2两点的距离的差的绝对值等于2a (c>a>0)，则 ||MF1|－|MF2||＝2a,
∴ , 图10－1
整理化简，并且设b2＝c2－a2得双曲线的标准方程 .
3．双曲线的第二定义：
设动点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线: x＝的距离的比是常数(c>a>0)，则点M的轨迹是双曲线。点F是双曲线的一个焦点，直线是双曲线中对应于焦点F的准线。常数e＝ (e>1)是双曲线的离心率。 图10－2
4．双曲线的参数方程：
以原点为圆心，分别以a、b (a, b>0)为半径作两个圆，|OA|＝a, |OB|＝b, 点P是以a为半径的圆上的一个点，点C是OA与半径为bd 圆的交点，过点C作CN⊥Ox，交直线OP于N，过点N作OX轴的平行线，过点P作PR⊥OP，交Ox轴于R，过点R作直线RM交过点N的x轴的平行线于点M，当点P在圆上运动时，M点的轨迹是双曲线。
设点M的坐标是(x, y)，φ是以Ox为始边，OP为终边的正角，取φ为参数，那么
x＝|OR|＝|OP|secφ＝asecφ,
y＝|RM|＝|CN|＝|OC|tgφ＝btgφ,
图10－3
∴ 双曲线的参数方程是 (φ是参数).
二．双曲线的画法：
画法1：
图10－4
1．在x轴上取两点F1、F2，使|OF1|＝|OF2|，用它们作为两个焦点；
2．在图形外作一条线段AB，使|AB|＝2a，(|AB|<|F1F2|)；
3．以O为中心，在x轴上取两点A1、A2，使|A1A2|＝|AB|；
4．在AB延长线上分别取C'，使|BC'|＝|A1F1|；在ABC'的延长线方向上作射线C'C，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C'C上作点C；
5．分别以F1、F2为圆心，用|BC|、|AC|为半径作圆，两圆相交于P1、P2两点；同样方法分别以F1、F2为圆心，用|AC|、|BC|为半径作圆，两圆相交于P3、P4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；
6．依次选中点C、点P1 (或点C、点P2 , 或点C、点P3, 或点C、点P3)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出双曲线。
理论根据：点P1是两圆的交点，∴ 点P1到F1与F2的距离的差等于两圆的半径的差,
即 ||PF1|－|PF2||＝|AC|－|BC|＝|AB|＝2a.
说明：点C不要直接在BC上取，那样画出来的双曲线将在x轴附近断开一段，因为计算机画的曲线实际上是由若干条小线段形成的，这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点C在BC上运动时，当点C非常接近点B时，两圆没有交点，于是画出来的图形就不好看了。
画法2：
1．在x轴上取两点F1、F2，使|OF1|＝|OF2|，用它们作为两个焦点；
2．在图形外作一条线段，使它的长度为2a，(2a<|F1F2|)；
图10－5
3．以F1为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P；
4．连接PF1、PF2，作PF2的中垂线与直线PF1交于点M，连接MF2；
5．将点M定义为“追踪点”，分别选中点M、点P，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出双曲线。
理论根据：
点M在PF2的中垂线上，∴ |MP|＝|MF2|, ∴ |MF1|－|MF2|＝|MF1|－|MP|＝|F1P|＝2a. 即点M到两个定点F1和F2的距离的差等于定长2a。点M的轨迹是一个双曲线。

画法3：1．在平面直角坐标系中取点F1、F2，使|OF1|＝|OF2|，把它们作为焦点，在OF1上取一点A1，使它作为双曲线的顶点；
2．度量OF1、OA1，把它们的长分别作为c和a，使a<c；
3．计算，在Ox轴上取一点N，使|ON|＝,过点N作Ox轴的垂线作为双曲线的准线；
4．选中Ox轴，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点P；
5．计算e＝，并度量|NP|的长，计算|NP|×；
6．以点F2为圆心，|NP|×为半径作圆，此圆与过点P且垂直于Ox轴的直线相交于M1，M2两点；
7．分别选中点M1和点P(或点M2和点)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出双曲线。

图10－6
理论根据：
点M1到点F2的距离是|NP|×，点M1到准线的距离|M1D|＝|NP|,
∴ ＝＝e. ∴ 点M1在双曲线上。
画法4：
1．以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a, b>0)为半径画两个圆;
2．圆OA与x轴的正方向交于点C，过C作x轴的垂线，
3．在圆OA上取一点P，连接OP，直线OP与过点C且和x轴垂直的直线交于点N，过点N作x轴的平行线NM；
4．过点P作PR垂直于OP，交x轴于点R；
5．过点R在x轴的垂线交直线NM于点M；
6．分别选中点M和点P，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出双曲线。
理论根据：
设∠xOP＝φ，
则|OR|＝|OP|secφ＝asecφ, |RM|＝|NC|＝|OC|tgφ＝btgφ, 根据双曲线的参数方程知，点M的轨迹是一个双曲线。 图10－7
三．双曲线中动弦的画法
(一)．双曲线焦点弦的画法：
图10－8
1．在坐标系中作出两个焦点F1、F2，在图形外作一条线段，使它的长等于2a(2a<|F1F2|)；
2．以F1为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P，连接PF2，作PF2的中垂线交直线PF1于点M；选中点M和点P，用“轨迹”功能作出双曲线；
3．连接PF1延长与圆交于点Q；
4．同样方法作出点Q在双曲线上的对应点N；
5．连接MN，则线段MN一定过焦点F1，且点M、N都在双曲线上；
6．保留坐标系、双曲线、焦点和焦点弦MN，隐藏其它的内容，这时选中点M，在双曲线上拖动它，则点N相应在双曲线上移动，且MN始终经过点F1.
理论根据：
双曲线上的点M、N是由圆上的点P、Q得到的，线段PQ在大圆上经过定点F1，则相应的线段MN在双曲线上也经过定点F1.
(二) 双曲线中过定点M的弦：
图10－9
1．用参数方程的画法画出一个双曲线，标出定点D；
2．在以a为半径的圆上取一点M，作出它在双曲线上的相应点P；
3．作DE⊥Ox轴，垂足是E，过点E作以a为半径的圆的切线ER、ES，连接RS；
4．过点D作RS的垂线，垂足是D'；
5．连接MS'，延长与圆交于N，作出点N在双曲线上的对应点Q；
6．连接PQ，则PQ始终经过点D，且P、Q都在双曲线上；
7．保留坐标系、双曲线、定点D和过定点D的弦PQ，隐藏其它的内容，这时选中点P，在双曲线上拖动它，则点Q相应在双曲线上移动，且PQ始终经过点D；.
理论根据：
双曲线上的点P、Q是由大圆上的点M、N得到的，线段MN在大圆上经过定点D'，则相应的线段PQ在双曲线上也经过定点MD。问题的关键是怎样由点D得到点D'，我们看到，点D和点D'的纵坐标是一样的，另外在双曲线中过点D且垂直于x的弦的两个端点在圆上的对应点恰好是R、S，所以点D'.一定在RS上，这样就得到了点D'.
(三) 双曲线中平行弦的画法：
图10－10
1．用参数方程的画法画出一条双曲线，计算两圆半径的比a, b，在双曲线上取一点P；
2．在图形外画一条斜率为k的线段，过点P作斜率为k的线段的平行线；
3．选中a, b, k, 用“计算”算出的值；
4．过原点O作斜率为的直线，与过点P斜率为k的直线相交于点M；
5．以点M为中心，将点P旋转180°，得到点Q，则点Q在双曲线上；
6．连接PQ，则PQ就是斜率为k的双曲线中的平行弦；
7．保留坐标系、双曲线、斜率k和PQ，隐藏其它的内容；选中点P在双曲线上拖动点P，则弦PQ始终与AC平行，且点P、Q在双曲线上；
8．作PQ的中点，标记为“追踪点”，则点P运动时，就可以得到中点的轨迹。
理论根据：
设P(x1, y1), Q(x2, y2)都在双曲线上，且PQ的斜率为k，若PQ的中点为M(x0, y0), 有，，两式相减得。
∴＝, ∴ 中点M在过原点且斜率为的直线上。

四．双曲线切线的画法：
(一) 过双曲线上一个定点P的切线：
1．在直角坐标系中画一条双曲线，同时标出它的两个焦点F1、F2；
2．在双曲线上标出定点P；
图10－11
3．以F1为圆心，双曲线的实轴2a为半径作圆；
4．连接F1P交圆于点M；
5．连接F2M，作F2M的中垂线，这条中垂线过点P，并且是双曲线的切线。
理论根据：
∵ 点P在双曲线上，
∴ ||PF1|－|PF2||＝2a,
又|F1M|＝2a，∴ |PF2|＝|MP|,
点P在F2M的中垂线上，直线MP经过点M且与双曲线有且仅有一个交点，所以直线MP是双曲线过点P的切线。
(二) 过双曲线外一点作双曲线的切线：
1．在直角坐标系中画一条双曲线，同时标出它的两个焦点F1、F2；
2．在双曲线外标出定点T；
3．以点F1为圆心，双曲线的实轴2a为半径作圆；
4．以点T为圆心，|TF2|为半径作圆，交圆F1于点M、N；
5．连接MF2，作MF2的中垂线TCP，同样连接NF2，作NF2的中垂线TDQ；
6．直线TCP、TDQ都是过点T的椭圆的切线。
理论根据：
点M、N在以点T为圆心，|TF2|为半径作圆上，∴ |TF2|＝|TM|＝|TN|，MF2的中垂线一定经过定点T，且中垂线上一定有一点P，满足||PF1|－|PF2||＝||PF1|－|PM||＝2a, 点P在双曲线上，∴ PT是双曲线的切线且PT经过点T；同理QT也是椭圆的切线且QT经过点T。

图10－12

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