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中考规律猜想专题
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，出现的形式可能以填空、选择或解答为主．现结合近年的中考试题来说明规律猜想题的酝酿与发现．
一、在函数图象中酝酿与发现
例1： (福州)如图，直线，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为          ．

思路点拨与解析：由直线，可知，得到，得到，可知的坐标为（２,０）,同理可知的坐标为（４,０）…，的坐标为（，０）
二、在生活图景中酝酿与发现
例2：（湖北省恩施州）(1)计算:如图①,直径为的三等圆⊙O、⊙O、⊙O两两外切，切点分别为A、B、C ，求OA的长（用含的代数式表示）.

（２）探索:若干个直径为的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中层圆圈的高度和（用含、的代数式表示）.
（3）应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（≈1.73）
思路点拨：有关两圆相切的问题，常作圆心距，在图①，通过添加辅助线构造等边三角形，OA恰好为等边三角形的高，借助勾股定理便可求解；在图③中，一层的高度恰好为，两层的高度恰好为+，三层的高度恰好为+ ，四层的高度恰好为+ ，层圆圈的高度＝+ 。
解析：(1)∵⊙O、⊙O、⊙O两两外切， ∴OO=OO=OO=a， 又∵OA= OA
       ∴OA⊥OO ， ∴OA=  = ，
（2）  = ， =，             
(3)       方案二装运钢管最多。即：按图10③的方式排放钢管，放置根数最多.
根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，
设钢管的放置层数为n,可得
解得， ∵ 为正整数 ，∴=35
钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068（根）
三、在图形的叠加中酝酿与发现
例3：（湖南衡阳）如下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n(n是正整数)个图案中由         个基础图形组成．

四、在数列或等式中酝酿与发现
例4：（广东中山）阅读下列材料：
，
，
，
由以上三个等式相加，可得
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）（写出过程）；
（2）=      ；
（3）=      ．
思路点拨与解析：在所给的一系列等式中，既要观察横向的变化规律，也要观察纵向的变化规律：等式左边的第一列数比第二列数小１，等式右边的第一列数为常量，括号内的列数也依次递增１。（1）
=++…+
==440．
（2）
（3）
=+
+…+==1260
五、在几何图形中酝酿与发现

例5：(嘉兴)如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．
（1）如图1，当n＝1时，求正三角形的边长
（2）如图2，当n＝2时，求正三角形的边长
（3）如题图，求正三角形的边长 （用含n的代数式表示）．
思路点拨：因所有正三角形都关于直径PQ对称，构建垂径定理即始终被直径ＰＱ垂直平分，连接构造直角三角形运用勾股定理列成方程便可求解，
解析： （1）在图２中，与交于点D，连结，则，在中，，即，解得．
（2）在图３中，设与交于点E，连结，则，
在中，即，解得．    
（3）在图１中，设与交于点F，连结，则，
在中，即，解得．    
六、在流程图中酝酿与发现
例6：如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2011次输出的结果为___________．

思路点拨与解析：这是一道分类考虑的程序流程题，解题的关键是确定输入的数据是奇数还是偶数，再按要求选择相应的代数式将傎代入求解，通过计算，会发现从第3次开始，这个程序输出的将以6、3、6、3循环，每两次一循环，由此20011-2=2009=1004×2+1，从而判断出第2011次输出的结果为6.
七、在表格中酝酿与发现
例7：（贵州遵义）小明玩一种的游戏,每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表:
挪动珠子数(颗)
2
3
4
5
6
……
对应所得分数(分)
2
6
12
20
30
……
 当对应所得分数为132分时,则挪动的珠子数为      颗.
思路点拨与解析：观察表格可发现规律，挪动珠子数n+1颗，则对应所得分数为n(n+1)分。由此可建立方程得n(n+1)=132，解得n=11，故挪动的珠子数为12颗
点评：这类以表格为载体，需要从中获取解题信息。解这类问题的关键在于结合表格中所给数据，分析、发现出表格中横行与纵列各个数据之间的内在联系，从特殊到一般，并用与表格相关的序列、数字、相应的字母、代数式等表示出表格中数列横向与纵向的变化趋势或规律．
八 在变换操作中酝酿
例8:（江西）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．
实验与论证
设旋转角∠A1A0B1=α（α< A1A0A2）， θ3，θ4，θ5，θ6，所表示的角如图所示．
（1）       用含α的式子表示角的度数：θ3=___________θ4=_____________θ5=____________
（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
设正n边形A0A1A2…An－1与正n边形A0B1B2…Bn－1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…Bn－1绕顶点A0逆时针旋转α（）．
（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；
（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．

思路点拨：（1）要求的度数，应从旋转中有关角度的变与不变上突破；（２）结合图形比较容易得到被垂直平分的线段，在证明时要充分利用背景中正多边形及旋转中的角度；（３）要探究的度数，要注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与求解度数的表达式；（４）要探究正ｎ边形中被垂直平分的线段，只要观察图形的对称性就可以找到解题的途径．也应注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与突破；
解析：（１）．
（２）答案不唯一，选图１，图１中有直线垂直平分．
证明：∵与是全等的等边三角形，∴，∴，∴，∴点在线段的垂直平分线上，所以直线垂直平分．
（３）当为奇数时，，当为偶数时，．
（４）存在，当为奇数时，直线垂直平分．
当为偶数时，直线垂直平分．
 实战演练（请读者根据需要选用）
1.（江苏常州）如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字。电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是      。

2.（2010 四川成都）已知是正整数，是反比例函数图象上的一列点，其中．记，，若（是非零常数），则A1·A2·…·An的值是________________________（用含和的代数式表示）．
3.（湖北孝感）用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要   个“O”。

4.（四川乐山）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．设第一个正方形的边长为1．

请解答下列问题：
（1）S1＝__________；
（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn＝__________．
5.（广东中山）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形（如图（2））；以此下去，则正方形的面积为      ．

6.（安徽）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是……………（    ）
A．495      B．497   C．501     D．503
7.（贵州贵阳）标系中，已知点的坐标为（1,0），将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，，…，．
（1）写出点M5的坐标；

（2）求的周长；
（3）我们规定：把点（0,1,2,3…）
的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标
称之为点的“绝对坐标”．根据图中点
的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来．
8.（顺义）如图，直线：平行于直线，且与直线：相交于点．
（1）求直线、的解析式；
（2）直线与y轴交于点A．一动点从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，……
照此规律运动，动点依次经过点，，，，，，…，，，…
①求点，，，的坐标；
②请你通过归纳得出点、的坐标；并求当动点到达处时，运动的总路径的长．

9.（山东省德州） ●探究   (1) 在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．

①若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为__________；
②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为__________；
(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)，
求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的
代数式表示），并给出求解过程．

●归纳  无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，
当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时，
x=_________，y=___________．（不必证明）
●运用  在图2中，一次函数与反比例函数

的图象交点为A，B．
①求出交点A，B的坐标；
②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，
请利用上面的结论求出顶点P的坐标．

参考答案
1. 6  2. 3. 181  4. 1＋；(1＋)·()n -1(n为整数) 5. 625  7. A
7.：M5（―4，―4）
（2）由规律可知，,，
    ∴的周长是
（3）由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：
令旋转次数为
①     当点M在x轴上时: M0（），M4（），M8（），M12（）,…，
即：点的“绝对坐标”为（）。
②     当点M在y轴上时: M2，M6，M10，M14,……，
即：点的“绝对坐标”为。
③     当点M在各象限的分角线上时：M1，M3，M5，M7,……，即：的“绝对坐标”为。
8．解：（1）由题意，得    解得 
∴直线的解析式为  ．
∵点在直线上，
∴．
∴．
∴直线的解析式为  ．
（2）① A点坐标为 （0，1），
则点的纵坐标为1，设，
∴．
∴．
∴点的坐标为 ．
则点的横坐标为1，设
∴．
∴点的坐标为 ．
同理，可得  ，． 
②经过归纳得  ，． 
当动点到达处时，运动的总路径的长为点的横纵坐标之和再减去1，
即 ．
9.解： 探究   (1)①(1，0)；②(-2，)；
(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为

，， ，则∥∥．
∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得
=．
∴O=．

即D点的横坐标是
同理可得D点的纵坐标是．
∴AB中点D的坐标为(，)．
归纳：，．
运用①由题意得解得或．∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1) ．
②以AB为对角线时，由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1) ．∵平行四边形对角线互相平分，∴OM=OP，即M为OP的中点．∴P点坐标为(2，-2) ．同理可得分别以OA，OB为对角线时，点P坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) ．
∴满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．

☆◆☆中考数学中的规律型问题☆◆☆
例1、（09江苏）下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：；
第2个数：；
第3个数：；
……
第个数：．
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）
A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数
【答案】A
例2、（09孝感）对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于
An、Bn两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
例3、（09重庆）观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（ ）
……
第1个
第2个
第3个

A． B． C． D．
【答案】D．
例4、（09河北）希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1
4=1+3 9=3+6 16=6+10

…
的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）

A．13 = 3+10 B．25 = 9+16
C．36 = 15+21 D．49 = 18+31
【答案】C
例5、（09内江）把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止，那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数。
【答案】2008
例6、（09仙桃）如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…依此类推，则第n个正方形的边长为________________．

【答案】

例7、（09泸州）如图1，已知Rt△ABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，，…，则CA1= ，

【答案】，.
例8、（09桂林）如图，在△ABC中，∠A＝．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； ……；∠A2008BC与∠A2008CD的平分线相交于点A2009，得∠A2009 ．则∠A2009＝ ．

B
A
C
D
第8题图
A1
A2

【答案】
例9、（09武汉）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．

【答案】46
例10、（09成都）已知，记，，…，，则通过计算推测出的表达式＝_______．
(用含n的代数式表示)
【答案】
例11、（09淄博）如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为 ．37S
A
A1
A2
A3
B3
B2
B1
B
C1
C2
C3
（第11题）
C

【答案】37S

例12、（09娄底）王芳同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n个“中”字形图案需 根火柴棒.

【答案】6n＋3或9＋6（n－1）
例13、（09丽江）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n(n≥3) 块纸板的周长为Pn，则Pn-Pn-1= ▲ .

…
① ② ③ ④

【答案】
例14、（09南宁）整数按图8的规律排列．请写出第20行，第21列的数字 ．
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
第一列
第二列
第三列
第四列
第五列
1
2
5
10
17
…
4
3
6
11
18
…
9
8
7
12
19
…
16
15
14
13
20
…
25
24
23
22
21
…
……
图8

【答案】420
例15、（09牡丹江）有一列数…，那么第7个数是 ．
【答案】
例16、（09济宁）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．

【答案】121

例17、（09宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，……，如此下去，得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积用含 的代数式表示为 ．

【答案】．
例18、（09日照）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线(k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)， 则Bn的坐标是______________．
y
x
O
C1
B2
A2
C3
B1
A3
B3
A1
C2
（第17题图）

【答案】(,).
例19、（09钦州）一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（a≠0）则第n个式子是_▲_（n为正整数）．
【答案】
例20、（09梧州）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则＝ ★ ． （用n的代数式表示）

【答案】
例21、（09湖州）如图，已知，是斜边的中点，过作于，连结交于；过作于，连结交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点，…，，分别记…，的面积为，….则=________（用含的代数式表示）.
B
C
A
E1
E2
E3
D4
D1
D2
D3

【答案】
例22、（09山西）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为 ．
（1）
（2）
（3）
……
……

【答案】

例23、（09黑龙江）如图，边长为1的菱形中，．连结对角线，以为边作第二个菱形，使 ；连结，再以为边作第三个菱形，使 ；……，按此规律所作的第个菱形的边长为 ．

【答案】
例24、（09本溪）如图所示，已知：点，，在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第个等边三角形的边长等于 ．
O
y
x
(A)
A1
C
1
1
2
B
A2
A3
B3
B2
B1
16题图
【答案】
例25、（09绵阳）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第 行第 列．

第1列
第2列
第3列
第4列
第1行
1
2
3

第2行

6
5
4
第3行
7
8
9

第4行

12
11
10
……

【答案】670，3
例26、（09铁岭）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是 ．
【答案】或或
例27、（09青海）观察下面的一列单项式：，，，，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第个单项式为
【答案】；
例28、（09台州）将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则
① ；②第行第列的数为 （用，表示）．

第列
第列
第列
…
第列
第行
1

…

第行

…

第行

…

…
…
…
…
…
…
【答案】10，（第一空2分，第二空3分；答给3分，答给2分）
例29、（09安徽）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60°．

（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；
（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？
【答案】（1）6010 cm（2）需300个这样的菱形图案．
例30、（09白银）若，，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．
观察本题中数a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．
【答案】解：学生可能写出不同程度的一般的结论，由一般化程度不同得不同分．
若m、n是任意正整数，且m＞n，则．
若m、n是任意正实数，且m＞n，则．
若m、n、r是任意正整数，且m＞n；或m、n是任意正整数，r是任意正实数，且m＞n，则．
若m、n是任意正实数，r是任意正整数，且m＞n；或m、n、r是任意正实数，且m＞n，则．